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九年级数学实际问题与二次函数


同学们,今天就让我们一 起去体会生活中的数学给 我们带来的乐趣吧!

某商品现在的售价为每件60元, 每星期可卖出300件,市场调查反 映:每涨价1元,每星期少卖出10 件;每降价1元,每星期可多卖出 18件,已知商品的进价为每件40 元,如何定价才能使利润最大?
请大家带着以下几个问题读题

(1)题目中有几种调整价格的方法?

(2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是 自变量?哪些量随之发生了变化?

某商品现在的售价为每件60元,每星期 可卖出300件,市场调查反映:每涨价1 元,每星期少卖出10件;每降价1元,每 星期可多卖出18件,已知商品的进价为 每件40元,如何定价才能使利润最大?

分析:

调整价格包括涨价和降价两种情况

先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商 品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。 涨价x元时则每星期少卖 10x件,实际卖出(300-10x) 件,销额 为 (60+x)(300-10x) 元,买进商品需付40(300-10x) 元因此, y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 所得利润为 元 即

y ? ?10x ? 100x ? 6000
2

(0≤X≤30)

b x?? ? 5时,y最大值 ? ?10 ? 52 ? 100? 5 ? 6000? 6250 2a

y ? ?10x 2 ? 100x ? 6000 (0≤X≤30)

所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元 可以看出,这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分,这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点, 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时,这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.

y\元

6250 6000

0

5

30

x\元

在降价的情况下,最大利润是多少? 请你参考(1)的过程得出答案。 解:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖18x件,实 际卖出(300+18x)件,销售额为(60-x)(300+18x)元,买 进商品需付40(300-10x)元,因此,得利润
做一做

y ? ?60 ? x ??300 ? 18x ? ? 40?300 ? 18x ?
2
2

? ?18x ? 60x ? 6000 (0≤x≤20)
b 5 5 ?5? 当x ? ? ? 时,y最大 ? ?18? ? ? ? 60? ? 6000? 6050 2a 3 3 ? 3?

1 答:定价为 58 元时,利润最大,最大利润为6050元 3 由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?

(1)列出二次函数的解析式,并根 据自变量的实际意义,确定自变量的 取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。

1.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕,某果品批发公司为 指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查 统计,得到如下数据:
销售价 x(元/千克)
销售量 y(千克) … …

25 2000

24 2500

23 3000

22 3500

… …

(1)在如图的直角坐标系内,作出各组 有序数对(x,y)所对应的点.连接各 点并观察所得的图形,判断y与x之间的 函数关系,并求出y与x之间的函 数关系式; (2)若樱桃进价为13元/千克,试求销 售利润P(元)与销售价x (元/千克)之间 的函数关系式,并求出当x取何值时,P 的值最大?

解:(1)正确描点、连线.由图象可知,y是x的一次 函数.设 y=kx+b , ∵点(25,2000),(24,2500)在图象上,
?2000 ? 25k ? b, ? ?2500 ? 24k ? b.

解之得:

, ? k ? ?500 ? . ?b ? 14500

∴ y =-500x+14500 (2)P=(x-13)· y=(x-13)· (-500 x+14500) =-500 x 2+21000 x-188500=-500(x-21)2+ 32000. ∴P与x的函数关系式为P=-500 x 2+21000 x- 188500,当销售价为21元/千克时,能获得最大利润.

(03河北) 2:某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种 市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批 量生产。已知生产每件产品的成本为40元,在销售过程中发现: 当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加 10元,年销售量将减少1万件,设销售单价为x元,年销售量为y 万件,年获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)z万元。 (1)试写出y与x之间的函数关系式;(不必写出的取值范围) (2)试写出z与x之间的函数关系式;(不必写出的取值范围) (3)计算销售单价为160元时的年获利,并说明同样的年获利, 销售单价还可以定为多少元?相应的年销售量分别为多少万件? (4)公司计划:在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售, 第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明, 第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?

