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函数的奇偶性与周期性练习题


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函数的奇偶性与周期性

一、函数的奇偶性 知识点归纳 1 函数的奇偶性的定义: 如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 函数 f(x)就叫偶函数. 如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫奇函数. 2 奇偶函数的性质:
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(1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 3 f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) ;
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若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
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4 判断函数的奇偶性的方法:(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区间,则立即 判断该函数既不是奇函数也不是偶函数; 若函数的定义域是关于原点的对称区间,再判断 f(-x)= -f(x)或 f(-x)=f(x)是否成立
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判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

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(2)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或 y 轴)对称. 5 设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 应用举例 1、常见函数的奇偶性: k 奇函数: y ? ax ( a 为常数) , y ? sin x , y ? tan x , y ? (k 为常数) x
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偶函数: y ? a ( a 为常数) , a ? 0 时既为奇函数又为偶函数
y ? ax 2 ( a ? 0) , y ? ax 2 ? c ( a ? 0) , y ? ax ( a 为常数) , y ? cos x

非奇非偶函数:y ? kx ? b(b ? 0) ,y ? ax 2 ? bx ? c(b ? 0) ,y ? ax ? c (c ? 0) ,y ?
y ? a x (a ? 0, a ? 1) , y ? log a x(a ? 0, a ? 1)

k (c ? 0) , x?c

既奇又偶函数: y ? 0 2、对奇偶性定义的理解 例 1 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶 函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确 命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误;奇函数的图象关于 原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确;若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义 可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,故④错误,选 A.
1

练习:1、 (2007 全国Ⅰ) f ( x) ,

是定义在 R 上的函数,

, 则 “ f ( x) ,

均为偶函数”是“ h( x) 为偶函数”的 B A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 解析: ∵ f(x)、 g(x)均为偶函数 , ∴ f(- x)=f(x),g( -x)=g(x). ∴h(- x)=f(- x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x). ∴h(x)为偶函数. 但 若 h( - x)=h(x), 即 f( - x)+g( - x)=f(x)+g(x), 不 一 定 f( - x)=f(x),g( - x)=g(x), 例 2 f(x)=x +x,g(x)=-x. 2、 (2007 江苏)设 f(x)=lg( )是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 A A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.解之,得 a=-1. ∴f(x)=lg. 令 f(x)<0,则 0< <1,∴x∈(-1,0). 3、已知函数解析式,判断或证明函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a (3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ,x∈[- 4 , 4), (5) y ? sin x ? 1

例 3 判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1) 解: (1)由
1? x lg(1 ? x 2 ) ; (2) f ( x) ? 2 ; 1? x | x ? 2 | ?2
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1? x ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数 1? x

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2 ? ?1 ? x ? 0 (2)由 ? 2 得定义域为 (?1,0) ? (0,1) , ? ?| x ? 2 | ?2 ? 0

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ?? ∴ f ( x) ? , ?( x 2 ? 2) ? 2 x2

∵ f (? x) ? ?

lg[1 ? (? x) 2 ] lg(1 ? x 2 ) ? ? ? f ( x) (? x) 2 x2

∴ f ( x) 为偶函数

1 ? x2 练习:1、判断函数 f ( x ) = | x ? 2 | ?2
解:由题
? 1 ? x2 ? 0 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ?? ? ? x ? 2 ? ?2 ?| x ? 2 | ?2 ? 0

的奇偶性
? ?1 ? x ? 1 ?? ? x ? 0且x ? ?4

∴ 此时

函数的定义域为 f(x)=

[-1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]
? 1? x2 x
又f (? x) ?

1? x2 ( x ? 2) ? 2

1? x2 1 ? (? x) 2 ?? x ?x

= -f ( x )

故 f ( x ) 是奇函数 4、抽象函数奇偶性的判定与证明
2

例 4 (2007 北京西城)已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,
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(1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12)

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解: (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中, 令 y ? ?x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数. (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a . 例 5.(2006 年辽宁)设 A. C. 是奇函数 是偶函数 是 上的任意函数,下列叙述正确的是(C) B. D. 是奇函数 是偶函数

