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2016届高考数学—热点难点突破-不拉分系列之(十)类比推理三法宝-观察分析比较


类比是数学中发现概念、定理、公式的重要 手段,也是开拓新领域、创造新分支的重要手段, 类比在数学中应用广泛,数与式、平面与空间、 一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与 无限之间有不少结论,都是先用类比法猜想, 而后加以证明的.

[典例]

(2012·陕 西 师 大 附 中 模 拟 ) 若 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 则 数 列

a1+a2 +?+an? {bn}?bn= n ? ?也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列, 且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为( c1+c2+?+cn A.dn= n C.dn=
n n n cn 1+c2+?+cn n

) c1· c2· ?· cn B.dn= n n D.dn= c1· c2· ?· cn n?n-1? d, 2

[解析] 若{an}是等差数列,则 a1+a2+?+an=na1+ ∴bn=a1+
n 1 =c1 · q

?n-1? d d d= n+a1- ,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则 c1· c2· ?· cn 2 2 2 n?n-1? n-1 n =cn q ,∴dn= c1· c2· ?· cn=c1· q ,即{dn}为等比数列. 1· 2 2

+2+?+(n-1)

[答案] D [题后悟道] 1.解决此类问题的方法是从我们已经掌握的事物的特征,推测正在被研究 中的事物的特征,以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能.进行类比推理的关 键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理,在类比时要善于观察、分析、比较,又敢于联想, 从而提高解题能力. 针对训练

(2012· 长春市调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x) =ax-a x,C(x)=ax+a x,其中 a>0,且 a≠1,下面正确的运算公式是(
- -

)

①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③2S(x+y)=S(x)C(y)+ C(x)· S(y);④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). A.①② C.①④ B.③④ D.②③
+ -x-y

解析: 选 B 经验证易知①②错误. 依题意, 注意到 2S(x+y)=2(ax y-a +C(x)S(y)=2(ax y-a
+ -x-y

), 又 S(x)C(y)

), 因此有 2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); 同理有 2S(x-y)=S(x)C(y)

-C(x)S(y).综上所述,选 B.


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