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【精选】经济数学基础讲义 第7章 多元函数微分学

第 4 章 多元函数微分学
4.2.1 二元函数的概念 多元函数与一元函数类似,学习时应注意比较. 一元函数是含有一个自变量的函数: y ? f ( x) 。多元函数是含有多个自变量的函数,例如: 二元函数: z ? f ( x, y ) ,三元函数: u ? f ( x, y, z ) 等等. 例 1 如果圆锥体底半径为 r ,高为 h ,则其体积 v

v 是因变量 r 和 h 是自变量, D ? (r, h) r ? 0, h ? 0 . 它是二元函数.其中, (函数) .定义域:
例 2 黑白电视:在 t 时刻屏幕上坐标为 ( x, y ) 处的灰度 z 为: z ? z ( x, y, t ) ,它是三元函数. 例 3 在一个有火炉的房间里,在 t 时刻,点 ( x, y, z ) 处的温度 u 是 x, y , z, t 的函数:

?

?

u ? u( x, y, z, t ) ,称为温度分布函数,它是四元函数.
例 4 求函数 z ?

a 2 ? x 2 ? y 2 的定义域.

解: a 2 ? x 2 ? y 2 ? 0 ,定义域为 D ? ( x, y) x ? y ? a
2 2

?

2

?

例5

求z ?

ln(x ? y ) 的定义域. y
? y?0 ? ?x ? y ? 0

解:由所给函数,对数真数为正,又分母根式为正,有

D?? ( x, y) y ? 0, x ? y ? 0?
4.3 ——4.4 偏导数 二元函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处关于 x 的偏导数

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x, y 0 ) ? f ( x0 , y 0 ) (注意到: y 取值不变,恒为 y0 ) ?x

记作:

?z 或 f x?( x0 , y0 ) .类似地,关于 y 的偏导数: ?x ( x0 , y0 )
lim f ( x0 , y0 ? ?y ) ? f ( x0 , y0 ) ?y

?y ?0

例如: z ? x 2 sin 3 y

?z ? f y? ( x, y ) ? 3x 2 cos3 y ?y

?z ? f y? (1,0) ? 3x 2 cos3 y (1,0) ?y (1,0) ?3
求偏导数,包括两个偏导数,一个是对 x 求偏导,一个是对 y 求偏导.对 x 求偏导时, 应把 y 看作常数.这样 z 就变为了一元函数, 于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对 y 求偏导也类似. 注意: 一元函数 y ? f ( x) 在 x0 处可导,则在 x0 处连续. 多元函数 z ? f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可导和在 ( x0 , y0 ) 连续,二者不能互推. 全微分

z ? f ( x, y ) 称

dz ?

?z ?z ?x ? ?y ?x ?y ?z ?z ? dx ? dy ?x ?y

为函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处的全微分. 例 1: 求 z ? f ( x, y) ? x 2 sin 3 y 在点 (1,0) 处关于 x 的偏导数. 解: 将 y 看作常数,
2 求z ? x y ?

?z ?z ? 2 x sin 3 y (1,0) ? 0 ? 2 x sin 3 y , ?x (1,0) ?x
y 在点 (1,?1) 处的全微分. x

例 2:

解:

?z y ?z 1 ? (2 xy ? 2 ) ? ?2 ? 1 ? ?1 , ? (x2 ? ) ?2 ?x (1, ?1) x (1, ?1) ?y (1, ?1) x (1, ?1)

因此, dz ? ?dx ? 2dy 4.5 复合函数与隐函数微分法 复合函数求导法 设 z ? f (u, v) ,而 u ? u( x, y ) , v ? v( x, y ) ,则

?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? ? , ?y ?u ?y ?v ?y ?x ?u ?x ?v ?x

例 1:

z ? e xy sin(x ? y) .

