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高一数学必修4


三角函数与平面向量期末复习试题
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,满分 50 分)
1、下列命题中是真命题的是………………………………………………( A、三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B、第一象限的角是锐角 C、第二象限的角比第一象限的角大 D、角 ? 是第四象限角的充要条件是 2k? 2、如图,四边形 ABCD 中, A、 )

C、 [2k? 9、P 是

? ? , 2 k? ?

3? ](k ? z ) 2

D、 [2k?

?

3? , 2k? ? 2? ]( k ? z ) 2


ABC 所在平面上一点, PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是 ABC 的…………………(
B、内心 C、重心 D、垂心 )

A、外心

10、已知 A(3,1)、B(6,1)、C (4,3) ,D 为线段 BC 的中点,则向量 AC 与 DA 的夹角为………( A、

?
2

?

?
2

? arccos

? ? ? 2 k? ( k ? z )


4 5

B、 arccos

4 5

C、 arccos( ?

4 ) 5

D、 ? arccos( ?

4 ) 5

二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分) 11、函数

AB ? DC ,则相等的向量是………………(
C、 AC与BD D、 AO与OC

y ? sin 2 ( x ?

?
12

) 的最小正周期为________________________________.

AD与CB

B、 OD与OB

3 3、已知角 ? 的终边经过点 (m,9) ,且 tan ? ? ,则 sin ? 4
A、

12、若 a ? (2,3)、 b ? (4, ?1 ? ) 13 、 已 知

y) ,且 a b ,则 y =___________________________.
绕点 A 逆时针旋转

的值为…………(

OA? ( 0, 1) 、 OB ? ( 0, , 3)把 向 量 AB

90

,得到向量

AC

,则向量

4 5

B、 ?

4 5

C、

3 5

D、 ?

3 5


OC =______________________________________________________.
14、要得到函数

4、函数

y ? 2sin( x ? ) 的一条对称轴是………………………………………( 3
??

?

y ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin(2x ?

?
4

) 的图象上所有的点的横坐标伸长为原

来的_______倍(纵坐标不变),再向______平行移动_________个单位长度得到. 15、在下列四个命题中: ①函数 )

A、 x 5、若 i

?
2

B、 x

?0

C、 x

?

?
6

D、 x

??

?
6

? (1,0)、 j ? (0,1) ,则与 2i ? 3 j 垂直的向量是…………………………(
B、 ?2i ? 3 j C、 ?3i ? 2 j D、 2i ? 3 j

y ? tan( x ?

?

? ? ? ) 的定义域是 ? x x ? ? k? , k ? z ? ; 4 4 ? ?

A、 3i ? 2 j

②已知 sin ? ,则 P 点坐标为…………………( ) ③函数

?

6、已知 P 1 (2, ?1)、P 2 (0,5) 且点 P 在 PP 1 2 的延长线上, A、 (?2,11) B、 (

PP ? 2 PP2 1

1 ?? ? ,且 ? ? [0, 2? ] ,则 ? 的取值集合是 ? ? ; 2 ?6?

4 ,3) 3

C、 (

2 ,3) 3

D、 (2, ?7) ④函数 )

y ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) 的最小正周期是 ? ; 3 3

?

?

y ? cos2 x ? sin x 的最小值为-1.

7、

1 3 ? sin10 sin 80
A、1

的值是………………………………………………………(

把你认为正确的命题的序号都填在横线上_____________________. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)

B、2

C、4

D、

1 4


16、(本题满分 12 分)化简:

sin 2 x x (1 ? tan x tan ) 2 cos x 2

8、

y ? sin x 与 y ? ? cos x 都是增区间的区间是………………………………(
A、 [2k? , 2k?

? ](k ? z ) 2

?

B、 [2k?

?

?
2

, 2k? ? ? ](k ? z )

17、(本题满分 12 分)设向量 a ? (cos 23 (1) a ? b (2) u 的模的最小值.

,cos67 )、 b ? (cos68 ,cos 22 ) , u ? a ? tb(t ? R) .试求:

20、(本题满分 13 分)已知向量 a、 b、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) .
(1)若

c ? 2 5 ,且 c a ,求 c 的坐标;

(2)若

b?

5 2

,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? .

18、(本题满分 12 分)已知 ?、? (1) ?

