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高中 微积分基本定理习题课


微积分基本定理 习题课

微积分基本定理:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且F’(x)=f(x),则,

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz Formula).

或记作? f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a).
a b a

b

常用积分公式
(1)
2)

?
?
b a

b

a

1 n ?1 b x dx ? x a ( n ? ?1) n?1
n

1 b dx ? ln x a (a , b ? 0) 2? ) x
b a

?

b

a

1 b dx ? ln( ? x ) a (a , b ? 0) x

(2)

?

1 dx ? ln x x

b a

(3)
(5)

?
?

b

a
b

e dx ? e
x

x b a
b

1 x (4) ? a dx ? a a ln a
b x

b a
b

a

sin xdx ? ? cos x a

(6)

?

b

a

cos xdx ? sin x a

题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分

[思路探索] 解答本题可先求被积函数的原函 数;然后利用微积分基本定理求解.

解 所以

(1)因为(3x)′=3,
?2 3dx=(3x)? ? ?1

=3×2-3×1=3.

(2)因为(x2+3x)′=2x+3, 所以
?2 (2x+3)dx=(x2+3x)? ? ?0

=22+3×2-(02+3×0)=10.
3? ? x 2 ? 2 2 x - (3)因为? ′= 4 x - x , ? 3? ? ? 3??3 ? ? 2 x ?? 2 (4x-x )dx=?2x - 3 ?? ? ??-1

所以

3? 3? ? ? 3 ? - 1 ? ? 2 ? ? ? 20 2 =?2×3 - 3 ?-?2×?-1? - ?= 3 . 3 ? ? ? ?

?1 ? ? 6? 5 (4)因为?6?x-1? ?′=(x-1) , ? ?

所以

2 ? 1 5 6? (x-1) dx=6(x-1) ? ?1

1 6 1 6 1 =6(2-1) -6(1-1) =6.

(1)用微积分基本定理求定积分的步骤: ①求f(x)的一个原函数F(x);

②计算F(b)-F(a).
(2)注意事项: ①有时需先化简,再求积分; ②f(x)的原函数有无穷多个,如F(x)+c,计算 时,一般只写一个最简单的,不再加任意常

数c.

【变式1】 求下列定积分:

题型二 求较复杂函数的定积分 【例 2】 求下列定积分:

[思路探索] 化简被积函数 → 转化为基本函数的积分 → 求原函数 → 求定积分



(1)∵ x(1- x)= x-x,

求较复杂函数的定积分的方法:

(1) 掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则, 正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时, 可将被积函数适当变形后求解,具体方法是能化简 的化简,不能化简的变为幂函数、正、余函数、指 数、对数函数与常数的和与差.

(2) 精确定位积分区间,分清积分下限与积分上
限.

【变式 2】 计算下列定积分:

1 解 (1)sin x-sin 2x 的一个原函数是-cos x+ cos 2x, 2

? =?-cos ?

1 x+2cos

?? 2x??3 ?

?π ?0

? 1 1? ? 1? 1 =?-2-4?-?-1+2?=-4. ? ? ? ?

题型三 【例 3】 已知 f(a)=

定积分的简单应用 (2ax2-a2x)dx,求 f(a)的最大值.

[思路探索] 求2ax2-a2x的原函数 → 求f?a? → 利用二次函数性质求最值



?2 1 2 2? ? 3 2 2 ∵?3ax -2a x ? ′= 2 ax - a x, ? ? ?

4? 2 1 2 1? ? 2 4 ? 2 即 f(a)=3a-2a =-2?a -3a+9?+9 ? ? 2? 1? ? ?2 2 =- ?a-3? + , 2? 9 ? 2 2 ∴当 a=3时,f(a)有最大值9.

定积分的应用体现了积分与函数的内在联

系,可以通过积分构造新的函数,进而对这一函
数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注 意体会转化思想的应用.

【变式 3】 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2,求 a、b、c 的值. 解 由 f(-1)=2,得 a-b+c=2. 又 f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0, ① ②

1 1 = a+ b+c, 3 2 1 1 ∴3a+2b+c=-2, 由①②③式得 a=6,b=0,c=-4. ③

题型四

求分段函数的定积分

【例 4】 计算下列定积分:

(1)分段函数的定积分采用分段来求. (2)求带绝对值符号的函数的定积分,先去掉绝对值符号,然 后再分段求解.

【题后反思】 (1) 求分段函数的定积分时, 可利用积分性质将其表示为几段积分和的形

式;
(2)带绝对值的解析式,先根据绝对值的意义

找到分界点,去掉绝对值号,化为分段函数; (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨 论.

【变式 4】 求 解

(|2x+3|+|3-2x|)dx.

∵|2x+3|+|3-2x|

? ? 3 ?-4x,x<- , 2 ? ? 3 3 ? 6 , - ≤ x ≤ , =? ? 2 2 ? ? 3 ?4x, x> , ? 2 ?

误区警示

原函数求错而导致结果错误 1 d x . x

【示例】 计算

1 [错解] ∵(ln x)′= , x

∵ln(-1)、ln(-2)无意义, ∴此积分不能用初等函数表示.

被积函数的原函数求错. ∵积分区间为[-2,-1],∴x<0, 1 因此有(ln|x|)′==(ln(-x))′=x (x<0).

求f(x)在某个区间上的定积分,关键

是求出被积函数f(x)的一个原函数,即要正
确运用求导运算与求定积分运算互为逆运算

的关系.


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