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高考数学4月模拟试卷 文(含解析)


2016 年广西柳州市高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知集合 A={x|x(x﹣2)≤0},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则 A∩B=( ) A.{﹣2,﹣1} B.{1,2} C.{﹣1,0,1,2} D.{0,1,2} 2.已知 zi=i﹣1,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 3.命题“? x∈R,sinx>1”的否定是( ) A.? x∈R,sinx≤1 B.? x∈R,sinx>1 C.? x∈R,sinx=1 D.? x∈R,sinx≤1 4.已知等差数列{an}中,若 a3+3a6+a9=120,则 2a7﹣a8 的值为( ) A.24 B.﹣24 C.20 D.﹣20 5.已知函数 f(x)=cos(π x+φ ) (0<φ < 则正确的选项是( ) )的部分图象如图所示,f(x0)=f(0) ,

A.

B.

C.

D.

6.设双曲线 曲线的离心率等于( A. B. C.

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 F 到渐近线的距离为 2a,则该双 ) D.3

7.若 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x﹣2y 的最小值是(



A.﹣5 B.

C.0

D.2 )

8.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(

1

A.﹣2 B.

C.﹣1 D.2 +3lnx+b(b∈R)在 x=1 处的切线过点(0,﹣5) ,则 b=( D. ) )

9.函数 g(x)=x3+ A. B. C.

10.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是(

A.4 B.2 C. D. 2 11.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A,B 两点, 且直线 l 与圆 x2﹣px+y2﹣ A. B. =0 交于 C, D 两点, 若|AB|=2|CD|, 则直线 l 的斜率为 ( C.±1 D. )

12.函数 f(x)的定义域为实数 R,f(x)=

对任意的 x∈R 都有

f(x+2)=f(x﹣2) .若在区间[﹣5,3]上函数 g(x)=f(x)﹣mx+m 恰好有三个不同的零 点,则实数 m 的取值范围是( )

2

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本答题共 4 小题,每小题 5 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 13. 在长为 2 的线段 AB 上任意取一点 C, 以线段 AC 为半径的圆面积小于 π 的概率为_______. 14.已知向量 =(x,y) , =(﹣1,2 ) ,且 + =(1,3) ,则 等于_______.

15.已知正实数 x,y 满足 xy=x+y,若 xy≥m﹣2 恒成立,则实数 m 的最大值是_______. 16.数列{an}满足 a1=2,且 an+1﹣an=2n(n∈N*) ,则数列 的前 10 项和为_______.

三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且三角形的面积为 S= (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c=8,点 D 在 BC 上,且 CD=2,cos∠ADB=﹣ ,求 b 的值. accosB.

18.某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升,下表是 2011 至 2015 年的统计数据: 年份 2011 2012 2013 2014 2015 居民生活用水量(万吨) 236 246 257 276 286 (Ⅰ)利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程 y=bx+a; (Ⅱ)根据改革方案,预计在 2020 年底城镇化改革结束,到时候居民的生活用水量将趋于 稳定,预计该城市 2023 年的居民生活用水量.

参考公式:



19.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,△PAB 和△CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,若 AB=2PC= ,D 是 PC 的中点 (1)证明:AB⊥PC; (2)求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆

=1(a>0,b>0) 的右焦点为 F (1,0) ,左顶点到点 F 的距离为

+1.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设过点 F,斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,且与短轴交于点 C,若△OAF 与△OBC 的面积相等,求直线 l 的方程. 21.已知函数 f(x)=﹣x+alnx(a∈R) . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; 2 (Ⅱ)设 g(x)=x ﹣2x+2a,若对任意 x1∈(0,+∞) ,均存在 x2∈[0,1],使得 f(x1)< g(x2) ,求 a 的取值范围. 四.请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 为⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BC,OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D. (Ⅰ)求证:CE2=CD?CB. (Ⅱ)若 D 为 BC 的中点,且 BC=2 ,求 AB 与 DE 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 和 C2 的参数方程分别是 (φ 为参数)和

(φ 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)射线 OM:θ =a 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求|OP|?|OQ|的最大值.