? (0, ? ) ,且 tan ?、 tan ? 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根,试求: ? ? ) 的值.
21 、 ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 向 量

??

的值

(2) cos(?

m ? ( c o?s , ? s i、 n ?)

?( ? 2

si ?n,? ,c ? ( o? s, ? ) )且

2

m?n ?

8 2 5

, 求 cos(

?

? ) 的值. 2 8

?

19、(本题满分 12 分)已知函数

y?

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值是 2,试确定常数 a 的值. ? 2 2 4sin( ? x) 2

1 ? cos 2 x

三角函数与平面向量期末复习试题(答案)
一、选择题(每题 5 分,共 10 小题,满分 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 C 6 A 7 C 8 A 9 D 10 C

∴由 [ f ( x)]max ? 2 可知

1 ? a2 ? 2 得 a ? ? 15 4

2 2 20、(1)令 c ? ( x, y) ,则由 c ? 2 5 知 x ? y ? 2 5 ……………………①

又由 c a 知 2 x ? y ? 0 ……………………………………………② 联立①②可解得: ?

二、填空题(每题 4 分,共 5 小题,满分 20 分) 11、 ? 12、 ?7 13、 (?2,1) 14、 2,左,

?
4

15、①②③

?x ? 2 ?y ? 4

或?

? x ? ?2 ? y ? ?4

故 c ? (2, 4) 或 c ? (?2, ?4) (2) 由 a ? 2b 与 2a ? b 垂直知 (a ? 2b) ? (2a ? b) =0

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分)

x sin sin 2 x x 2sin x cos x sin x 2) 16、 (1 ? tan x tan ) ? (1 ? ? 2cos x 2 2cos x cos x cos x 2 x x x cos x cos ? sin x sin cos( x ? ) 2 2 ) ? sin x ? 2 ? tan x ? sin x( x x cos x cos cos x cos 2 2
17、(1) a ? b ? cos 23 ? cos 68 ? cos 67 cos 22 ? cos 23 ? cos 68 ? sin 23 ? sin 68

2b ? 2a 即 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0 得 a ? b ? 3
2 2
2 2
2

2

2

2b ? 2a 2b ? 2a 即 a b cos ? ? 得 cos ? ? 3 3a b
而由 a ? (1,2) 知 a ? 1 ? 2 ? 5 ,又 b ?
2 2

2

5 2
∴? ? ?

? cos(23 ? 68 ) ? cos 45 ?
(2) u ? (a ? tb)2 ? ∴当 t ? ?
2

2 2
2

∴ cos ? ?

2? (

a ? 2a ? bt ? t 2 b ? t 2 ? 2t ? 1 ? (t ?

2 2 1 ) ? 2 2

5 2 ) ? 2 ? ( 5) 2 2 ? ?1 5 3? ? 5 2

又 ? ?[0, ? ]

21、由 m ? (cos? ,sin ? ) , n ? ( 2 ? sin ? ,cos? ) 知:

2 2 时, u ? min 2 2
tan ? ? tan ? 5 ? ? ?1 且 (? ? ? ) ? (0, ? ) 1 ? tan ? tan ? 1 ? 6

m ? n ? ( 2 ? cos? ? sin ? ,cos? ? sin ? )
8 2 8 2 2 2 即 ( 2 ? cos ? ? sin ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? 5 5 ? 7 整理可得: 25 2(cos? ? sin ? ) ? 14 即 cos(? ? ) ? 4 25 ? ? ? ? 5? 9? , ) 而由 ? ? (? , 2? ) 知 ? ( , ? ) 得 ( ? ) ? ( 2 2 2 8 8 8
∴ m?n ?

18、(1)依题意有: tan ? ? tan ? ? 5且 tan ? tan ? ? 6 , ?、? ? (0, ? ) ∴ tan(? ? ? ) ? ∴ ? ?? ?

3? 4

(2) cos(? ? ? ) ? 19、∵ f ( x) ?

7 2 10

2cos2 x x x 1 a 1 ? a2 ? a sin cos ? cos x ? sin x ? sin( x ? ? ) 4cos x 2 2 2 2 4

cos(? ? ) ? 1 ? ? 4 4 cos( ? ) ? ? ?? ∴ 2 8 2 5

?


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