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2014年概率统计高考题汇总


2014 年全国各地高考题————概率统计专题
(15 北京文科)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样 本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( A. 90 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 【答案】C 【解析】 人数 B. 100 ) C. 180 D. 300

900 1800 1600
4300

1600 16 ? ;设样本中老年教师的人数为 x,由分层抽样的 900 9 320 16 性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即 ? ,解得 x ? 180 . x 9
试题分析:由题意,总体中青年教师与老年教师比例为 (15 北京文科)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)

2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日

12

35000 35600


48

注: “累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( A. 6 升 【答案】B 【解析】 B. 8 升 C. 10 升

D. 12 升

试题分析:因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量 V ? 48 升. 而这段时间 内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米. 所以这段时间内, 该车每 100 千米平均耗油量为 故选 B. 考点:平均耗油量. (15 北京文科)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的 排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

48 ?100 ? 8 升, 600

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 【答案】乙、数学 【解析】 试题分析:①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙. ②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数 学成绩的排名更靠前,故填数学. 考点:散点图. 5.(15 北京文科)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统 计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买. 商 顾 客 品 人 数 √ × √ √ √ × × √ √ × × √ √ × √ √ × × √ √ × × × × 甲 乙 丙 丁 ; .

100 217

200
300
85

98

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的概率; (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 【答案】 (1)0.2; (2)0.3; (3)同时购买丙的可能性最大. 【解析】 试题分析:本题主要考查统计表、概率等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问,由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 200,计算出概率;第二问,先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、 丁中同时购买 3 中商品的人数 100+200,再计算概率;第三问,由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为 200,

顾客同时购买甲和丙的人数为 100+200+300,顾客同时购买甲和丁的人数为 100,分别计算出概率,再通过比较大 小得出结论. 试题解析: (Ⅰ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙 和丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 . 1000

(Ⅱ)从统计表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同时购 买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为

100 ? 200 ? 0.3 . 1000
(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ? 0.6 , 1000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ? 0.1 , 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点:统计表、概率. (15 年广东理科)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 A.40 B.44 C.40 D.41 E.33 F.40 G.45 H.42 I.43 工人编号 年龄 J.36 K.31 L.38 M.39 N.43 O.45 P.39 Q.38 R.36 工人编号 年龄 S.27 T.43 U.41 V.37 W.34 X.42 Y.37 Z.44 AA.42 工人编号 年龄 BB.34 CC.39 DD.43 EE.38 FF.42 GG.53 HH.37 II.49 JJ.39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44,列出 样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的平均值 x 和方差 s ; (3)36 名工人中年龄在 x ? s 与 x ? s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)? 【答案】 (1) 44 , 40 , 36 , 43 , 36 , 37 , 44 , 43 , 37 ; (2) x ? 40 , s 2 ?
2

100 ; (3) 23 ,约占 63.89% . 9

(15 年安徽文科)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工 对该部门的评分, 绘制频率分布直方图 (如图所示) , 其中样本数据分组区间为 [40,50],[50,60],? ? ? ,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40,60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

【答案】 (1)0.006(2)

2 1 (3) 5 10

(Ⅲ) 由频率分布直方图可知:在[40,50)内的人数为 0.004×40×50=2(人) 在[50,60)内的人数为 0.006×10×50=3(人) 设[40,50)内的两人分别为 a1 , a2 ;[50,60)内的三人为 A1, A2 , A3 ,则从[40,60)的受伤职工中随机抽取 2 人,基本事件有 ( a1 , a2 ) , ( a1 , A1 ) , ( a1 , A2 ) , ( a1 , A3 ) , ( a2 , A1 ) , ( a2 , A2 ) , ( a2 , A3 ) , ( A1 , A2 ( A2 , A3 )共 10 种;其中 2 人评分都在[40,50)内的概率为 ) , ( A1 , A3 ) ,

1 . 10

(15 年福建文科)某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生 中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为_______. 【答案】 25 【解析】 试题分析:由题意得抽样比例为 考点:分层抽样. (15 年福建文科)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全 网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的 融合指数进行分组统计,结果如表所示.

