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高一数学复习题(17)(必修一、四、五和必修二第一章、第三章)

高一数学阶段练·复习试卷

高一数学阶段复习试卷(17)
2012-6-2
一.选择题:每题 5 分,共 12 题,满分 60 分,每题只有一个选项正确. 1.若函数 y ? f ( x ) 是函数 y ? a x ( a ? 0, 且 a ? 1) 的反函数,其图像经过点 ( A. lo g 2 x B. lo g 1 x
2

a , a)

,则 f ( x ) ? [ D.
x
2

]

C.

1 2
x

2.函数 f ( x ) 为奇函数,且 x ? ( ?? . 0 ) 时, f ( x ) ? x ( x ? 1) ,则 x ? ( 0 , ?? ) 时, f ( x ) 为[ A. ? x ( x ? 1) B. ? x ( ? x ? 1) C. x ( ? x ? 1) D. x ( x ? 1)

]

3. 三棱柱的直观图和三视图 (主视图和俯视图是正方形, 左视图是等腰直角三角形) 如图所示, 则 这个三棱柱的全面积等于[ ] A. 1 2 ? 4 2 B. 6 ? 2 2 C. 8 ? 4 2 D. 4
主视图 2 俯视图 2 2 左视图

4.利用基本不等式求最值,下列各式运用正确的是[ A. y ? x ?
4 x ? 2 x? 4 x ? 4

]
4 sin x ? 2 sin x ? ? 2 3 ?
x

B. y ? sin x ? D. y ? 3 x ?
4 3
x

4 sin x

? 4 ( x 为锐角 )

C. y ? lg x ? 4 log x 10 ? 2 lg x ? 4 log x 10 ? 4

4 3
x

? 4

5.同时具有性质“ (1)最小正周期是 ? ; (2)图像关于直 线 x ? 数”的一个函数是[ A. y ? sin(
x 2 ?

?
3

对称; (3)在 [ ?
?
6

? ?
, 6 3

] 上是增函

] B. y ? cos( 2 x ?
?
3 )

?
6

)

C. y ? sin( 2 x ?

)

D. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

6.在下列表格中, 每格填上一个数字后, 使每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列, a ? b ? c 则 .. .. 的值为[ ] 1
0.5

2 1
a
b

c

A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,D,E,F 是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 AF - DB 等于[ A. FD B. FC C. FE D. BE 8. 已知点 A(4,1),B(0,-1),则线段 AB 的垂直平分线的方程为[ A. y ? ? 2 x ? 4 A.26 B. y ? 2 x ? 4 B.13 C.39
数学试卷 第 1 页 (共 4 页)

] ] D. y ? ?
1 2
(第 7 题)

C. y ? ? 2 x ? 2 D.52

x?3

9.在等差数列 { a n } 中, 3( a 3 ? a 5 ) ? 2( a 7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则此数列前 13 项的和为[

]

高一数学阶段练·复习试卷

10.2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方 形的面积是
A.1
1 25 , 则 sin ? ? cos
2 2

? 的值等于[

]
7

B. ?

24 25

C.

D. -

7 25

25

11.设 f ( x ) ? 3 ax ? 2 a ? 1 ,若存在 x 0 ? ( ? 1,1) ,使 f ( x 0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是[ A. ? 1 ? a ?
1 5

]

B. a

? ?1 或 a ?

1 5

C. a

? ?1

D. a ?

1 5

12. 如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别为等边三角形、等腰三 角形和菱形,则该几何体体积为[ ]

2

主视图

2 左视图

俯视图

A. 错误!未找到引用源。 B. 找到引用源。 D. 2 中国学考频 二.填空题:每题 4 分,共 5 题,满分 20 分. 13.关于下列命题:①函数 y 数 y ? 4 sin( 2 x ?
?
3 )
? tan x

错误!未找到引用源。

C.

错误!未

在第一象限是增函数;②函数 y
?
6

? cos 2 (

?
4

? x)

是偶函数;

③函

的一个对称中心是(

,0) ;④函数 y ? sin( x ?

?
4

) 在闭区间 [ ? ? , ? ] 上是增函
2 2

数; 写出所有正确的命题的题号: . 14.若 数 列 ?a n ? 满 足 关 系 : a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 3 a n ? 2 , 则 此 数 列 的 通 项 公 式 a n ? 1 5 . 已知 ? a n ? 为等比数列,且 a n ? 0, a 2 a 4 ? 2 a 3 a 5 ? a 4 a 6 ? 2 5 ,那么 a 3 ? a 5 ? 16.
?x ? y ? 0 ? 不等式组 ? x ? y ? 6 ? 0 ?y ?1 ?

.

.

表示的平面区域的面积为____________.

17. 一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是_________. 三、解答题:本题共 6 小题,满分 70 分. 18.(本题满分 10 分)已知两个几何体的三视图如下,试求它们的表面积和体积。单位:CM

数学试卷 第 2 页 (共 4 页)

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19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin x co s x ?
?

1 ? co s 2 x 2

?a

( a 为常数) .

