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(第1周-陈伟坚)衔接教材教案


[课题]:初高中数学衔接校本教材教 主备人: 高一数学备课组陈伟坚 编写时间: 2013 年 9 月 1 日 使用班级 高一 (21) (22) 第 1 周 星期 一 至五

计划上课时间: 2013-2014 学年第 一学期 【教材与学情分析】

一是高中数学容量大,以第一、二章为例,概念多达三十多个,性质、法则、定理多达二十多个。而 且在这两章中渗透了高中所有必须掌握的数学思想和数学方法,如集合与对应、分类讨论、数形结合、 等价转化等数学思想及配方法、换元法、反证法、待定系数法等数学方法。 二是内容抽象,高中教材不仅有大量抽象的数学符号和数学术语,我们既要准确理解他们的意义,区 别与初中教学中的差距,同时还要能够运用它们进行推理、运算,这对刚进高中抽象思维能力不强的 学生来说难度不小。 三是起点高,从整个高中教材编排体系来看,虽然把立体几何安排在高二,降低了高一上学期学习内 容的难度,但由于《函数》这一章太难,很容易让学生产生畏惧情绪,新教材把命题和充要条件安排 在高一的第一章中,也超出了部分学生的思维水平和接受能力,造成知识脱节。加上高中受高考指挥 棒的牵制,虽然教材缩减了不少内容,但许多教师不敢轻易降低难度,补充了大量的知识,人为加大 初高中教材的内容难度差距。数学内容的繁与难成了学生对高中数学最深的感受,因此对学生进行初 高中数学衔接教学十分必要。

二.课题研究的目标
1.研究初高中数学教材的逻辑结构,寻找新旧知识的结合点和突破口。 2.通过分析影响学生数学学习的各种因素,和不同学生的学习接受水平,寻找学生思维和教材内容的 结合点。 3.关注数学教学中的人文内涵,努力挖掘数学教材和教学过程中所蕴含的智力价值和审美价值,探索 双边互动的教学模式,积极培养学生的自主学习的能力。

[教学目标]: 知识目标:

能力目标:

情感态度与 价值观目 标:
关注数学教 学中的人文 内涵, 努力挖 掘数学教材 和教学过程 中所蕴含的 智力价值和 审美价值, 探 索双边互动 的教学模式, 积极培养学 生的自主学 习的能力。

1. 研究初高中数学教 材的逻辑结构,寻找 新旧知识的结合点和 突破口。 2. 通过分析影响学生 数学学习的各种因 素,和不同学生的学 习接受水平,寻找学 生思维和教材内容的 结合点

1. 会 利 用十字相乘 法因式分解 2. 会 解 二 元 二次方程组 3. 会 解 一 元 二次不等式 4 会利用配方 法得到二次 函数的顶点 式画出函数 图象及由图 象得到函数 的基本性质

[教学重难点]: 1、重点 十字相乘法,会一元二次不等式及二元二次不等式组。

2、难点:画出函数图象及由图象得到函数的基本性质 。 [课的类型、教具、教法、教时]: 课的类 教具 主要教 型 法 新授课 多媒体 讲练结 课件 合

教 时 5

第 1 课时

高中数学学习方法指导

【教学目标】 1.通过学法指导,让学生对学习数学有一个正确的学习认识和良好学习习惯。2. 通过学法指导, 提高学生的分析问题和解决问题的认识能力,培养学生的应用意识. 【教学重难点】 教学重点:学习数学的方法指导. 教学难点:学习能根据自己的实际情况选择合适自己的恰当的学习方法. 【教学过程】 一、导入新课 初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学 好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、 抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然 一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期” ,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐 地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。 造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对 造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学 习。 二、新课讲解 一 高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远, 似乎很“玄” 。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方 式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、 空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学 生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式分解先看什么,再看什么。即使是思 维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中 习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽 象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。这种能力要求的突变 使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象 思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如:高一《代数》 第一章就有基本概念52个,数学符号28个; 《立体几何》第一章有基本概念37个,基本公理、定理和推

