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北京四中2010_x007E_2011学年度第一学期期中测

北京四中 2010~2011 学年度第一学期期中测试初三年级数学学科

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北京四中 2010~2011 学年度第一学期期中测试初三数学试题及答案 学年度第一学期期中测试初三数学试题及答案
(考试时间为 120 分钟,试卷满分为 120 分) 试题部分: 试题部分 第Ⅰ卷 (共 32 分) 考生 须知 1.第Ⅰ卷共 1 页,共一道大题,8 道小题. 2.考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上,在试卷上作答无效.

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 选择题( 1.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(

) .

A.

B.

C. ) .
2

D.

2. 在下列二次根式中,是最简二次根式的是( A. 8 B. x C. 6 D. 3a

3.将二次函数 y = 5 x 2 的图象先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得到的函数图 象的解析式为( A. y = 5( x + 2)2 + 3 C. y = 5( x + 2)2 ? 3 ) . B. y = 5( x ? 2) 2 + 3 D. y = 5( x ? 2) 2 ? 3

4.已知⊙O1、⊙O2 的半径分别是 r1 = 2 , r2 = 4 ,若两圆相交,则圆心距 O1O2 可能取 的值是( A.2 ) . B.4 C.6 D.8 ) .

5.已知 x 2 ?5 xy + 6 y 2 = 0 ,则 y : x 等于 (

1 1 1 A. 或1 B. 6或1 C. 或 D. 2或3 6 3 2 6.已知圆锥的底面半径为 2cm,母线长为 5cm,则圆锥的侧面积是(
A.20 cm
2

) .

B.20 πcm
2

2

C.10 πcm

2

D.5 πcm

2

7.若方程 2 x( kx ? 4) ? x + 6 = 0 没有实数根,则 k 的最小整数值是( A. 2 B. 1 C. -1

) .

D. 不存在

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8.已知抛物线 C1 : y = ? x 2 + 2mx + 1 ( m 为常数,且 m ≠ 0 )的顶点为 A ,与 y 轴交于 点 C ;抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 y 轴对称,其顶点为 B .若点 P 是抛物线 C1 上的点, 使得四边形 ABCP 为菱形,则m为( A. ± 3 B. ) . C. ± 2 第Ⅱ卷 (共 88 分) 考生 须知 1.第Ⅱ卷共 3 页,共两道大题,18 个小题. 2.除画图可以用铅笔外, 答题必须用蓝色或黑色钢笔、签字笔. D.

3

2

二、填空题(本题共 18 分,每题 3 分) 填空题( 9.若二次根式 x + 3 有意义,则 x 的取值范围是_______. 10 . 抛 物 线 y = x 2 ? bx + 8 ? b , 若 其 顶 点 在 x 轴 上 , 则 b 值 为 . 11.如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为 5,OC⊥AB 于点 D,交⊙O 于点 C,且 CD=l,则弦 AB 的长是 . 12.如图,边长为 1 的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将 D 另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45° ,则这两个正方形重叠部分的面积 是 . 13.已知圆的一条弦把圆周分成 1:3 两部分,则这条弦所对的圆周 A 角的度数是 . 14.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) 的图象如图所 示,抛物线经过点(1,0) ,则下列结论: ① ac > 0 ;②方程 ax + bx + c = 0 的两根之和大于 0;
2

D′

C E B
C′

B′

③ y 随 x 的增大而增大;④ a ? b + c < 0 ,其中正确的是 .

三、解答题(本题共 70 分;第 15—20 题各 5 分,第 21—23 题各 6 分,第 24—25 题 7 解答题( 分,26 题 8 分)

?1? 15. 计算: ? ? ? 2 3 ? 4 + 27 ? ?2?

?2

(

3 ? 2011 .

)

0

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16.解方程: 3x ? 6 x ? 2 = 0 .
2

17.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2 ( m + 1) x + m 2 ? 2m ? 3 = 0 的两个不相等的实数根 中,有一个根是 0,求 m 的值. 18.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 中,函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表:

x y

… …

?1
7

0
2

1
-1

2
-2

3
-1

4
2

… …

(1)写出二次函数的顶点坐标及对称轴; (2)求二次函数的解析式; 且 (3) A( m,y1 ) ,B (m ? 1,y2 ) , 两点都在该函数的图象上, m<2, 试比较 y1 与 y2 若 的大小. 19.如图 1,正方形 ABCD 是一个 6 × 6 网格电子屏的示意图,其中每个小正方形的边长 为 1.位于 AD 中点处的光点 P 按图 2 的程序移动. (1)请在图 1 中画出光点 P 经过的路径; 输入点 P (2)求光点 P 经过的路径总长(结果保留 π) .
A P 绕点 A 顺时针旋转 90° D 绕点 B 顺时针旋转 90° 绕点 C 顺时针旋转 90° 绕点 D 顺时针旋转 90° B 图1 C 输出点 图2