解:(1)依题意知,当销售单价定为x元时,年销售量 1 减少 10 (x-100)万件. 1 1 ∴y=20- 10 (x-100) = - 10 x+30. 1 即y与x之间的函数关系式是: y = - 10 x+30. 1 1 (2)由题意,得:z = (30- 10 )(x-40)-500-1500 = - 10 x2+34x-3200. 1 2 即z与x之间的函数关系式是 - 10 x +34x-3200. 1 : z =2 (3) ∵当x取160时,z= - 10×160 +34×160-3200 = - 320. 1 2 ∴ - 320 = - x +34x-3200. 10 2 整理,得x -340+28800=0. 由根与系数的关系,得 160+x=340. ∴x=180. 即同样的年获利,销售单价还可以定为180元. 1 当x=160时,y= - ×160+30=14; 10 1 当x=180时,y= -10 ×180+30=12. 即相应的年销售量分别为14万件和12万件.

1 1 2 (4)∵z = - 10x +34x-3200= - 10(x-170)2-310. ∴当x=170时,z取最大值,最大值为-310. 也就是说:当销售单价定为170元时,年获利最大,并 且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资. 第二年的销售单价定为x元时,则年获利为: 1 z = (30x)(x-40)-310 1 10 = - 10 x2+34x-1510.
z(万元) 1380

1130

1 2 当z =1130时,即1130 = - 10x +34x -1510. 整理,得 x2-340x+26400=0. 解得 x1=120, x2=220. 1 2 函数z = - 10 x +34x-1510的图象大致如图所示:由图 象可以看出:当120≤x≤220时,z≥1130. 所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于 220元的范围内.
O 120 170 220

x(元

例:某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时 间的经营发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部 租出。在此基础上,当每套设备的月租金每提高10元时,这种 设备就少租出一套,且没租出的一套设备每月需支出费用(维护 费、管理费等)20元。设每套设备的月租金为x(元),租赁公 司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y (元)。 (1)用含x的代数式表示未出租的设备数(套)以及所有未出 租设备(套)的支出费 (2)求y与x之间的二次函数关系式; (3)当月租金分别为300元和350元式,租赁公司的月收益分别 是多少元?此时应该出租多少套机械设备?请你简要说明理由; b 2 4ac ? b 2 (4)请把(2)中所求出的二次函数配方成 y ? a( x ? 2a ) ? 4a 的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备 的月收益最大?最大月收益是多少?

解:(1)未租出的设备为 套,所有未出租设备支出的费 用为(2x-540)元; (2) y ? (40 ? x ? 270 ) x ? (2x ? 540) ? ? 1 x2 ? 65x ? 540
10 10

x ? 270 10

(3)当月租金为300元时,租赁公司的月收益为11040元,此时 租出设备37套;当月租金为350元时,租赁公司的月收益为 11040元,此时租出设备32套。因为出租37套和32套设备获得同 样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应该选择出租32套;如果 考虑市场占有率,应该选择37套; (4)y ? ? 1 x2 ? 65x ? 540 ? ? 1 ( x ? 325)2 ? 11102.5
10 10

∴ 当x=325时,y有最大值11102.5。 但是当月租金为325元时,出租设备的套数为34. 5套,而34.5不 是整数,故出租设备应为34(套)或35(套)。即当月租金为 330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公 司的月收益最大,最大月收益均为11100元。

例:(07河北)某超市销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为 每箱40元,生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间.市 场调查发现:若每箱50元销售,平均每天可销售90箱,价 格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均 每天少销售3箱. (1)写出平均每天的销售量y(箱)与每箱售价x(元)之 间的函数关系式(注明自变量x的取值范围); (2)求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每 箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润= 售价-进价); b 2 4ac ? b 2 (3)请把(2)中所求出的二次函数配方成 y ? a( x ? 2a ) ? 4a 的形式,并指出当x=40、70时,W的值. (4)在坐标系中画出(2)中二次函数的图象,请你观察图 象说明:当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大 利润为多少?

解:(1)y=240-3x;(2)W=-3x2+360x-9600 (40≤x≤70);(3)W=-3(x-60)2+ 1200.当 x =40时,W=0;当x =70时,W=900.(4)图象 略.由图象可知:当售价为60元时,最大销售利润 为1 200元.

y
20 9

( 4, 4)

1 2 ? y ? ? ? x ? 4 ? ? 4 (0≤x≤8) 9

1 ?a ? ? 9

0

4

8

x

20 当x ? 8时, y ? 9

如图,建立平面 直角坐标系, 点(4,4)是图中这段抛物 线的顶点,因此可设这段抛 物线对应的函数为:

∵篮圈中心距离地面3米

∴此球不能投中

y ? a?x ? 4? ? 4
2

(0≤x≤8)

? 20 ? ? 抛物线经过点 ? 0, ? ? 9 ? 20 2 ? ? a?0 ? 4? ? 4 9

若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?