45 1 1 ? ? 25 . ,故应抽取的男生人数为 500 ? 900 20 20

组号 1 2 3 4

分组

频数 2 8 7 3

[4,5)

[5, 6) [6, 7)
[7,8]

(Ⅰ)现从融合指数在 [4,5) 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研,求至少有 1 家的融合指数 在 ?7,8? 的概率; (Ⅱ)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【答案】 (Ⅰ)

9 ; (Ⅱ) 6.05 . 10

解 法 一: (I)融合指数在 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5? 内的“省级卫视新闻台” 记为 ?1 ,?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是:??1 , ?2 ? ,

??1, ?3? , ??2 , ?3? , ??1, ?1? , ??1, ?2? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? , ??1, ?2? ,共10 个.
其中,至少有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? , ??1 , ?3? , ??2 , ?3? , ??1 , ?1? , ??1 , ?2 ? ,

??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? ,共 9 个.
所以所求的概率 ? ?

9 . 10

(II)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5 ?

2 8 7 3 ? 5.5 ? ? 6.5 ? ? 7.5 ? ? 6.05 . 20 20 20 20

解法二: (I)融合指数在 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5? 内的“省级卫视新 闻台”记为 ?1 , ?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是:

??1, ?2? ,??1, ?3? ,??2 , ?3? ,??1, ?1? ,??1, ?2? ,??2 , ?1? ,??2 , ?2? ,??3 , ?1? ,??3 , ?2? ,??1, ?2? ,
共 10 个. 其中,没有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? ,共 1 个.

所以所求的概率 ? ? 1 ? (II)同解法一.

1 9 ? . 10 10

(15 年陕西文科)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示,则该校女教 师的人数为( A.93 B.123 ) C.137 D.167

70% 女





60% 男

(初中部)
【答案】 C 【解析】

(高中部)

试题分析:由图可知该校女教师的人数为 110 ? 70% ? 150 ? (1 ? 60%) ? 77 ? 60 ? 137 故答案选 C 考点:概率与统计.

1.[2014· 重庆卷] 某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人.为了解学生的学习情况,用分层抽 样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为 ( A.100 B.150C.200 D.250 )

2.[2014· 湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取 一个容量为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数 为________件.
(15 年广东文科)已知样本数据 x1 , x2 , ??? , xn 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 xn ? 1 的均 值为 【答案】 11 .

3.[2014· 湖南卷] 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽

样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则( A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3

)

4.[2014· 四川卷] 在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间,从中抽取 了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中, 5000 名居民的阅读时间的全体是 ( A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 )

5. [2014· 天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的 方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.

6.[2014· 天津卷] 某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如下 表: 一年级 男同学 女同学 A X 二年级 B Y 三年级 C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概 率.

7.[2014· 安徽卷] 某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4500 人.为调查该校学 生每周平均体育运动时间的情况, 采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样 本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 14 所示), 其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每 周平均体育运动时间超过 4 小时的概率.

图 14 (3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体育运动 时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad-bc)2 附:K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

8.[2014· 北京卷] 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数 据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图 16). 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 图 16 (1) 从 该 校 时间少于 12 小 (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; 9 合计 分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 100 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读 时的概率;

9.[2014· 广东卷] 为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40

的样本,则分段的间隔为( A.50 B.40 C.25

) D.20

10.[2014· 江苏卷] 为了了解一片经济林的生长 随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位:cm), 数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 则在抽测的 60 株树木中,有____株树木的底部周长 100 cm.

情况, 所 得 所示, 小 于

11 .[2014· 山东卷] 为了研究某药品的疗效,选 干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据 位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),

取 若 ( 单

[15 ,

16),[16,17].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,图是根据试验数 据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组 中有疗效的人数为( )

A.6 B.8 C.12 D.18

12.[2014· 山东卷] 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地 区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样 品进行检测.

地区 数量

A 50

B 150

C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的 概率.

13.[2014· 陕西卷] 某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,…,x10,其均值和方差分别 为- x 和 s2,若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为

(

) A.- x ,s2+1002 B.- x +100,s2+1002 C.- x ,s2 D.- x +100,s2

14.[2014· 重庆卷] 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人 数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人 成绩都在[60,70)中的概率. 的

15.[2014· 湖北卷] 根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 ) C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 5 -0.5 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0

得到的回归方程为^ y=bx+a,则( A.a>0,b<0 B.a>0,b>0

16.[2014· 辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调 查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有 差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中 随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. n(n11n22-n12n21)2 附:χ = , n1+n2+n+1n+2
2

P(χ2≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

17.[2014· 广东卷] 某车间 20 名工人年龄数据如下表: (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄 的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差. 年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计 工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

18.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中 选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________. 19.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本 数学书相邻的概率为________. 20.[2014· 浙江卷] 在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张, 两人都中奖的概率是________. 21.[2014· 四川卷] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的 数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b, c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

22. [2014· 广东卷] 从字母 a, b, c, d, e 中任取两个不同字母, 则取到字母 a 的概率为________. 23.[2014· 湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1, 点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2 )

24.[2014· 江苏卷] 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是________.