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期,并指出其单调减区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 ? 0,  ? 上的最大值是 2,试求实数 a 的值. 2? ?
? ?

20. (本题满分 12 分) 《莱茵德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,请解答书中的一 道题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每个人所得成等差数列,且使较多的三份之和的 较少的两份之和,求最少一份的量。
1 7



21.(本小题满分 12 分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋 白质和 10 个单位的维生素 C 。另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物, 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 。 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花 费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

数学试卷 第 3 页 (共 4 页)

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22.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? x 2 ? ax ? 6 a ,其中 a 是常数. 1)若 f ? x ? ? 0 的解集是 ?x ? 3 ? x ? 6 ? ,求 a 的值,并解不等式
f ?x ? x?a ? 0

.

2)若不等式 f ? x ? ? 0 有解,且解区间长度不超过 5 个长度单位,求 a 的取值范围.

23.(本小题满分 12 分) 如图, G 是△ OAB 的重心, P 、 Q 分别是边 OA 、 OB 上的动点,且 P 、 G 、 Q 三点共线. (1)设 PG (2)设 OP
? ? PQ

,将 OG 用 ? 、 OP 、 OQ 表示; , OQ
? y OB

O

? x OA

,证明:

1 x

?

1 y

是定值;
T S

(3)记△ OAB 与△ OPQ 的面积分别为 S 、 T .求 (提示: S △ OPQ ?
1 2 OP OQ sin ? POQ

的取值范围.
P A M

Q



G
B

数学试卷 第 4 页 (共 4 页)

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高一数学阶段复习试卷(17)
参考答案(2012-6-02)
一.选择题:每题 5 分,共 12 题,满分 60 分,每题只有一个选项正确. 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 D 5 C 6 A 7 D 8 A 9 A 10 D 11 B 12 C

二.填空题:每题 4 分,共 5 题,满分 20 分. 13.③ 14. 3 n ? 1 15.-5 16.16 17.2:1

三、解答题:本题共 6 小题,满分 70 分. 18.(本题满分 10 分) (1)图(1)中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱。直角梯形的上底为1,下底为2, 高为1;棱柱的高为1。可求得直角梯形的四条边的长度为 1,1,2, 2 。 所以此几何体的体积

V

?
表面

S

梯形

?h ?


1 2

(1 ? 2 ) ? 1 ? 1 ?

3 2

(C M )

3

S

? 2S 1 2

?

S

侧面

  =

(1 ? 2 ) ? 1 ? 2 ? 1 + 1 + 2 + 2) 1 ( ?
2

    = 7 + 2 (C M )

(2)由图可知此正三棱柱的高为 2,底面正三角形的高为 2 3 ,可求得底面边长为 4。 所以 V ?

S

?h ?


1 2

? 4 ? 2 3 ? 2 ? 8 3 (C M )
3

S

表面

? 2S

?

S

侧面

  =2?

1 2

? 4? 2 3 ? 3? 4? 2
2

      8 3 ? 2 4 (C M ) ?

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵ f ? x ? ?
3 2 sin 2 x ? 1 ? co s 2 x 2 ?a

? ? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? a 6 ? 2 ?

????2 分



∴ 最小正周期 T ?
? ?

2? 2

??

???4 分
2? ? 3 ? ?

单调递减区间为 ? k ? ? (Ⅱ)令 u ? 2 x ?
?
6

?
6

, k? ?

? k ? Z ? .???6 分

???7 分,

数学试卷 第 5 页 (共 4 页)

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则 g ? u ? ? sin u ?

1 2

?a

,u ? ? ,

??

7? ? ? ?6 6 ?

???9 分.
1 2

f ? x ? 的最大值为

3 2

?a

=2 ??11 分. 解得 a=

?12 分

20. (本题满分 12 分) 解:设成等差数列的五份从小到大依次为 a ? 2 d , a ? d , a , a ? d , a ? 2 d 则依题意有 5 a ? 1 0 0, [ a ? ( a ? d ) ? ( a ? 2 d )] ? ( a ? d ) ? ( a ? 2 d ) ,
7 1

整理得 a ? 20,11a ? 24 d ,
? 2d ? 55 3


55 3 5 3

所以,最少一份的量 a ? 2 d ? 2 0 ? 21. (本题满分 12 分)

?

解:设为该儿童分别预订 x , y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z ? 2 .5 x ? 4 y ,且满足以下条 件
?12 x ? 8 y ? 64 ? ? 6 x ? 6 y ? 42 ? ? 6 x ? 10 y ? 54 ? x, y ? 0 ? ? 3 x ? 2 y ? 16 ? ?x ? y ? 7 即? ? 3 x ? 5 y ? 27 ? x, y ? 0 ?