解:据奇偶函数性质:易判定 f(x)· f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数 f(x)· |f(-x)|的奇偶取决于 f(x)的性质,只有 f(x)+f(-x)是偶函数正确。 5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值 例 6、已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的表达式. 解:∵f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|, ∴当 x<0 时,f(x)=- f(-x)=- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|. 练习:已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,
3 ? ? x(1 ? x ), x ? 0 则 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? 3 ? ? x(1 ? x ), x ? 0
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例 7(2007 黄冈中学月考)已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2
1 1 1 1 ) + f (? )+ f ( )+ f( ) 的值 2005 2004 2004 2005 1? x 解:由 ? 0 得函数的定义域是 (?1,1) 1? x 1? x 1? x 又 f (? x) ? f ( x) ? log 2 ? log 2 ? log 2 1 ? 0 1? x 1? x f (?
? f (? x) ? ? f ( x) 成立,?函数是奇函数

1? x ,求 1? x

1 1 1 1 )+ f ( ) =0 f (? )+ f ( ) =0 2005 2005 2004 2004 1 1 1 1 ∴ f (? ) + f (? )+ f ( )+ f( ) =0 2005 2004 2004 2005 f (?

3

例 8(2007 海南、宁夏)设函数 解析:∵f(x)= , ∴f (-x)=- 又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=-f (-x). ∴ =

为奇函数,则

-1

.∴ x 2 ? (a ? 1) x ? a ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ∴a=-1.
1 ,b=0 3

练习:已知 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ?a ? 1,2a?,则 a ? 解: a ? 1 ? ?2a ? a ?
1 ,b ? 0 3

6、偶函数性质 f ( x) ? f ( x ) 的应用 偶函数图象关于 y 轴对称,运用 f ( x) ? f ( x ) 可将偶函数问题转化至 ?0,??? 的范围解决。 例 9、设定义在[-2,2]上的偶函数 f ( x) 在区间[0,2] 上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) ,求实数 m 的取值范围。
? f ( ? x) ? f ( x) ? f ( x ) 解:? f ( x)是偶函数,

? f (1 ? m) ? f (m) ? f ( 1 ? m ) ? f ( m )

又当 x ? ?0,2? 时, f ( x) 是减函数

? ? 2 ? 1 ? m ? 2 ? ?1 ? m ? ?2? m?2

{

1? m ? m

1 2

1? ? ? m的取值范围是 ?? 1, 2 ? ? ?

练习:已知 f ( x) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数,若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 | x1 |?| x2 | , 则
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( B )
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A f (? x1 ) ? f (? x2 ) B f (? x1 ) ? f (? x2 ) C ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) D ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
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二、函数的周期性 知识点归纳
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定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立
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则 f(x)叫做周
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期函数,T 叫做这个函数的一个周期 一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定 义域一定是无限集 常见函数周期: ①y=sinx,最小正周期 T=2π ; ②y=cosx,最小正周期 T=2π ; ③y=tanx,最小正周期 T =π ; ④y=cotx,最小正周期 T=π . 周期函数变换后的周期 周期函数 f(x) 最小正周期为 T,则 y=Af(ω x+φ )+k 的最小正周期为 T/|ω |. 例 10 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-f(x),求证:2m 是 f(x)的一个周期. 证明:因为 f(x+m)=-f(x)
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所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m] =-f(x+m) =f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 练习:1 、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=f(x-m),求证:2m 是 f(x)的一个周期 证明:因为 f(x+m)=f(x-m) 所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m]=f[(x+m)-m]=f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 以上两题可作为结论记,注意 f(x+m)=f(x-m)与 f(m +x)=f(m-x)的区别, f(m +x)=f(m-x) ? x ? m 是 f(x)图像的对称轴 2、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f ( x ? m) ? 1 ? f ( x) 证明:由已知 1 ? f ( x) 1? 1 ? f ( x ? m) 1 ? f ( x) ? f(x+2m)=f[(x+m)+m] ? 1 ? f ( x ? m) 1 ? 1 ? f ( x ) 1 ? f ( x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 3、设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?
f (113 .5) 的值为(D)
1 ? f ( x)

,求证:2m 是 f(x)的一个周期.

? f ( x)

1 ,且当 x ? ?? 3,?2? 时, f ( x) ? 2 x , 则 f ( x)

A. ?

2 7

B.

2 7

C. ?

1 5

D.

1 5

解:? f ( x ? 3) ? ?