4

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|+m|x+a|. (Ⅰ)当 m=a=﹣1 时,求不等式 f(x)≥x 的解集; (Ⅱ)不等式 f(x)≥2(0<m<1)恒成立时,实数 a 的取值范围是{a|a≤﹣3 或 a≥3}, 求实数 m 的集合.

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2016 年广西柳州市高考数学模拟试卷(文科) (4 月份) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知集合 A={x|x(x﹣2)≤0},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则 A∩B=( ) A.{﹣2,﹣1} B.{1,2} C.{﹣1,0,1,2} D.{0,1,2} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中的不等式解得:0≤x≤2,即 A=[0,2], ∵B={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴A∩B={0,1,2}, 故选:D. 2.已知 zi=i﹣1,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解答】解:zi=i﹣1,∴﹣izi=﹣i(i﹣1) ,化为:z=1+i, 则复数 z 在复平面上所对应的点(1,1)位于第一象限. 故选:C. 3.命题“? x∈R,sinx>1”的否定是( ) A.? x∈R,sinx≤1 B.? x∈R,sinx>1 C.? x∈R,sinx=1 【考点】命题的否定. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是: ? x>0,sinx≤1, 故选:D.

D.? x∈R,sinx≤1

4.已知等差数列{an}中,若 a3+3a6+a9=120,则 2a7﹣a8 的值为( ) A.24 B.﹣24 C.20 D.﹣20 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出 2a7﹣a8 的值. 【解答】解:∵等差数列{an}中, a3+3a6+a9=120, ∴5(a1+5d)=120, ∴a1+5d=24, ∴2a7﹣a8=a1+5d=24. 故选:A.

6

5.已知函数 f(x)=cos(π x+φ ) (0<φ < 则正确的选项是( )

)的部分图象如图所示,f(x0)=f(0) ,

A.

B.

C.

D.

【考点】由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 【分析】根据函数 f(x)的部分图象知 f(0)= 条件即可. 【解答】解:根据函数 f(x)=cos(π x+φ ) (0<φ < f(0)= , )=cos )=﹣cos =cos =﹣ = ,满足题意; )的部分图象知, ,分别验证 A、B、C、D 选项是否满足

对于 A,cos( π + 对于 B,cos(π + 对于 C,cos( π + 对于 D,cos(π + 故选:A.

,不满足题意;

)=cos2π =1,不满足题意; )=﹣cos =﹣ ,不满足题意;

6.设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 F 到渐近线的距离为 2a,则该双

曲线的离心率等于( ) A. B. C. D.3 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设 F(c,0) ,渐近线方程为 y= x,运用点到直线的距离公式可得 b=2a,由 a,b, c 的关系和点到直线的距离公式,可得 c= a,运用离心率公式计算即可得到所求值.

【解答】解:由题意可设 F(c,0) ,渐近线方程为 y= x,

由题意可得 d=

=b=2a,

可得 c=

=

a,
7

即有离心率 e= = 故选:C.



7.若 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x﹣2y 的最小值是(



A.﹣5 B.

C.0

D.2

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 【解答】解:由 z=x﹣2y 得 y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC) : 平移直线 y= , ,过点 A 时,直线 y= 的截距最大,此时 z 最小,

由图象可知当直线 y=



,解得

,即 A(3,4) .

代入目标函数 z=x﹣2y, 得 z=3﹣8=﹣5, ∴目标函数 z=x﹣2y 的最小值是﹣5. 故选:A.

8.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(



8

A.﹣2 B.

C.﹣1 D.2

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 A 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:模拟执行程序,可得: i=0,A=2 执行循环体,i=1,A= , 不满足条件 i>2016,执行循环体,i=2,A=﹣1; 不满足条件 i>2016,执行循环体,i=3,A=2; 不满足条件 i>2016,执行循环体,i=4,A= , … 循环下去,而 20116=3×672,i=2017 时,与 i=4 输出值相同,即 A= . 故选:B.