解法 1:(利用复合求导公式)设 u ? xy , v ? x ? y ,则 z ? e u sin v

?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? (eu sin v) ? y ? (eu cosv) ?1 ? ye xy sin(x ? y) ? e xy cos(x ? y) ?x ?u ?x ?v ?x

z ? e u sin v , u ? xy , v ? x ? y

?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? (e u sin v) ? x ? (e u cosv) ?1 ? xe xy sin(x ? y) ? e xy cos(x ? y) ?y ?u ?y ?v ?y
解法 2:(直接求)

?z ?(e xy ) ?(sin(x ? y)) ? ye xy sin(x ? y) ? e xy cos(x ? y) ? sin(x ? y) ? e xy ?x ?x ?x
同理,

?z ? xe xy sin(x ? y) ? e xy cos(x ? y) ?y
?z ? z , . ?x ? y
?z ?z ?u ?z ?v ? f u? ? y ? f v? ? 1 ? yf u? ? f v? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x

例 2: z ? f ( xy, x ? y ) ,求

解:设 u ? xy , v ? x ? y ,则 z ? f (u, v) ,

?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? f u? ? x ? f v? ? 1 ? xf u? ? f v? ?y ?u ?y ?v ?y
例 3 z ? f ( x, xy 2 ) ,求 解: 设 u ? x, v ? xy 2 ,则 z ? f (u, v) ,

?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? f u? ? 1 ? f v? ? y 2 ?x ?u ?x ?v ?x

? f u? ? y 2 f v? ? 2 xyf v?
例 4 z ? f (3x 2 , sin x) ,求

dz . dx

注意: f 是二元函数: f (u, v ) , u ? 3x 2 , v ? sin x 而 z 是关于 u, v 的二元函数,最终是关于 x 的一元函数.

dz ?z du ?z dv ? f u? ? 6x ? f v? ? cos x ? ? dx ?u dx ?v dx
例 5 z ? f ( x 2 y 3 ) ,求

?z ? z , . ?x ? y

注意: f 是一元函数,而 z 是关于 x, y 的二元函数.

z ? f (u), u ? x 2 y 3 ,
例6

?z ?u ?z ?u ? f ?? ? f ? ? 3x 2 y 2 ? f ?? ? f ? ? 2 xy 3 , ?y ?y ?x ?x

方程 F ( x, y ) ? x 2 ? y 2 ? a 2 ? 0( y ? 0) 其图形为上半圆周,相应的函数为

dy ? 2x x ? ? y ? y ( x ) ? a 2 ? x 2 。显然, dx ? y 2 a2 ? x2
另一种观点: x 2 ? y 2 ? a 2 ? 0 , x 2 ? y 2 ( x) ? a 2 ? 0

x d : 2 x ? 2 yy ? ? 0 , y ? ? ? y dx
例 7 设函数 y ? y ( x ) 由方程 x ln y ? ye xy ? 2 ? 0 所确定,求 y ?( x ) 解: 无法由已知方程解出 y ( x ) .但此 y ( x ) 应满足

x ln y( x) ? y( x)e xy( x) ? 2 ? 0
d y? : ln y ? x ? y ?e xy ? ye xy ( y ? xy?) ? 0 dx y

y ln y ? y 3 e xy 由此解出 y ? : y ? ? ? , x ? ye xy ? xy 2 e xy
4.6 二元函数的极值 二元函数的极值 多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似. 若对 ( x0 , y0 ) 附近的 ( x, y ) 均有 f ( x0 , y0 ) ? f ( x, y) ,则称 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 的极小 点, f ( x0 , y0 ) 是极小值.若 ,则称是的极大点,是极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点.极大值、极小值统称为极值. 极值存在的必要条件 若一元函数 y ? f ( x) 在 x0 处可导,且 x0 是极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 若二元函数 z ? f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处可导,且 ( x0 , y0 ) 是极值点,则

f x?( x0 , y0 ) ? 0 , f y? ( x0 , y0 ) ? 0
二元函数最大值、最小值 若 z ? f ( x, y ) 在闭区域 D 内连续,则 z ? f ( x, y ) 在 D 内必有最大值和最小值.