论21个;两者合在一起仅基本概念就达89个之多,并集中在高一第一学期学习,形成了概念密集的学 习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学 课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不适应高 中数学学习,而影响成绩的提高。这就要求:第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。第二, 要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三,因知识教学多 以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行 梳理,形成板块结构,实行“整体集装” 。如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由 一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法。第四,要多做总结、归类,建立主体 的知识结构网络。 二 不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初 中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子” ;第二,家长望子成龙心 切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的 能力也跟不上了。许多同学进入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没 有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上 课忙于记笔记,没听到“门道” 。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用 功学习,只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中,有的还是重点中学里的重 点班,因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功,只要等到高三临考时再发奋 一、二个月,也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是 因为高一、二不努力学习,临近高考了,发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵,分析重点难点,突出思 想方法。而一部分同学上课没能专心听课,对要点没听到或听不全,笔记记了一大本,问题也有一大 堆;课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系,只是赶做作业,乱套题型,对概念、法则、公 式、定理一知半解,机械模仿,死记硬背。还有些同学晚上加班加点,白天无精打采,或是上课根本 不听,自己另搞一套,结果是事倍功半,收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学,常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与 训练,经常是知道怎么做就算了,而不去认真演算书写,但对难题很感兴趣,以显示自己的“水平” , 好高骛远,重“量”轻“质” ,陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳” 。 5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比,知识的深度、广度,能力要求都是一次飞 跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、 分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、 ,三角公式的变形与灵活运用、空 间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容,如不 采取补救措施,查缺补漏,就必然会跟不上高中学习的要求。 三 科学地进行学习 高中学生仅仅想学是不够的,还必须“会学” ,要讲究科学的学习方法,提高学习效率,才能变被 动学习为主动学习,才能提高学习成绩。

1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯?良好的学 习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习 几个方面。 (1)制定计划使学习目的明确,时间安排合理,不慌不忙,稳扎稳打,它是推动主动学习和克服困 难的内在动力。但计划一定要切实可行,既有长远打算,又有短期安排,执行过程中严格要求自己, 磨炼学习意志。 (2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力,而且能提高 学习新课的兴趣,掌握学习的主动权。自学不能走过场,要讲究质量,力争在课前把教材弄懂,上课 着重听老师讲思路,把握重点,突破难点,尽可能把问题解决在课堂上。 (3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。 “学然后知不足” ,课前自学过 的同学上课更能专心听课,他们知道什么地方该详,什么地方可以一带而过,该记的地方才记下来, 而不是全抄全录,顾此失彼。 (4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材,多方面查阅有关资料,强化对基本概 念知识体系的理解与记忆,将所学的新知识与有关旧知识联系起来,进行分析比效,一边复习一边将 复习成果整理在笔记本上,使对所学的新知识由“懂”到“会” 。 (5)独立作业是通过自己的独立思考,灵活地分析问题、解决问题,进一步加深对所学新知识的理 解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验,通过运用使对所学知识由“会”到“熟” 。 (6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误,或由于思维受阻遗漏解答, 通过点拨使思路畅通,补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。 对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学,并要经常把易错的知识拿来复习强化, 作适当的重复性练习,把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识,使所学到的知识由“熟”到 “活” 。 (7)系统小结是通过积极思考, 达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。 小结要 在系统复习的基础上以教材为依据,参照笔记与资料,通过分析、综合、类比、概括,揭示知识间的 内在联系,以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结,能对所学知识由“活”到“悟” 。 (8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊, 参加学科竞赛与讲座, 走访高年级同学或老师交流学习心 得等。课外学习是课内学习的补充和继续,它不仅能丰富同学们的文化科学知识,加深和巩固课内所 学的知识,而且能够满足和发展兴趣爱好,培养独立学习和工作的能力,激发求知欲与学习热情。 2 循序渐进,防止急躁。由于同学们年龄较小,阅历有限,为数不少的同学容易急躁。有的同学 贪多求快,囫囵吞枣;有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就;有的取得一点成绩便洋洋自得,遇到挫 折又一蹶不振。同学们要知道,学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程,决非一朝一夕可 以完成的。为什么高中要学三年而不是三天!许多优秀的同学能取得好成绩,其中一个重要原因是他 们的基本功扎实,他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 3 注意研究学科特点,寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间 想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑 性和广泛的适用性,对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活” ,只看书不做题不行,只埋头做题不 总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去,又要能跳出来,结合自身特点,寻找最佳学习方法。华

罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异,但学习的四 个环节(预习、上课、作业、复习)和一个步骤(归纳总结)是少不了的。

第 2 课时

因式分解

【教学目标】 1.会用十字相乘法因式分解 2.会用立方和立方差公式因式分解. 【教学重难点】 教学重点:十字相乘法因式分解. 教学难点:二次项系数不是 1 的十字相乘法 . 【教学过程】 一、复习引入 分解因式: ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。 二、新课讲解

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还 应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.2-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成 -1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次 项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.2-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.2-1