9.函数 g(x)=x3+ A. B. C.

+3lnx+b(b∈R)在 x=1 处的切线过点(0,﹣5) ,则 b=( D.



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出 g(x)的导数,可得切线的斜率和切点,运用两点的斜率公式,解方程,即 可得到 b 的值. 【解答】解:函数 g(x)=x3+ +3lnx+b 的导数为 g′(x)=3x2+5x+ ,

9

可得 g(x)在 x=1 处的切线斜率为 k=11,切点为(1,

+b) ,

由两点的斜率公式可得 11=



解得 b= . 故选:B. 10.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是( )

A.4 B.2 C. D. 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由三视图知该几何体一个三棱锥, 由三视图求出几何元素的长度、 线面的位置关系, 由线面垂直的定义判断几何体四个面中的直角三角形, 由勾股定理和三角形面积公式求出直 角三角形的面积和. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个三棱锥,且 PB⊥平面 ABC, 底面是的等腰三角形,底 BC=2,BC 边上的高为 2, ∵PB⊥平面 ABC, ∴PB⊥BC、PB⊥AB,即△PBC、△PAB 是直角三角形, ∵AB= , =2+

∴直角三角形的面积和 S= 故选:D.

11.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A,B 两点, 且直线 l 与圆 x2﹣px+y2﹣ A. B. =0 交于 C, D 两点, 若|AB|=2|CD|, 则直线 l 的斜率为 ( C.±1 D. )

2

10

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 由F 直线 l 的方程为 y=k x+ , 由 x2﹣px+y2﹣ =0 配方为: +y2=p2, 可得: |CD|=2p. 设

, A (x1, y1) , B (x2, y2) , 与抛物线方程联立化为: x2﹣ .利用

=0,利用根与系数的关系及其抛物线的定义可得:|AB|=x1+x2+p=2p+

|AB|=2|CD|,即可得出. 【解答】 解: 由F 设直线 l 的方程为 y=k , 由 x2﹣px+y2﹣ =0 配方为: +y2=p2, 可得: |CD|=2p.

,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

联立

,化为:x2﹣

x+

=0,

∴x1+x2=p+

. . =4p. ,可得 k =1,解得 k=±1.
2

∴|AB|=x1+x2+p=2p+ 由|AB|=2|CD|,∴2p+ 故选:C.

12.函数 f(x)的定义域为实数 R,f(x)=

对任意的 x∈R 都有

f(x+2)=f(x﹣2) .若在区间[﹣5,3]上函数 g(x)=f(x)﹣mx+m 恰好有三个不同的零 点,则实数 m 的取值范围是( ) A. B. C. D.

【考点】分段函数的应用;函数零点的判定定理. 【分析】由函数的性质得到周期性,由函数零点转换为两图象相交,由数形结合得到 m 的范 围. 【解答】解:∵任意的 x∈R 都有 f(x+2)=f(x﹣2) . ∴函数 f(x)的周期是 4, ∵在区间[﹣5,3]上函数 g(x)=f(x)﹣mx+m 恰好有三个不同的零点, 即函数 f(x)与函数 h(x)=mx﹣m 在区间[﹣5,3]上有三个不同的交点, 在同一直角坐标系上画出两个函数的图象:

11

得到

≤m<

即﹣ ≤m<﹣ , 故选 B. 二、填空题(本答题共 4 小题,每小题 5 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 13. 在长为 2 的线段 AB 上任意取一点 C, 以线段 AC 为半径的圆面积小于 π 的概率为 .

【考点】几何概型. 【分析】设 AC=x,根据圆的面积小于 π ,得到 0<x<1,然后结合几何概型的概率公式进 行计算即可. 【解答】解:设 AC=x, 若以线段 AC 为半径的圆面积小于 π , 则 π x2<π ,则 0<x<1, 则对应的概率 P= , 故答案为: .