25.[2014· 江西卷] 掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( 1 A.18 1 B.9 1 C.6 1 D.12

)

26.[2014· 陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离小 于该正方形边长的概率为( 1 A.5 2 B.5 3 C.5 4 D.5 )

27.[2014· 福建卷] 如图 15 所示,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴 影部分,据此估计阴影部分的面积为________.

图 15 28.[2014· 湖南卷] 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( 4 A.5 3 B.5 2 C.5 1 D.5 )

29.[2014· 辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图 11 所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC= 1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

图 11 π A. 2 π B. 4 π C. 6 π D. 8

30.[2014· 重庆卷] 某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校, 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 ________.(用数字作答)

2014 年全国各地高考题——概率统计专题答案 70 n 1.A [解析] 由题意,得3500= ,解得 n=100. 3500+1500 2.1800 [解析] 设乙设备生产的产品总数为 n,则 80-50 80 n =4800,解得 n=1800.

3.D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样,它们都是等概率抽样. 4.A [解析] 根据抽样统计的概念可知,统计分析的对象全体叫做“总体”.故选 A. 5.60 [解析] 从一年级本科生中抽取的学生人数为 300× 4 =60. 4+5+5+6

6.解:(1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A, X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y}, {X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z}, 6 2 {B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种.故事件 M 发生的概率 P(M)=15=5. 4500 7.解: (1)300× 15 000=90,所以应收集 90 位女生的样本数据. (2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为 1-2× (0.100+0.025)=0.75, 所以 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. (3)由(2)知,300 位学生中有 300× 0.75=225(位)的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的每 周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关于女生的, 所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 男生 每周平均体育运动时间不超过 4 小 时 每周平均体育运动时间超过 4 小 时 总计
2

女生 30

总计 75

45

165 210

60 90

225 300

300×(165× 30-45× 60)2 100 结合列联表可算得 K = = 21 ≈4.762>3.841. 75×225×210×90 所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” . 8.解:(1)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6+2+2= 10 10(名),所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1-100=0.9.

故从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有 17 人,频率为 0.17,所以 a= 频率 0.17 = =0.085. 2 组距

课外阅读时间落在组[8,10)内的有 25 人,频率为 0.25,所以 b= 9.C 1000 [解析] 由题意得,分段间隔是 40 =25.

频率 0.25 = 2 =0.125. 组距

10.24 [解析] 由频率分布直方图可得,数据在[80,90]的频率为 0.015× 10=0.15,数据在[90, 100]的频率为 0.025× 10=0.25.又样本容量为 60 株,故所求为(0.15+0.25)× 60=24(株). 11.C [解析] 因为第一组与第二组共有 20 人,并且根据图像知第一组与第二组的频率之比是

3 0.24∶0.16=3∶2, 所以第一组的人数为 20× 5=12.又因为第一组与第三组的频率之比是 0.24∶0.36= 2 2∶3 ,所以第三组有 12÷ 3=18 人.因为第三组中没有疗效的人数为 6,所以第三组中有疗效的人数 是 18-6=12. 6 1 =50,所以 A,B,C 三个地区 50+150+100 1 1 1 的商品被选取的件数分别是:50× = 1 , 150× = 3 , 100× 50 50 50=2. 12.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这 2 件商品 构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3}, {B1,C1},{B1,C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个.每 个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1, B2}, {B1, B3}, {B2, 4 4 B3},{C1,C2},共 4 个.所以 P(D)=15,即这 2 件商品来自相同地区的概率为15. x1+x2+x3+…+x10 ,不妨设这 10 位员工下月工资的均 10 (x1+x2+x3+…+x10)+1000 - 值为- y ,则- y= = x +100,易知方差没发生变化. 10 13.D [解析] 由题目中所给的数据可知- x= 1 14.解:(1)据直方图知组距为 10,由(2a+3a+7a+6a+2a)× 10=1,解得 a=200=0.005. (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2× 0.005× 10× 20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3× 0.005× 10× 20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3,则从成绩 在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个,即(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2, B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件 3 有 3 个,即(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).故所求概率为 P=10.

