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抛物线专题复习讲义及练习学生


抛物线专题复习讲义及练习
一、知识梳理
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ):
标准方程 图形
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点

F( x??

p ,0) 2 p 2

F (? x? p 2

p ,0) 2

F (0, y??

p ) 2

F (0,? y? p 2

p ) 2

准线

p 2

范围 对称轴 顶点 离心率

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴
(0,0)

y轴

e ?1

2.抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ; 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦,则 x A xB ? 3. y 2 ? 2 px 的参数方程为 ? 数).
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

p2 2 , y A yB ? ? p , | AB | = xA ? xB ? p 4
? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

( t 为参数) , x 2 ? 2 py 的参数方程为 ?

( t 为参

二、重难点突破
1.要有用定义的意识 问题 1:抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.
2

)

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D. 0

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题 2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有

第1页

3.研究几何性质,要具备数形结合思想, “两条腿走路” 问题 3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

三、热点考点题型探析
考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和的最小值为 【新题导练】 1.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ,y1 ),P ,y2 ) , P ,y3 ) 在抛 1 ( x1 2 ( x2 3 ( x3
2
2

物线上,且 | P 1F | 、 | P 2F | 、 | P 3 F | 成等差数列, 则有 A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? 2 x2 B. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? 2 y2





2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时, M 点坐标是 A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. ( 2, 4) ( )

D. (3, ? 2 6 )

考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 [例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

第2页

【新题导练】 3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3

4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号) 5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一 点,且 | AM |? 17,| AF |? 3 ,求此抛物线的方程
2

考点 3 抛物线的几何性质 题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例 3 ]设 A、B 为抛物线 y 点坐标为__________. 【新题导练】 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a ?
2

2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90? (O 为原点),则直线 AB 必过的定

7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、 B,若 A、 B 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 , 则 ?A1 FB1 ? A. 45
?

( B. 60
?

)

C. 90

?

D.

120?

第3页

基础巩固训练 1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于

a2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在

2.在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 x2 ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐标为 ( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

3.两个正数 a、b 的等差中项是 的焦点坐标为( ) A. (0, ? )

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y 2 ? (b ? a) x 2 1 2 1 4

1 4

B. (0, )

1 4

C. ( ? , 0)

D. ( ? , 0)

2 4. 如果 P1 ,P ?,P 2, 8 是抛物线 y ? 4 x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, x8 ,

F 是抛物线的焦点, 若 x1, x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , 则| P 5F | = ( ) . A.5 B.6 C. 7 D.9

5、抛物线 y 2 ? 4x的焦点为 F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的 直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等 于( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3
2

D. 8 3

6、设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向 的夹角为 60 ,则 OA 为 综合提高训练 7.在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,求该点的坐标 .

第4页

8. 已知抛物线 C : y ? ax2 ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过 点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小?

9. 设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥ X 轴.证明直线 AC 经过原点 O.

第5页

9 x2 y2 10.椭圆 2 ? 2 ? 1 上有一点 M(-4, )在抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物 5 a b
线的焦点也是椭圆焦点. (1)求椭圆方程; (2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.

11、已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- . (1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨 迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切点分别是 M, N.当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.

1 2

1 2

第6页

抛物线专题练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) ) ( )

2.圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( A.x2+ y 2-x-2 y -

1 =0 B.x2+ y 2+x-2 y +1=0 4
D.x2+ y 2-x-2 y +

C.x2+ y 2-x-2 y +1=0

1 =0 4


3.抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 ( A. (1,1) B. (

1 1 3 9 , ) C. ( , ) 2 4 2 4

D. (2,4) )

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m )

5.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x

6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线 的方程是 A. y 2=-2x C. y 2=2x ( B. y 2=-4x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x )

7.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那 么|AB|= A.8 B.10 ( C.6 ) D.4 )

8. 把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a ? (2,?3) 平移, 所得的曲线的方程是 ( A. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

B. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

C. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

D. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条





10.过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长

第7页

分别是 p、q,则

1 1 ? 等于 p q
D.