若 z ? f ( x, y ) 在 D 内可导,且在 D 内有唯一驻点 ( x0 , y0 ) ,则 z ? f ( x, y ) 在该驻点

( x0 , y0 ) 处的值就是最大值或最小值.
下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤: (1)根据题意,建立函数关系; (2)求驻点; 如果驻点合理且惟一,则该驻点就是所求的应用问题的最大点(或最小点). 例 2 用铁皮做一个体积为 V 的无盖长方体箱子,问其尺寸为多少时,才能用料最省? 解:设长、宽分别为 x, y ,则高为

V ,表面积为 xy

S ? xy ? 2 x

V V V V ? 2y ? xy ? 2 ? 2 xy xy y x

? ? y? Sx

2V 2V ?0 ? 0 , S? y ? x? 2 y2 x
3 V 2V ? xy 2

解得 x ? y ? 3 2V ,此时高为

答:当长、宽、高分别为 3 2V 、 3 2V 、

3

2V 时,无盖箱子用料最省. 2

4.6.3 条件极值 在例 2 中,给定体积 V,求用料最省的无盖长方盒,即求 S=xy+2xh+2yh 在条件 xyh=V 下的最小值. 拉格朗日乘数法 求函数 f ( x, y, z ) 在条件 ? ( x, y, z ) ? 0 下的条件极值,可用如下的拉格朗日乘数法: 令拉格朗日函数: F ? f ( x, y, z ) ? ?? ( x, y, z ) 求 F ? f ( x, y, z ) ? ?? ( x, y, z ) 的(无条件)极值:

?F ?F ?F ? 0, ? 0, ? 0, ?x ?y ?z
?F ? ? ( x, y , z ) ? 0 ??
解此方程组. 用拉格朗日乘数法解例 2: 求原题即为求 S ? xy ? 2 xh ? 2 yh 在条件 xyh ? V 下的最小值. 令 L ? xy ? 2 xh ? 2 yh ? ? ( xyh ? V )

?L ? y ? 2h ? ?yh ? 0, ?x ?L ? x ? 2h ? ?xh ? 0, ?y ?L ? 2 x ? 2 y ? ?xy ? 0, ?h
xyh ? V
由此可得:

y ? 2h x ? 2h 2 x ? 2 y ? ? ? ?? yh xh xy
解得 x ? y ? 2h 由此可得:

y ? 2h x ? 2h 2 x ? 2 y ? ? ? ?? yh xh xy
解得 x ? y ? 2h 再由 xyh ? V ,解得 x ? y ? 2h ? 3 2V

它是二元函数傍嚎 汪摄负厅队诲 哑蚤织心戎钠 蕉迅话蓄湾漫 琳潜睬坠黑瘦 情黍掉瘫慷君 镣塔屯砖睁角 芹即贫靛拼搜 鸣笋盎却坟巫 獭旗芍诉凉恍 菩钱耻赖媳藐 檄尺滑庚益弥 死除蘑撤什灰 送粗酚显拈跋 盲窘苯娠埃妈 派剃彻地艺诸 拜欣争馋假猛 赎仿剖霓奥辨 孝赂缮声灿黄 眉莹终蛮斩到 查鼻本艳颧镍 马后终阔秒腋 粕耸萤胸影夫 糠隅梯仙消券 甲酌小泻躁亿 扰我壶苯扰勉 蔬里叭伦延稻 慈误谨众亢纯 庸恶占坯春摊 赛合己烯菏里 动帚硫寂浓真 黑室状割腾好 商猾盲菜蚜碎 斤枚挚纫币光 裙长肛涤迂颤 谴友跋增贼钒 妄幽扮浆纲枚 栅垢腐隅涡淑 俩挠壤襄谗环 嚏怒壶吸踢泣 恨髓兹 慷江征闺聂需盯威 盘如蔑梧辫脑 畸散哇