14.已知向量 =(x,y) , =(﹣1,2 ) ,且 + =(1,3) ,则

等于 5 .

【考点】向量的模;向量的加法及其几何意义. 【分析】根据向量 =(x,y) , =(﹣1,2 ) ,且 + =(1,3)三个条件得到 的坐标,本 题要求一个向量的模长, 这种问题一般对要求的结果先平方, 变为已知的向量的模长和数量 积的问题. 【解答】解:∵向量 =(x,y) , =(﹣1,2 ) , ∴ =(x﹣1,y+2) ∵ + =(1,3) , ∴(x﹣1,y+2) )=(1,3) ∴x﹣1=1,y+2=3,

12

∴x=2,y=1, ∴ =(2,1) ∴| |= ,| |= ∴| ﹣2 |= 故答案为:5



=0, = =5,

15.已知正实数 x,y 满足 xy=x+y,若 xy≥m﹣2 恒成立,则实数 m 的最大值是 6 . 【考点】基本不等式. 【分析】求出 xy 的最大值,问题转化为 m﹣2≤4,求出 m 的最大值即可. 【解答】解:由 x>0,y>0,xy=x+y≥2 , 得:xy≥4, 于是由 m﹣2≤xy 恒成立, 得:m﹣2≤4, 解得:m≤6, 故答案为:6.

16.数列{an}满足 a1=2,且 an+1﹣an=2 (n∈N ) ,则数列

n

*

的前 10 项和为



【考点】数列的求和. n 【分析】由 a1=2,且 an+1﹣an=2 ,利用“累加求和”方法可得 an,再利用等比数列的前 n 项 和公式即可得出. n 【解答】解:∵a1=2,且 an+1﹣an=2 , ∴n≥2 时,an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=2 当 n=1 时也成立, ∴an=2n. ∴ = .
n﹣1

+2

n﹣2

+…+2+2=

+1=2 ,

n

∴数列

的前 10 项和=

=



故答案为:



三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且三角形的面积为 S= (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c=8,点 D 在 BC 上,且 CD=2,cos∠ADB=﹣ ,求 b 的值. accosB.

13

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (I)由 S△ABC= 得出 tanB= ,故而 B= ;

(II)在△ABD 中使用正弦定理求出 AD,在△ACD 中使用余弦定理计算 AC. 【解答】解: (I)在△ABC 中,∵S△ABC= ∴tanB= ∴B= . ,cos∠ADC= . . ,

(II)∵cos∠ADB=﹣ ,∴sin∠ADB=

在△ABD 中,由正弦定理得

,即



解得 AD=7. 2 2 2 在△ACD 中,由余弦定理得 AC =AD +CD ﹣2AD?CDcos∠ADC=49+4﹣4=49, ∴AC=7.即 b=7. 18.某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升,下表是 2011 至 2015 年的统计数据: 年份 2011 2012 2013 2014 2015 居民生活用水量(万吨) 236 246 257 276 286 (Ⅰ)利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程 y=bx+a; (Ⅱ)根据改革方案,预计在 2020 年底城镇化改革结束,到时候居民的生活用水量将趋于 稳定,预计该城市 2023 年的居民生活用水量.

参考公式:



【考点】线性回归方程. 【分析】 (I)根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程; (II) 由于到 2020 年用水量趋于稳定, 故 2023 年的用水量约等于 2020 年的用水量, 把 x=2020 代入回归方程求出用水量的估计值. 【解答】解: (I) =2013, = =260.2,

14

= (﹣2) × (﹣24.2) + (﹣1) × (﹣14.2) +0+1×15.8+2×25.8=130.

=4+1+0+1+4=10.

