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山西省忻州一中高三上学期期中考试理科数学试题


一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
(CUB)( 1.已知全集 U=R,集合 A={x︱y=log2(-x2+2x)},B={y︱y≥1},则 A∩ A. {x︱0<x<1} B. {x︱x<0} C. {x︱x>2} ) D. {x︱1<x<2} )

2.在复平面内,复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? 3i ,则 z 的共轭复数 对应的点位于 ( ....
A.第一象限 B.第二象限
3

C.第三象限

D.第四象限 )

?x , x ? 0, 2 3.已知函数 f ( x) ? ? 若 f(2-x )>f(x),则实数 x 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x >0.
A. (??, ?1) ? (2, ??) B. (??, ?2) ? (1, ??) C. (?1, 2) D. (?2,1) ( ) → → 4.在 ? ABC 中, “AB·BC>0”是“ ? ABC 是钝角三角形”的 A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.己知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,
则该几何体的体积是 A.108cm3 C.84cm3 B.92cm3 D.100 cm3 1 ( )

6.已知锐角 α,β 满足:sinα-cosα= 6,tanα+tanβ + 3 tanα·tan
β ( A.α<β = ) B.α>β ? C.4<α<β ? D.4<β<α 3 , 则 α, β 的 大 小 关 系 是

7.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取
自阴影部分的概率为 ( )

1 A. 2 1 C. 4

1 B. 3 1 D. 6
π 2

8.如图所示为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部
分图像,其中 A,B 两点之间的距离为 5,那么 f (?1) ? ( )

A.-1 C. 3 2x-b

B. ? 3 D.1 ( B.2 C.3 ) D.4

9.已知 f(x)= (x-1)2无极值,则 b 的值为
A.1

10.设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x +(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) 2 +(y ? 1) 2 =1 相切,则 m+n 的
取值范围是 A. [1 ? 3,1+ 3] C. [2 ? 2 2,2+2 2] B. ( ? ?,1 ? 3] [1+ 3,+?) D. ( ? ?,2 ? 2 2] [2+2 2,+?) ( )

11.已知 f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对 ?x1 ? [?1, 2], ?x0 ? [?1, 2], g(x1)=f(x0),则 a 的取值范围
是 ( )

1 A. (0, ] 2

1 B. [ ,3] 2

C. [3, ??)

D. (0,3]

12.设函数 f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为 f ?(x),且有 2f(x)+xf ?(x)>x2,则不等
式(x+2014)2f(x+2014)-4f(-2)>0 的解集为 ( )

A.(-∞,-2012)

B.(-2012,0)

C.(-∞,-2016)

D.(-2016,0)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 x1,x2,?
xn,则左图所示的程序框图输出的 s 表示的样本的数字 特征是 .

?x ? 2 y ? 14.已知变量 x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 的最大值 x ?x ? y ?1 ? 0 ?
是 .

15. 若数列 ?an ? 满足

1 1 ? ? d (n ? N ? , d 为常数) , an ?1 an

则称数列 ?an ? 为调和数列。已知数列 ?

?1? ? 为调和数列,且 x1 ? x2 ? …+x20 ? 200 ,则 ? xn ?

x5 ? x16 ?
16.函数 f ( x) ?
2

.
x ?1 的值域是 x ? 2x ? 2

.

三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)
3 → → →→ 已知 a =(sinx,-cosx), b =(cosx, 3cosx),函数 f(x)= a ·b + 2 . (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 0 ? x ?

?
2

时,求函数 f(x)的值域.

18. (本小题满分 12 分)
等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;. (Ⅱ)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ...... ? log 3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. b ? n?

19.(本题满分 12 分)
在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 2 , sin ? C ?

? ?

??

? ? cos C 6?

(Ⅰ)求

a?b 的值; sin A ? sin B

(Ⅱ)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC .;

20.(本小题满分 12 分)
在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD,∠DAB=60°, EC⊥平面 ABCD,CB=CD=CE. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 CBE; (Ⅱ)求二面角 E-BD-C 的余弦值.

21. (本题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的长轴长为 4,且点 (1, ) 在椭圆上. a b 2
(Ⅰ)求椭圆的方程; → → (Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若OA?OB=0,求直线 l 的方程.