y 3x+2y=1 6 x+y=7

3x+5y=27

A C x

作直线 l : 2 .5 x ? 4 y ? 0 ,平移直线 l 至 l 0 ,
2.5x+4y=0 B O

当 l 0 经过 C 点时,可使 z 达到最小值。 由?
? 3 x ? 5 y ? 27 ?x ? y ? 7 ?x ? 4 ? ? ?y ? 3

即 C ( 4, 3) ,

此时 z ? 2.5 ? 4 ? 4 ? 3 ? 22 , 答: 午餐和晚餐分别预定 4 个单位和 3 个单位,花费最少 22 元. 22. (本题满分 12 分) 解:1) ∵ f ? x ? ? x 2 ? ax ? 6 a ? 0 的解集是 ?x ? 3 ? x ? 6 ? ∴ x 2 ? ax ? 6 a ? 0 的两根是 x 1 ? ? 3 , x 2 ? 6 ∴ x1 ? x 2 ? a ? ? 3 ? 6 , x1 ? x 2 ? ? 6 a ? ? 3 ? 6 ∴不等式
f ?x ? x?a ? x ? 3 x ? 18
2

∴a ? 3
2

x?3

? 0

x ? 3 x ? 18 x?3

?

? x ? 6 ?( x ? 3 )
x?3

? 0

数学试卷 第 6 页 (共 4 页)

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∴不等式

f ?x ? x?a

? 0

的解集是 ?x ? 3 ? x ? 3 或 x ? 6 ?

2)设 f ? x ? ? x 2 ? ax ? 6 a ? 0 的解集是 ?x x 1 ? x ? x 2 ? 依题意
2 ? ? ? ? ? a ? ? 24 a ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? a , x1 ? x 2 ? ? 6 a ? x 2 ? x1 ? 5 ?

∴由 a 2 ? 24 a ? 0 得 a

? 0

或 a ? ? 24
2

由 x 2 ? x 1 ? 5 得 ? x 1 ? x 2 ? ? 4 x 1 x 2 ? 25 ∴ a 2 ? 24 a ? 25 ? 0
? 25 ? a ? 1

∴ ? 25 ? a ? ? 24 或 0 ? a ? 1 23. (本题满分 12 分) 解: (1) OG

∴所求 a 的取值范围是 ?? 25 , ? 24 ? ? ?0 ,1?

? OP ? PG ? OP ? ? PQ ? OP ? ? ( OQ ? OP )

? (1 ? ? ) OP ? ? OQ

.????????????????2 分
? (1 ? ? ) OP ? ? OQ ? (1 ? ? ) x OA ? ? y OB

(2)一方面,由(1) ,得 OG

;①

另一方面,∵ G 是△ OAB 的重心, ∴ OG
? 2 3 OM ? 2 3 ? 1 2 ( OA ? OB ) ? 1 3 OA ? 1 3 OB





????????4 分

1 ? (1 ? ? ) x ? , ? 3 ???????6 而 OA 、 OB 不共线,∴由①、②,得 ? 1 ?? y ? . 3 ?



?1 ? 3 ? 3? , ? ? 解之,得 ? x 1 ? ? 3? . ?y ?
1 T ? 2 1 S 2

,∴

1 x

?

1 y

? 3 (定值) .???7



| OP | ? | OQ | sin ? POQ ? | OA | ? | OB | sin ? AOB
1 2 ? x ? 1, 1 2

(3)

| OP | | OQ | ? ? xy | OA | | OB |
? y ?1,

.???????9 分

由点 P 、 Q 的定义知 且x
? 1 2

时, y 时, y
4 9

? 1 ; x ? 1 时, y ?

1 2

.此时,均有
? 4 9
?

T S

?

1 2



x ?

2 3

?
?

2 3
T S

.此时,均有
? 1 2

T S


x 3x ? 1

以下证明:

. (法一)由(2)知 y



数学试卷 第 7 页 (共 4 页)

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T S T S

?

4 9 1 2

?

x

2

3x ? 1 x
2

?

4 9 1 2

?

(3 x ? 2 )

2

9 ( 3 x ? 1)

? 0 ,∴

T S

?

4 9
T S

.????11 分
1 2

∵ ∴

?

?

3x ? 1

?

?

( x ? 1)( 2 x ? 1) 2 ( 3 x ? 1)

? 0 ,∴

?



T S

的取值范围 [
T

4 9

,

1 2

] .??????12



(法二)

? ? 1 ? 1 1 2? ? xy ? ? ?( x ? ) ? ? ? 1 S 3x ? 1 3 ? 3 3? 9( x ? ) ? ? 3 ? ? x
2



令t

? x?

1 3

,则

T S

?

1? 1 2? ? ? ?t ? 3? 9t 3?

,其中

1 6

?t?

2 3


T S ? 1? 1 2? ? ? ?t ? 3? 9t 3?

利用函数单调性的定义可以证明:关于 t 的函数 减,在闭区间 [ ∴t 而t ∴
T S ? 1 6 ? 1 3 1 3 , 2 3
1?1 1 2? 4 ?T ? ? ? ? ? ?? ? S ? min 3?3 3 3? 9 ?

在闭区间 [

1 6

,

1 3

] 上单调递

]

上单调递增.????11 分 . .

时, ?
2 3

或t ?

时,均有 ?
4 9 , 1 2

1?1 2 2? 1 ?T ? ? ? ? ? ?? ? 3?6 3 3? 2 ? S ? max

的取值范围 [

] .??????12



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