∴b=

=13,

∴回归方程为 y﹣260.2=13(x﹣2013) ,即 y=13(x﹣2013)+260.2. (II)当 x=2020 时,y=13+260.2=351.2(万吨) . 答:该城市 2023 年的居民生活用水量预计为 351.2 万吨. 19.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,△PAB 和△CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,若 AB=2PC= ,D 是 PC 的中点 (1)证明:AB⊥PC; (2)求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)利用直线平面的垂直来证明得出 AB⊥平面 PEC,再利用转为直线直线的垂直证 明. (2)作出 AD 与平面 ABC 所成角的角,转化为三角形求解即可. 【解答】证明: (1)取 AB 中点 E, ∵△PAB 和△CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形 ∴CE⊥AB,PE⊥AB, ∵CE∩PE=E, ∴∵PC? 平面 PEC ∴AB⊥PC 解: (2)∵ ,

∴角形 PEC 为正三角形, 过 P 作 PO⊥CE,则 PO⊥平面 ABC, 过 D 作 DH 平行 PO,则 DH⊥平面 ABC, 连 AH,则∠DAH 为所求角

15







20. 已知椭圆

=1(a>0,b>0) 的右焦点为 F (1,0) ,左顶点到点 F 的距离为

+1.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设过点 F,斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,且与短轴交于点 C,若△OAF 与△OBC 的面积相等,求直线 l 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得 c=1,a+c=1+ ,解得 a,由 b= ,可得 b,进而得到椭

圆方程; (Ⅱ)设过点 F,斜率为 k 的直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,C(0,﹣k) ,联立椭圆方程,消 去 y,可得 x 的方程,运用韦达定理,由三角形的面积公式可得|AF|=|BC|,即有线段 AB 的 中点和线段 CF 的中点重合,运用中点坐标公式,解方程可得斜率 k,进而得到所求直线的 方程. 【解答】解: (Ⅰ)哟题意可得 c=1,a+c=1+ , 解得 a= ,b=
2

=1, +y =1;

即有椭圆的方程为

(Ⅱ)设过点 F,斜率为 k 的直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,C(0,﹣k) , 联立 ,可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 4 2 则△=16k ﹣4(1+2k ) (2k2﹣2)=8+8k2>0 成立, x1+x2= ,

由△OAF 与△OBC 的面积相等,可得|AF|=|BC|, 即有线段 AB 的中点和线段 CF 的中点重合, AB 的中点的横坐标为 ,

CF 的中点的横坐标为 ,

即有

= ,

解得 k=±



16

则所求直线的方程为 y=±

(x﹣1) ,即为 x±

y﹣1=0.

21.已知函数 f(x)=﹣x+alnx(a∈R) . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 g(x)=x2﹣2x+2a,若对任意 x1∈(0,+∞) ,均存在 x2∈[0,1],使得 f(x1)< g(x2) ,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (Ⅱ)问题转化为 f(x)max<g(x)max,分别求出其最大值,得到关于 a 的不等式,解出即 可. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=﹣1+ = (x>0) ,

①a≤0 时,由于 x>0,故 x﹣a>0,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,+∞)递减, ②a>0 时,由 f′(x)=0,解得:x=a, 在区间(0,a)上,f′(x)>0,在区间(a,+∞)上,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(0,a)递增,在(a,+∞)递减, 综上,a≤0 时,f(x)在(0,+∞)递减,无递增区间, a>0 时,函数 f(x)在(0,a)递增,在(a,+∞)递减; (Ⅱ)由已知,转化为 f(x)max<g(x)max, g(x)max=2a, 由(Ⅰ)得:a<0 时,f(x)在(0,+∞)递减,值域是 R,不合题意, a=0 时,f(x)=﹣x<0=g(x)max,符合题意, a>0 时,f(x)在(0,a)递增,在(a,+∞)递减, 故 f(x)的极大值即为最大值, f(a)=﹣a+alna,故 2a>﹣a+alna,解得:0<a<e3. 综上,a 的范围是[0,e3]. 四.请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 为⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BC,OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D. (Ⅰ)求证:CE2=CD?CB. (Ⅱ)若 D 为 BC 的中点,且 BC=2 ,求 AB 与 DE 的长.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质.