22. (本题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x (a ? R) , 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 (1,??) 为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)讨论方程 f ( x) ? 0 解的个数,并说明理由.

忻州一中 2014?2015 学年度第一学期期中考试 高三 数学试题答案(理科)
一、选择题每小题(5 分,共 60 分)
ADDCD B B A BD AC

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 平均数 14. 1 15.20
1 1 16. [? , ] 2 2

三、解答题(共 70 分)

2 18. 解: (Ⅰ) 设数列{an}的公比为 q, 由 a3 ? 9a2 a6 得 q 2 ?

1 1 ,由条件可知 q>0, 故q ? ?? 9 3
??????4

2分 。由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 a1 ? 分 故数列{an}的通项式为 an= 分 (Ⅱ ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

1 。 3 1 。 3n

??????6

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2

??????

8分 故

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1


??????9

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

??????12 分

19. 解: (Ⅰ)由已知有 sin C ? cos 故 sin C ?

?
6

? cos C ? sin

?
6

? cos C , ???1 分

3 cos C ,???2 分

tan C ? 3 . ???3 分
又 0 ? C ? ? ,???4 分 所以 C ?

?
3

. ??5 分

由正弦定理可设

a b c 2 2 4 3 ,???6 分 ? ? ? ? ? sin A sin B sin C sin 60? 3 3 2

所以 a ?

4 3 4 3 sin A, b ? sin B ,??7 分 3 3

4 3 (sin A ? sin B) a?b 4 3 所以 . ? 3 ? sin A ? sin B sin A ? sin B 3
(2)由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C , 即 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ,??9 分
2 2 2

???8 分

又 a ? b ? ab ,所以 (ab) ? 3ab ? 4 ? 0 ,
2

解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去) 所以 S ?ABC ?

???10 分 ???12 分

1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

20.解: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD, 由余弦定理可知: BD ? CD ? CB ? 2CD ? CB ? cos(180 ? ?DAB) ? 3CD ,
2 2 2 0 2

即 BD ?

3CD ? 3 AD , 3 AD ,

???2 分

在 ?ABD 中,∠DAB=60°, BD ?

则 ?ABD 为直角三角形,且 AD ? DB 。则可知 AC⊥BC 又 EC⊥平面 ABCD ,则 EC⊥AC,故 AC⊥平面 CBE; (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AC ? CB ,设 CB ? 1 , 则 CA ? BD ?

???4 分 ???6 分

z
E

3,
D ???9 分 C

建立如图所示的空间直角坐标系,
3 1 E (0, 01), B(0,1, 0), D( , ? , 0) , 2 2

向量 n ? (0,0,1) 为平面 BDC 的一个法向量.

xA

y
B

? 3 3 ? ? ? m ?BD ? 0 设向量 m ? ( x, y, z ) 为平面 BDE 的法向量,则 ? ,即 ? 2 x ? 2 y ? 0 , ? ?m ? EB ? 0 ? ? y?z ?0
取 y ? 1 ,则 x ?

3 , z ? 1 ,则 m ? ( 3 ,1,1) 为平面 BDE 的一个法向量. ???10 分

cos ? m, n ??

m ?n mn

?

1 5

?

5 , 5

而二面角 E-BD-C 的平面角为锐角,则 二面角 E-BD-C 的余弦值为

5 。 5

???12 分

21.解: (Ⅰ)由题意 a ? 2 .所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 b2 x2 3 又点 (1, ??4 分 ) 在椭圆上,可得 b ? 1 .所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . 4 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 4, b ? 1 ,所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3, 0) .
则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) . 由?

? ? y ? k ( x ? 3),
2 2

? ? x ? 4 y ? 4 ? 0, 由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 . 8 3k 2 12k 2 ? 4 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

可得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 .

??6 分

?k 2 . ??9 分 1 ? 4k 2 12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? . ? ( ) ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 11k 2 ? 4 4 2 11 由 OA ? OB ? 0 ,即 . ? 0 ,可得 k 2 ? , k ? ? 2 1 ? 4k 11 11 2 11 所以直线 l 的方程为 y ? ? ??12 分 ( x ? 3) . 11 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?


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