图 1.2-2

图 1.2-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.2-1 中的两个 x 用 1 来表示(如图 1.2-2 所示) . (2)由图 1.2-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.2-4,得

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)

x y

-1 1

图 1.2-5

(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.2-5 所示) . 2.提取公因式法与分组分解法 例 2 分解因式: (1) x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x ; (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 . 解: (1) x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) . 或 x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23 = [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x2 ? 3) . (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 3.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若 关 于 x 的 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 两 个 实 数 根 是 x1 、 x 2 , 则 二 次 三 项 式

ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式:
(1) x 2 ? 2 x ? 1 ; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

解: (1)令 x 2 ? 2 x ? 1 =0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1 ? 2 , ∴ x 2 ? 2 x ? 1 = ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? = ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) . ? ?? ? (2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y , x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴ x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] .
练 习 1.选择题: 多项式 2 x ? xy ?15 y 的一个因式为
2 2

( (C) x ? 3 y (D) x ? 5 y



(A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (3)x2-2x-1;

(B) x ? 3 y

(2)8a3-b3; (4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) . 习题 1.2

1.分解因式:

(1) a 3 ? 1 ; (3) b2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ; 2.在实数范围内因式分解: (1) x 2 ? 5 x ? 3 ; (3) 3x2 ? 4 xy ? y 2 ;

(2) 4 x 4 ? 13x 2 ? 9 ; (4) 3x2 ? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4 .

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(4) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ? 12 .

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a).

1.2 分解因式 1. B 2. (1)(x+2)(x+4) (3) ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) 1. (1) ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? (3) ?b ? c ??b ? c ? 2a ? (2) (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) (4) (2 ? y)(2 x ? y ? 2) . 习题 1.2 (2) ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1?

(4) ?3 y ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?

? 5 ? 13 ? ? 5 ? 13 ? 2. (1) ? x ? ?? x ? ? ; (2) x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ; ? 2 ?? 2 ? ? ?? ? ? 2 ? 7 ?? 2? 7 ? (3) 3 ? x ? y ?? x ? y ? ; (4) ? x ? 3? ( x ? 1)( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) . ? ?? ? 3 3 ? ?? ? 3.等边三角形 4. ( x ? a ? 1)( x ? a)

?

??

?

教学反思:学生对十字相乘法掌握不好,特别是二次项系数不是 1 的。分组分解法中不善于分组, 还需加强练习。

第 3 课时

二元二次方程组解法

【教学目标】 1.通过实例了解二元二次方程组定义 2.会用代入法求二元二次方程组的解 【教学重难点】 教学重点: 用代入法求二元二次方程的解. 教学难点: 用代入法求二个都是二元二次方程的二元二次方程组的解. 一、新课引入 方程 x ? 2 xy ? y ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,这样的方程叫做二元二次方
2 2

程.其中 x , 2xy , y 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常数项.

2

2

我们看下面的两个方程组:

? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ?2 x ? y ? 1 ? 0; ? x 2 ? y 2 ? 20, ? ? 2 2 ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0. ?
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二 次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 二、新课讲解 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例 1 解方程组 ① ②

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

分析:二元二次方程组对 我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟 悉的形式.注意到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入到方程①, 得到一个一元二次方程,从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题. 解:由②,得 x=2y+2, ③ 把③代入①,整理,得 8y2+8y=0, 即 y(y+1)=0. 解得 y1=0,y2=-1. 把 y1=0 代入③, 得 x1=2; 把 y2=-1 代入③, 得 x2=0. 所以原方程组的解是

? x1 ? 2, ? ? y1 ? 0,

? x2 ? 0, ? ? y2 ? ?1.

说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例 2 解方程组

? x ? y ? 7, ? ? xy ? 12.
解法一:由①,得

① ②

x ? 7 ? y.
把③代入②,整理,得



的两个

y 2 ? 7 y ? 12 ? 0
解这个方程,得

所以原

y1 ? 3, y2 ? 4 . 把 y1 ? 3 代入③,得 x1 ? 4 ; 把 y2 ? 4 代入③,得 x2 ? 3 .
所以原方程的解是

? x1 ? 4, ? ? y1 ? 3;

? x1 ? 4, ? ? y1 ? 3,

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

解法二:对这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把 x, y 看作一个一元二次方程的两个根,通 程来求 x, y . 这个方程组的 x, y 是一元二次方程

练 习 1.下列各组中的值是不是方程组

? x 2 ? y 2 ? 13, ? ?x ? y ? 5
的解? (1) ?

? x ? 2, ? y ? 3;

(2) ?