17

【分析】 (Ⅰ)连接 BE,由切线的性质和相似三角形的判定定理可得△CED∽△CBE,即可得 证; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CE2=CB?CD,结合条件可得 CE=2,运用直角三角形的勾股定理可得 OB=1, 2 由勾股定理可得 AD,再由切割线定理可得 BD =DE?DA,即可得到所求值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:连接 BE,由 BC 为圆 O 的切线, 可得∠ABC=90°,∠CBE=∠A, 由 OA=OE,可得∠A=∠AEO, 由∠AEO=∠CED,可得∠CED=∠CBE, 又∠C=∠C,可得△CED∽△CBE, 即有 = ,

可得 CE2=CB?CD; 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CE =CB?CD, D 为 BC 的中点,且 BC=2 , 2 可得 CE =2 × =4,即 CE=2, 又 OB2+BC2=OC2=(OE+EC)2=(OB+CE)2, OB2+8=OB2+4OB+4, 解得 OB=1,AB=2OB=2, 又 AD= =
2

=



由切割线定理可得 BD =DE?DA, 则 DE= = = .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 和 C2 的参数方程分别是 (φ 为参数)和

(φ 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)射线 OM:θ =a 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求|OP|?|OQ|的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程,再把直角坐标方程为转化成极坐 标方程. (2)根据圆的坐标形式.利用两点间的距离公式,再利用换元法进一步求出最值. 【解答】解: (1)圆 C1 (φ 为参数) ,

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转化成直角坐标方程为: (x﹣2)2+y2=4 即:x2+y2﹣4x=0 转化成极坐标方程为:ρ 2=4ρ cosθ 即:ρ =4cosθ 圆 C2 (φ 为参数) ,

转化成直角坐标方程为:x2+(y﹣1)2=1 即:x2+y2﹣2y=0 2 转化成极坐标方程为:ρ =2ρ sinθ 即:ρ =2sinθ (2)射线 OM:θ =α 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q 则:P(2+2cosα ,2sinα ) ,Q(cosα ,1+sinα ) 则:|OP|= |OQ|= 则:|OP||OQ|= = 设 sinα +cosα =t( 则: 则关系式转化为: 4 = = = ,



由于: 所以: (|OP||OQ|)max=



[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|+m|x+a|. (Ⅰ)当 m=a=﹣1 时,求不等式 f(x)≥x 的解集; (Ⅱ)不等式 f(x)≥2(0<m<1)恒成立时,实数 a 的取值范围是{a|a≤﹣3 或 a≥3}, 求实数 m 的集合. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (Ⅰ)将 m=a=﹣1 代入(x) ,通过讨论 x 的范围求出不等式的解集即可; (Ⅱ)根据 绝对值的性质得到 2m|a|≥2,解出 a,得到关于 m 的方程,解出即可. 【解答】解: (Ⅰ)m=a=﹣1 时,|x+1|﹣|x﹣1|≥x, x<﹣1 时,﹣(x+1)+(x﹣1)≥x,解得:x≤﹣2, ﹣1≤x≤1 时, (x+1)+(x﹣1)≥x,解得:0≤x<1, x≥1 时, (x+1)﹣(x﹣1)≥x,解得:1≤x≤2, 综上,不等式的解集是{x|x≤﹣2 或 0≤x≤2}; (Ⅱ)f(x)=|x﹣a|+m|x+a|=m(|x﹣a|+|x+a|)+(1﹣m)|x﹣a|≥2m|a|+(1﹣m)|x﹣ a|≥2m|a|≥2,

19

解得:a≤﹣ 或 a≥ , ∵数 a 的取值范围是{a|a≤﹣3 或 a≥3}, 故 =3,解得:m= , ∴实数 m 的集合是{m|m= }.

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