1 1 ? f ( x ? 6) ? f [( x ? 3) ? 3] ? ? ? f ( x) f ( x) f ( x ? 3)

? f ( x)是 以 T ? 6为 周 期 的 周 期 函 数 ? f( 113 .5) ? f( 18 ? 6 ? 5.5) ? f (5.5) ? f (6 ? 0.5) ? f (?0.5) ?? 1 1 1 ?? ? f (3 ? 0.5) f (?2.5) 5

三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用 例11 已知 f ( x ) 是偶函数,而且在 (-∞ , 0 ) 上是增函数,问 f ( x ) 在 ( 0 ,+ ∞ ) 上是增函数还是减函数? 解:设 0 < x 1 <x 2 < + ∞则 - ∞ < -x 2 <-x 1 < 0 ∵ f ( x ) 在 (-∞ , 0 ) 上是增函数 ∴ f (-x 2 ) < f ( -x 1 ) ∵ f ( x ) 是偶函数 ∴ f ( x 2 ) < f ( x1 ) 故 f ( x ) 在( 0 ,+ ∞ ) 上是减函数 知识点:偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间上对称性相同 例 12 函数 y ? f ( x)( x ? 0) 是奇函数,且当 x ? ?0,?? ? 时是增函数,若 f (1) ? 0 ,求不等式
1 f [ x( x ? )] ? 0 的解集 2 1 解: f (1) ? 0 ? f [ x( x ? )] ? f (1) 2
1 1 1 ? 17 1 ? 17 ? 0 ? x( x ? ) ? 1 ? ? x ? 或 ?x?0 2 2 4 4

又函数 y ? f ( x)( x ? 0) 是奇函数,它在对称区间上的单调性相同且 f (?1) ? ? f (1) ? 0

5

1 ? f [ x( x ? )] ? f (?1) 2
?原 不 等 式 的 解 集 是 {x /

1 ? x( x ? ) ? ?1 ? ? 2
1 1 ? 17 1 ? 17 ?x? 或 ? x ? 0} 2 4 4

例13、已知 f ( x) 是周期为4的偶函数,当 x ? ?2,3? 时, f ( x) ? x ,求 f (6.5), f (?1.5) , f (5.5) 解: f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 4) ? f ( x) f (6.5) ? f (4 ? 2.5) ? f (2.5) ? 2.5
f (?1.5) ? f (?1.5 ? 4) ? f (2.5) ? 2.5 f (5.5) ? f (5.5 ? 4 ? f (1.5) ? f (?1.5) ? f (?1.5 ? 4) ? f (2.5) ? 2.5

例 14、 (2005 福建)

是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且

,则方程 f(x)=0 在

区间(0,6)内解的个数的最小值是 D A.2 B.3 C.4 D.5 解析:依题可知 f(x)=f(x+3).f(2)=f(5)=0. 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴f(-2)=-f(2)=0.∴f(-2)=f(1)=f(4)=0. 又∵奇函数有 f(0)=0,∴f(3)=f(6)=0. ∴在(0,b)内 f(x)=0 解的个数最小值为 5. 练习:1、 (2007 重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶 函数,则 D A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 解析:∵y=f(x+8)为偶函数,∴y=f(x)图象关于 x=8 对称. 又∵y=f(x)在(8,+∞)上为减函数,∴y=f(x)在(-∞,8)上为增函数.∴f(7)=f(9),f(9)>f(10).∴ f(7)>f(10). 2、(2006 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 B (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:∵f(x+2)=-f(x).∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(2). 又-f(x)为 R 上的奇函数,∴f(2)=0 ∴f(6)=0. 3、 (2005 重庆)若函数 则使得 A. 是定义在 R 上的偶函数,在 ( D) C. D. (-2,2) 上是减函数,且 ,

的 x 的取值范围是 B.

解析:∵f(2)=0 且 f(x)为偶函数,∴f(-2)=0. 又∵f(x)在(-∞,0]递减,∴f(x)在(-2,0]递减. ∴对于 x∈(-2,0)必有 f(x)<0. 由对称性得对于 x∈[0,2)必有 f(x)<0. ∴使得 f(x)<0 的范围是(-2,2). 4、 (2005 全国Ⅳ)设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= , f(x+2)=f(x)+f(2),则 f
6

(5)等于( C) A.0 B.1 C. D.5

解:f(x+2)=f(x)+f(2)且 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)=
? f (1) ? f (?1 ? 2) ? f (?1) ? f (2) ? ? f (1) ? f (2)

? f (2) ? 2 f (1) ? 2 ?

1 ?1 2 5 2

? f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ? f (1 ? 2) ? f (2) ? 2 f (2) ? f (1) ?

7


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