探究

(1)跳得高一点 (2)向前平移一点

在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈?
6

y
(4,4)

4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?2

(8,3) ? 20 ? ? 8, ? ? 9 ?

0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

x
-2

在出手角度、力度及高度都不变的情况下,则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈?
6

y

(4,4) (5,4)
4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?
2

(7,3) (8,3)


0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

X
-2

例:某跳水运动员进行10米跳台训练时,身体(看成一点)在空 中的运动路线是一条抛物线如图所示(图中标出的数据为已知条 件),在跳某个 规范动作时,通常情况下,该运动员在空中的最 2 高处距水面10 3 m,入水处距池边的距离为4 m,运动员在距水面 高度为5 m以前,必须完成规范的翻腾动作,并调整好入水姿势, y 否则就会出现失误。 3m A (1)求这条抛物线对应 的二次函数解析式
(2)在某次试跳时,测得运动员 在空中的运动路线是(1)中的抛物线且 10m
跳 台 支 柱

x

运动员在空中调整好入水姿势时,距池边 2 的水平距离为3 m,问此次跳水会不会失误, 5 通过计算说明理由。

1m
池边

B

水面

解:(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水 点位B,抛物线的关系式为:y=ax2+bx+c
由题意知,O、B两点的坐标依次为(0,0),(2, 2 -10)且顶点的纵坐标为 3 25 c=0 a=- 6 ∴ 解得: 4ac-b2 2 10 = 3 b= 3 4a 4a+2b+c=-10 c=0 a=- 3 2 ∵抛物线对称轴在 y轴右 或 b 侧,∴- 2a >0 b=-2 又∵抛物线开口向下,∴a<0,b>0 c=0

∴a=- 25 b= 10 c=0 6 3 25 2 10 ∴抛物线关系式为y=- 6 x + x 3 3 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 3 m, 即 3 5 16 5 8 25 8 2 2= 5 时,y=() ×( ) + 10 × 8 =5 6 5 3 3 14 16 ∴此时运动员距水面的高为10= 3 3 因此此次跳水会出现失误

例: (05河北)某食品零售店为仪器厂代销一种面 包,未售出的面包可退回厂家,以统计销售情况发现, 当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个。在 此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店 每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店 每个面包的成本是5角。 设这种面包的单价为x(角),零售店每天销售这种 面包所获得的利润为y(角)。 ⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出 的面包个数; ⑵求y与x之间的函数关系式; ⑶当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面 包获得的利润最大?最大利润为多少?

解:⑴每个面包的利润为(x-5)角,卖出的面包个数为 (300-20x)(或[160-(x-7)×20]) (2) y ? (300? 20x)(x ? 5) ? ?20x 2 ? 400x ? 1500
2 y ? ? 20 x ? 400x ? 1500 即:

(3) y ? ?20x ? 400x ? 1500? ?20( x ? 10) ? 500
2 2

∴当x=10时,y的最大值为500。 ∴当每个面包单价定为10角时,该零售店每天获得 的利润最大,最大利润为500角

例: (06河北)利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这 里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算, 未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售 量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进 行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售 量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料 共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元), 该经销店的月利润为y(元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认 为对吗?请说明理由.

解:(1)45 ? 10 ? 7.5=60(吨). (2) y ? ( x ? 100)(45 ? 260 ? x ? 7.5)
化简得: (3) y ? ? 3 x 2 ? 315x ? 24000 ? ? 3 ( x ? 210)2 ? 9075
4

260 ? 240

3 y ? ? x2 ? 315x ? 24000 4

10

4

利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨21元. (4)我认为,小静说的不对. 理由:方法一:当月利润最大时,x为210元, 3 260 ? x 2 ? 7.5) ? ? ( x ?160) ? 19200 而对于月销售额 W ? x(45 ? 10 4 来说,当x为160元时,月销售额W最大.∴当x为210元时,月 销售额W不是最大. ∴小静说的不对. 方法二:当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为 17325元;而当x为200元时,月销售额为18000元.∵17325< 18000,∴当月利润最大时,月销售额W不是最大. ∴小静说的不对.

