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高二数学必修5解三角形单元测试题及答案


高二数学必修 5 解三角形单元测试题 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1. 在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( ) A. 10 ? 3 B. 10 3 ? 1
0

?

?

C. 3 ? 1 )

D. 10 3

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=30 ,则 a 等于(

A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3 D.2 3. 不解三角形,下列判断中正确的是( ) 0 0 A.a=7,b=14,A=30 有两解 B.a=30,b=25,A=150 有一解 0 0 C.a=6,b=9,A=45 有两解 D.a=9,c=10,B=60 无解 4. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 A. ?





1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

5. 在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则 A.3 3 B.

8 3 3 6. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为(
C. A.79
2

2 39 3

a?b?c 等于( sin A ? sin B ? sin C 39 D. 2
) D.-5

2 3

)

B.69

C.5
2

7.关于 x 的方程 x ? x ? cos A ? cos B ? cos

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是( 2
D.钝角三角形 )



A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 8. 7、已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是( A. ?8,10? B.

? 8, 10?

C.

?

8 ,10

?

D.

? 10,8?
D.45°

9. △ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或 120°

10. 在△ABC 中,若 b=2 2 ,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( ) A.0°<A<30° B.0°<A≤45° C.0°<A<90° D.30°<A<60° 11.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 12. 已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 ( )
2 2



A.

14

B. 2 14

C. 15

D. 2 15

二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA; ④

a b?c . 其中恒成立的等式序号为______________ ? sin A sin B ? sin C

14. 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 已 知 sinA ∶ sinB=1 ∶ 2 , 底 边 BC=10 , 则 △ ABC 的 周 长 是 。
1

15. 在△ ABC 中 ,已 知 sinA ∶ sinB ∶ sinC=3 ∶ 5 ∶ 7, 则此三 角形的最大内角的度数 等于 ________.

a2 ? b2 ? c2 16. 已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ? ,则角 C=____________. 4
三、解答题(84 分) 17. 在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,在 BC 边的长分别为 20, 求相应角 C。 (本题满分 12 分)

20 3 ,5 的情况下, 3

18. 在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,求△ABC 的三边长. (本题满分 12 分)

2

19. 在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 (本题满分 13 分) 2 2 a b a b

20. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。 (本题满分 13 分)

3

21. 如图 1,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9 海里并以 20 海里/时 的速度沿南偏西 15°方向航行,若甲船以 28 海里/时的速度航行,应沿什么方向,用多少小时 能尽快追上乙船? (本题满分 12 分) 北 A 45° B 15°

C 图1

7 22.在△ABC 中, 已知角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 边 c= , 且 tanA+tanB= 3 tanA· tanB 2 3 3 - 3 ,又△ABC 的面积为 S△ABC= ,求 a+b 的值。 (本题满分 12 分) 2

4

高二数学必修 5 解三角形单元测试题参考答案 一、选择题

题 号 答 案

1 B

2 C

3 B

4 A

5 B

6 D

7 B

8 B

9 B

10 B

11 D

12 D

二、填空题 13. ②④ 三、解答题 14.50, 15.120 ,
0

16. 45

0

17. 解答:27、解:由正弦定理得 sin C ? (1)当 BC=20 时,sinC=

AB sin A 10 ? BC BC

1 ;? BC ? AB ? A ? C ? C ? 30 ° 2

(2)当 BC=

20 3 3 时, sinC= ; 3 2

? AB ? sin 45? ? BC ? AB ? C 有两解 ? C ? 60 ? 或 120° (3)当 BC=5 时,sinC=2>1; ? C 不存在
18. 解答:a=14,b=10,c=6 19. 证明:

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 ? ?

由正弦定理得:

sin 2 A sin 2 B ? a2 b2

?

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

20. 解: (1)由 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? 可得 2 sin
2

C ? 1 ? cos C ? 0 2

即 C=90°

? △ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 1 (2)内切圆半径 r ? ?a ? b ? c ? 2 1 ? ?sin A ? sin B ? 1? 2
5

?

2 ? ?? 1 2 ?1 sin? A ? ? ? ? 2 4? 2 2 ?

? 2 ?1? ? 0 , ? 内切圆半径的取值范围是 ? ? ? 2 ? ?
21. 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,设∠ABC=α ,∠BAC=β 。 ∴α =180°-45°-15°=120°。根据余弦定理 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ? ,
2 2 2

1 2 ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? ( ? ) , 128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , (4t-3) (32t+9)=0,解得 2 3 3 3 9 t= ,t= (舍)∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4 4 32 3 15 ? BC sin ? 2 ? 5 3 ,又∵α =120°,∴β 为锐角,β ? 根据正弦定理,得 sin ? ? AC 21 14 ? 5 3 5 3 7 2 5 3 ? 5 3 2 =arcsin , 又 < < , ∴arcsin < , ∴甲船沿南偏东 -arcsin 4 4 14 14 14 14 14 2 3 的方向用 h 可以追上乙船。 4

? 28t ?

2

22. 解答:由 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 可得

tan A ? tan B =- 3 ,即 tan(A+B)=- 3 1 ? tan A ? tan B
∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C=

? 3

3 3 1 3 3 1 3 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,∴ absinC= 即 ab× = , ∴ab=6 2 2 2 2 2 2 ? 7 2 2 2 2 2 2 又由余弦定理可得 c =a +b -2abcosC ∴( ) = a +b -2abcos 2 3 7 2 2 2 2 ∴( ) = a +b -ab=(a+b) -3ab 2
2 121 ∴(a+b) = , ∵a+b>0, 4

11 ∴a+b= 2

6


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