15.A [解析] 作出散点图如下: 由图像不难得出,回归直线^ y=bx+a 的斜率 b<0,截距 a>0,所以 a>0,b<0.故选 A. 16.解:(1)将 2× 2 列联表中的数据代入公式计算,得
K2

n(n11n22-n12n21)2 100×(60× 10-20× 10)2 100 = = = 21 ≈4.762. n1+n2+n+1n+2 70×30×80×20

由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有 差异”. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1, a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2, b2,b3),(b1,b2,b3)}, 其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.

Ω由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.
用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2, b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)=10. 1 18.3 [解析] 甲有 3 种选法,乙也有 3 种选法,所以他们共有 9 种不同的选法.若他们选择同

3 1 一种颜色,则有 3 种选法,所以其对应的概率 P=9=3. 2 19.3 [解析] 2 本数学书记为数 1,数 2,3 本书共有(数 1 数 2 语),(数 1 语数 2),(数 2 数 1 语),

(数 2 语数 1),(语数 1 数 2),(语数 2 数 1)6 种不同的排法,其中 2 本数学书相邻的排法有 4 种,对应 4 2 的概率为 P=6=3. 1 20.3 [解析] 基本事件的总数为 3× 2=6,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只有 2 种情

2 1 况,所以两人都中奖的概率 P=6=3. 21.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2), 2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1, (2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2, 2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1), 2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种, (1, 2), 3, (3, 种.

3 1 所以 P(A)=27=9. 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为9. (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1-27=9. 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为9.

2 22.5

[解析] 所有事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,

e),(d,e),共 10 个,其中含有字母 a 的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共 4 个,所以 4 2 所求事件的概率是 P=10=5. 23.C [解析] 掷出两枚骰子,它们向上的点数的所有可能情况如下表: 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

10 26 18 则 p1=36,p2=36,p3=36.故 p1<p3<p2.故选 C. 1 24.3 [解析] 基本事件有(1,2),(1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共 6 种情况,乘积为 6

1 的是(1,6)和(2,3),则所求事件的概率为3. 25.B [解析] 掷两颗均匀的骰子,一共有 36 种情况,点数之和为 5 的有(1,4),(2,3),(3, 4 1 2),(4,1),共 4 种,所以点数之和为 5 的概率为36=9. 26.B [解析] 由古典概型的特点可知从 5 个点中选取 2 个点的全部情况共有 10 种,其中选取 的 2 个点的 4 2 距离小于该正方形边长的情况共有 4 种,故所求概率为 P=10=5. 27.0.18 [解析] 设阴影部分的面积为 S.随机撒 1000 粒豆子,每粒豆子落在正方形内任何一点 是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即

S 落在阴影部分中的豆子数 180 1≈ 落在正方形中的豆子数 =1000=0.18, 所以可以估计阴影部分的面积为 0.18. 28.B [解析] 由几何概型概率计算公式可得 P= 1-(-2) 3 = . 3-(-2) 5

29.B [解析] 由题意 AB=2,BC=1,可知长方形 ABCD 的面积 S=2× 1=2,以 AB 为直径的 π 2 π π 1 半圆的面积 S1=2×π×12= 2 .故质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P= 2 = 4 . 9 30.32 [解析] 设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y,(x,y)可以看成平面中的点.试验

? 15 47 15 47? 1 的全部结果所构成的区域为 Ω=?(x,y)| 2 ≤x≤ 6 , 2 ≤y≤ 6 ?,这是一个正方形区域,面积为 SΩ=3 ? ?

1 1 1 15 47 15 ×3=9.事件 A 表示小张比小王早到 5 分钟,所构成的区域为 A=(x,y)x-y≥12, 2 ≤x≤ 6 , 2 ≤y 47 1 1 1 1 SA 9 ≤ 6 ,即图中的阴影部分,面积为 SA=2×4×4=32.这是一个几何概型问题,所以 P(A)= =32. SΩ


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