A.2a

B.

1 C.4a 2a

4 a

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离 为 . .

12.抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是

13.P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经 过一个定点 Q,点 Q 的坐标是 14 . 抛 物 线 的 焦 点 为 椭 圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程 9 4


三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1外切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程.(12 分)

第8页

16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. (12 分)

17.动直线 y =a,与抛物线 y ?
2

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中 2

点 M 的轨迹的方程.(12 分)

18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时, 小船开始不能通航?(12 分)

第9页

19.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任 一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.(14 分) ,|AN|=3,

20.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交 于不同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB面积的最大值.(14 分)

第10页

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.2 12. x ?

k 4

13. (1,0)

14. y 2 ? ?4 5x

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)[解析]:设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3) 的距离与到直线 y=3 的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0, -3)为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为 x 2 ? ?12y . 16. (12 分)[解析]:设抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 ?p ? 4 ?p ? 4 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?

p ,0 ) ,由题意可得 2

故所求的抛物线方程为 x ? ?8 y , m的值为? 2 6
2

17. (12 分)[解析]:设 M 的坐标为(x,y) ,A( 2 a , a ) ,又 B (0,3a) 得 ?
2

?x ? a 2 ? y ? 2a

消去 a ,得轨迹方程为 x ?

y2 2 ,即 y ? 4 x 4

y O A' A x B

18. (12 分)[解析]:如图建立直角坐标系, 设桥拱抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,由题意可知, B(4,-5)在抛物线上,所以 p ? 1.6 ,得 x 2 ? ?3.2 y ,

当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA’,则 A( 2, y A ) ,由

2 2 ? ?3.2 y A 得 y A ? ?

5 , 又 知 船 面 露 出 水 面 上 部 分 高 为 0 . 75 米 , 所 以 4

h ? y A ? 0.75=2 米

第11页

19.(14 分) [解析]:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标 原点.由题意可知:曲线 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、 B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0), ( xA ? x ? xB , y ? 0) , 其中 xA , xB 分别为 A、B 的横坐标, p ? MN .

p p ,0), N ( ,0) . 由 AM ? 17 , AN ? 3 得 2 2 p 2 p ( x A ? ) ? 2 px A ? 17 ( x A ? ) 2 ? 2 px A ? 9 ① 2 2
所以, M ( ? 联立①②解得 x A ?



?p ? 4 ?p ? 2 4 .将其代入①式并由 p>0 解得 ? ,或 ? . p ?xA ? 1 ?xA ? 2 ?p ? 2 p ? x A ,故舍去 ? . ∴p=4, xA ? 1 . 2 ?xA ? 2

因为△AMN 为锐角三角形,所以

由点 B 在曲线段 C 上, 得 xB ? BN ? p ? 4 . 综上得曲线段 C 的方程为 y 2 ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0) .
2

20 . (14 分 )

[ 解析 ] : (Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? x ? a ,将 y ? x ? a代入y 2 ? 2 px ,得

x 2 ? 2(a ? p) x ? a 2 ? 0 . 设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,
?4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 0, 则 ? ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p), ? 2 ? x1 x 2 ? a .

又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a ,

∴ | AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) .



0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 , ∴ 0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p . 解得

?

p p ?a?? . 2 4

(Ⅱ)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为 ( x3 , y3 ) ,则由中点坐标公式,得

x3 ?
∴ ∴

x1 ? x 2 ? a? p, 2

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x2 ? a) ? ? p. 2 2

| QM |2 ? (a ? p ? a) 2 ? ( p ? 0) 2 ? 2 p 2 . 又 ?MNQ 为等腰直角三角形,

| QN |?| QM |? 2 p ,

∴ S ?NAB ?

1 | AB | ? | QN | ? 2 p | AB | 2 2

?

2 p?2p 2

? 2 p2
T e s o o

,即 ?NAB 面积最大值为 2 p 2

天 · 星 o

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天 · 星 o


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