例:图14-1是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中 的数据:

(1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图14-2所示的 坐标系中画出y关于x的函数图象; (2)① 填写下表:

② 根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x表示y 的二次函数表达式: . (3)当水面宽度为 36 m时,一艘吃水深度(船底部到水 面的距离)为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过?为什 么?

y/ m 14 12 10 8 6 4 2 O 10 20 30 40 50 60 x /m 图14—2

解:(1)图象如下图所示.

y/m
14 12

( 2)
x 5 10 20 30 40 50

10 8

x2 y

200

200

200

200

200

200

6 4 2

1 2 y? x . 200 y? ? 182 ? 1.62,

O

10

20

30

40

50

60

x/m

(3)当水面宽度为 36m时,相应的x=18,则 1 此时该河段的最大水深为1.62m 因为货船吃水深 为1.8m,而1.62<1.8, 所以当水面宽度为36m时,该货船不能通过这个 河段.
200

例(08河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究, 为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第 一年的年产量为 x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满 1 2 足关系式 y ? 10 x ? 5 x ? 90 ,投入市场后当年能全部售出,且在 甲、乙两地每吨的售价P甲、P乙(万元)均与x满足一次函数关 系.(注:年利润=年销售额-全部费用) 1 p ? ? (1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,甲 20 x ? 14 ,请你 用含x的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润 w甲 (万元) 与x之间的函数关系式; 1 p ? ? x?( n n为常 (2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时, 乙 10 数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定n的值; (3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一 年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你 通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的 年利润? b 4ac ? b ? 参考公式:抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的顶点坐标是.? ? , ? ?
2

? 2a

4a

?

解:(1)甲地当年的年销售额为
3 2 w甲 ? ? x ? 9 x ? 90 20

? 1 2 ? ? x ? 14 x ? ? ? 20 ?

万元;

(2)在乙地区生产并销售时, 1 1 ?1 ? x ? nx ? ? x ? 5x ? 90 ? ? ? x ? (n ? 5) x ? 90 年利润. w ? ? 10 5 ? 10 ? 由 4 ? ? ? 1 ? ? (?90) ? (n ? 5) ,解得 n ? 15或. ?5
2 2 2 乙

? ? ? 5?

2

? 1? 4?? ? ? ? 5?

? 35

经检验, n ? ?5 不合题意,舍去, ? n ? 15 . (3)在乙地区生产并销售时,年利润 w乙 ? ? 1 x 2 ? 10 x ? 90 , 5 x ? 18 w ? 25.2 将 代入上式,得 乙 (万元);将 x ? 18 代 3 2 w ? ? 入 甲 20 x ? 9 x ? 90 , 得w甲 ? 23.4 (万元). ? w乙 ? w甲 ,应选乙地.

用抛物线的知识解决运动场上或者生 活中的一些实际问题的一般步骤:
建立直角坐标系 二次函数 问题求解 找出实际问题的答案

寄语

生活是数学的源泉, 探索是数学的生命线.