? x ? 3, ? x ? 1, ? x ? ?2, (3) ? (4) ? ? y ? 2; ? y ? 4; ? y ? ?3;
(2) ?

2.解下列方程组:

? y ? x ? 5, ? 2 2 ? x ? y ? 625; ? x2 y 2 ? 1, ? ? (3) ? 5 4 ? y ? x ? 3; ?
(1)

? x ? y ? 3, ? xy ? ?10;

? y 2 ? 2x , ? (4) ? 2 2 ? x ? y ? 8. ?

教学反思:解方程的思路是正确的,但运算能力差,运算 结果不正确。

第 4 课时

一元二次不等式解法

【教学目标】 1.通过实例了解一元二次不等式定义 2.会通过图象求一元二次不等式的解 【教学重难点】 教学重点: 求一元二次不等式的解. 教学难点: 二次项系数不是 1 的一元二次不等式的解. 一、新课引入

二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x2-x=6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x2-x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是(-2,0)

与(3,0),那么 一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 x<-2,或 x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是-2<x<3 二、新课引入 上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不 等式的解集.
那么,怎样解一元二次不 等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例 子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△>0,△=0, △<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地, 抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示), 因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c<0 (a>0)的解.

(1)当 Δ>0 时,抛物线 y =ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数 根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2; 2 不等式 ax +bx+c<0 的解为

x1<x<x2. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2+bx+c= b 0 有两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 b x≠- ; 2a 不等式 ax2+bx+c<0 无解. (3)如果△<0,抛物线 y =ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+c=0 没有实数根,由图 2.3-2③可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为一切实数; 不等式 ax2+bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解;如 果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式,再 利用上面的结论去解不等式. 例 3 解不等式: (1)x2+2x-3≤0; (2)x-x2+6<0; 2 (3)4x +4x+1≥0; (4)x2-6x+9≤0; 2 (5)-4+x-x <0.

教学反思:一元二次不等式的解法系统学习在高中必修 5 学习,但是必修 1 中求 函数定义域经常要解一元二次不等式,所以有必要先跟学生先简单学习,让学生 会解简单的一元二次不等式。 第 5 课时 二次函数的最值问题
【教学目标】 1. 会画二次函数的图象 2.会通过图象求二次函数的最值 【教学重难点】 教学重难点: 求二次函数的解最值 【要点回顾】 1.二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的最值.
2

二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a ? 0 时, 函数在 x ? ?

b 处取得最小 2a



4ac ? b 2 4ac ? b 2 b ,无最大值;当 a ? 0 时,函数在 x ? ? 处取得最大值 ,无最小值. 2a 4a 4a

2.二次函数最大值或最小值的求法. 第一步确定 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值; 第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 3.求二次函数在某一范围内的最值.

例 3 当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.

例 4 当 t ? x ? t ? 1时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与 其范围的相对位置.

1 2 5 x ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图. 2 2 1 2 5 (1) 当对称轴在所给范围左侧. t ? 1 时: x ? t 时, ymin ? t ? t ? ; 即 当 2 2 (2) 当 对 称 轴 在 所 给 范 围 之 间 . 即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时 :
解:函数 y ?

1 2 5 ?1 ? 1 ? ? ?3 ; 2 2 (3) 当对称轴在所给范围右侧.即 t ? 1 ? 1 ? t ? 0 时:当 x ? t ? 1 时, 1 5 1 ymin ? (t ? 1) 2 ? (t ? 1) ? ? t 2 ? 3 . 2 2 2
当 x ? 1 时, ymin ?

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ? ?3, 0 ? t ? 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2
例 5 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的 销 售 量 m ( 件 ) 与 每 件 的 销 售 价 x ( 元 ) 满 足 一 次 函 数

m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 .
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函 数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润, 每件商品的售价定为多少最合 适?最大销售利润为多少?

【巩固练习】 1.抛物线 y ? x2 ? (m ? 4) x ? 2m ? 3 ,当 m = _____ 时,图象的顶点在 y 轴上;当 m = _____ 时,图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过 原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面 积为 ________ . 3.设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1 时,函数 y ? ? x2 ? ax ? b ? 1 的最小值是 ?4 , 最大值是 0,求 a , b 的值.

4.已知函数 y ? x2 ? 2ax ? 1 在 ?1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值.

2 5.求关于 x 的二次函数 y ? x ? 2tx ? 1 在 ?1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常

数). 教学反思: 二次函数的最值是高中函数最值的基础。 学生对利用函数的图象 求解二次函数的最值不会处理。 在今后的函数函数单调性求最值中还要加强 巩固。


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