作业
P28:2、3、4

上海自动化仪表四厂创建于1950年,是机械工业部专业生产压力检测仪表和压力计量仪器的重点企业。现有职工645人,其中专业技术人员180 多人,高级工程师12人,厂区占地面积12000多平方米,建筑面积22000平方米,是我国压力仪表的最大生产基地之一,注册商标“白云牌”。 白云牌系列压力表广泛应用于石油化工、冶金矿山、交通运输、电站、轻纺、食品、科研等行业中,产品以精度高、品种多、质量优而著称, 赢得了很高的声誉,并出口欧美及东南亚。产品有特种压力表、压力计量仪器,压力控制器,压力变送器,一般压力表和专用压力表及计算机 实时控制系统等六大类共100多个品种4000多种规格。 近年来,随着高新技术的发展和应用,上海自动化仪表四厂对老产品更新换代的同时,还致力于新产品的开发。国家级新产品 -全不锈钢系列压 力表,基质量性能,功能价格比,品种范围均在国内领先,1995年和1996年连续被推荐为上海市名牌产品。从英国引进的PM10压力变送器及派 生产品迅速在国内赢得市场。四厂生产的CY系列小型压力传感器是长征系列及各类型火箭弹体的关键部件,在历次卫星和战略导弹的发射中本 部件做到万无一失,对我国火箭发射和导弹研究做出了很大的贡献,曾多次受到国防科工委的嘉奖。本厂已跨入上海市高新技术产业行业, 1996年又通过了ISO9001质量体系认证。上海自动化仪表四厂 www.shzy4.com 上海自动化仪表四厂 vzg42wcv 发展战略编辑● 电子商务发展战略 上海自动化仪表四厂电子商务的战略目标定位在从全球客户的需求变化出发,以全球一体化的营销体系为业务平台,仪器仪表生产、成套业务、 网站销售和现场安装、在线服务重组为管理平台,以客户满意为文化理念平台构建基于Internet的、智能的、服务方式柔性的、运输方式综合 多样并与环境协调发展的网上运输和综合物流系统。 说:“这有什么不好意思的。你们是没有见过我爹,他可是个随和实在的好人呢!耿伯伯您正好给他当大哥!”看着小青的可爱模样,耿老爹 笑了,说:“好啊,那我岂不就有了一个好侄女儿啦!”小青开心地说:“我还有了哥哥、妹妹和弟弟呢!”又转向耿正兄妹三人,神秘地低 着声儿问:“你们可知道我们这里把哥哥叫成什么吗?‘拐子’!忒难听,咱们不那样叫!”乔氏赶快接话说:“对了,还没有问耿大哥这三 个娃儿的年龄呢。”耿老爹顺序指着耿正、耿英和耿直说:“十七、十四、九岁。”小青怔了怔,不好意思地说:“那我还是他们的姐姐呢, 我今年十八岁了。”又推一推乔氏,有点儿不高兴似地说:“我爹比耿伯伯还小一岁哩。你们为什么要早生我呢?”耿老爹、耿正、耿英和耿 直都被小青的话给逗笑了。乔氏点点小青的鼻子,说:“好你一个开心果子,吃着饭还堵不住你这张嘴巴!”一转头看到耿正刚好吃完了,赶 快站起身来说:“娘娘给你再捞一碗面!”小青又耐不住了,对娘说:“姆妈,你就说婶子吧。听我爹说,北方人不叫娘娘,是叫婶婶!”耿 正忙说:“入乡随俗,叫娘娘好,就叫娘娘!”小青好看的瓜子脸蛋儿突然红了,小声儿说:“那叔叔还叫幺爹呢!你,还有耿英妹妹和耿直 小弟会这么叫我爹吗?”耿正还没有来得及回答,耿英和耿直就齐声说:“怎么不能呢,我们早就听说了,在这一带,幺爹就是叔叔!”欢欢 喜喜吃完早饭后,耿老爹和耿正告了谢,就带着耿直去东边屋子了。耿英要帮助洗锅刷碗,乔氏说:“有你小青姐姐呢。你们那边屋里还没有 收拾好哩,快过那边收拾去吧!”耿英说:“我爹说,他正在考虑我们下一步往哪里去呢!”乔氏瞪大了眼睛急切地问:“怎么,你们这就要 走?”看一眼楞在桌旁的小青,乔氏也不收拾这边了,拉了耿英转身就进东边屋子和耿老爹说话。123第十九回 无奈过江再谋生|(江水决堤睡 梦中,一片汪洋五雷轰;汉口灾重难复荣,无奈过江再谋生。)约莫半夜时分,外面风雨大作。呼呼的风声伴着瓢泼一般的大雨越下越大,似 有排山倒海之势,让人听了不免有些胆战心惊。耿直大概是昨儿晚上哭累了吧,躺下后就沉沉地睡着了。耿老爹、耿正和耿英都想着心事,本 来就睡得不踏实,听着风雨声如此猛烈,更是无法入睡。一直挨到将近天亮,外面的风雨声渐渐小了一些,三人才迷迷糊糊地睡着了。猛然间, 一阵“轰隆隆”、“空哩咣当”的声音将耿家父子四人全部惊醒了。耿老爹和耿正披起衣服奔到窗前往外一看,眼前的一幕一下子把他们惊呆 了:风雨虽然已经停息了;但在淡淡的晨曦中,美丽的汉口镇完全不见了,所能够望及之处皆是一片汪洋;再低头一看,混浊的水已经漫过了 一楼的多半个窗


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