20.抛物线 y = ax 2 与直线 y = ? x ? 3 交于点 A(1,b) . (1)求 a,b 的值;

(2)设抛物线 y = ax 2 与直线 y = ?2 的两个交点为 B、C(点 B 在点 C 的左侧) ,求△ABC 的面积. 21.如图,已知 AB 是 ⊙O 的直径,点 C 在 ⊙O 上,过点 C 的直线与 AB 的延长线交于 点 P , AC = PC , ∠COB = 2∠PCB . (1)求证: PC 是 ⊙O 的切线; (2)点 M 是弧 AB 的中点, CM 交 AB 于点 N , 求∠CNA 的度数.
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22. 某园艺公司计划投资种植花卉及树木, 根据市场调查与预测, 种植树木的利润 y1(万 元)与投入资金 x (万元)成正比例关系,如图 1 所示;种植花卉的利润 y 2 (万元)与 投入资金 x (万元)成二次函数关系,如图 2 所示.
y

2 1
O

Q (2,2)

-2

-1

1

2

x

图1

图2

(1)分别求出利润 y1 (万元)与 y 2 (万元)关于投入资金 x (万元)的函数关系式; (2)如果该园艺公司以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能 获取的最大利润是多少? 23. 农科所有一块五边形的实验田,用于种植 1 号良种水稻进行实验,如图所示,已知 五边形 ABCDE 中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 米. (1) 若每平方米实验田需要水稻 1 号良种 25 克,若在△ABC 和△ADE 实验田中种植 1 号良种水稻,问共需水稻 1 号良种 多少克? (2)在该五边形实验田计划全部种上这种 1 号良种水稻,现 有 1 号良种 9 千克,问是否够用,通过计算加以说明.
A D E B C

24.已知关于 x 的方程 (n ? 1) x 2 + mx + 1 = 0 ① 有两个相等的实数根. (1)用含 n 的代数式表示 m ; (2)求证:关于 y 的 m 2 y 2 ? 2my ? m 2 ? 2n 2 + 3 = 0 方程②必有两个不相等的实数根; (3)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根,求代数式 m 2 n + 12n 的值.
2

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25.如图,⊙ O ' 与 x 轴的正半轴交于 C、D 两点,E 为圆上一点,给出 5 个论断: ① ⊙ O ' 与 y 轴相切于点 A;② DE⊥x 轴;③ EC 平分∠AED;④ DE=2AO;⑤OD=3OC.

(1)如果论断①、②都成立,那么论断④一定成立 吗?答: (填“成立”或“不成立”. )

y E A O C

(2)从论断①、②、③、④中选取三个作为条件, 将论断⑤作为结论,组成一个真命题,并加以证明. 已知: 如图, O ' 与 x 轴的正半轴交于 C、 两点, ⊙ D E 为圆上一点, 求证:OD=3OC. (只需填论断的序号) .

O' D x

26.已知抛物线 y = ax 2 ? 2ax ? b ( a > 0 )与 x 轴的一个交点为 B ( ?1, ,与 y 轴的 0) 负半轴交于点 C,顶点为 D. (1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标; (2)以 AD 为直径的圆经过点 C. ①求抛物线的解析式; ②点 E 在抛物线的对称轴上,点 F 在抛物线上,且以 y

B,A,F,E 四点为顶点的四边形为平行四边形,直接写
出点 F 的坐标. B C D O A x

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参考答案: 一、选择题 1.B; 2.C; 3.D; 二、填空题

4.B; 5.C; 6.C; 7.A;

8.A

9. x ≥ ?3 ; 10.-8 或 4; 11. 6; 12. 2 ? 1 ; 13. 45°或 135°; 三、解答题 15. 5 3 ? 1 ; 16. x =

14.②④

3 ± 15 ; 17. m = 3 ; 3
2

18.(1)顶点坐标 (2, ?2) ,对称轴为直线 x = 2 ;(2) y = x ? 4 x + 2 ; (3)因为 m ? 1 < m < 2 ,所以 y2 > y1 . 19. (1)
A P D

B

C

(2) 6π . 20.(1) a = ?4, b = ?4 ; (2) 2 .

21.(1) 解: (1)Q OA = OC, A = ∠ACO , ∴∠ 又Q ∠COB = 2∠A,∠COB = 2∠PCB , ∴∠A = ∠ACO = ∠PCB . 又Q AB 是 ⊙O 的直径, ∴∠ACO + ∠OCB = 90° , ∴∠PCB + ∠OCB = 90° OC ⊥ CP , ,即 而 OC 是 ⊙O 的半径, ∴ PC 是 ⊙O 的切线. (2)Q AC = PC, A = ∠P , ∴∠ ∴∠A = ∠ACO = ∠PCB = ∠P , 又Q ∠COB = ∠A + ∠ACO,∠CBO = ∠P + ∠PCB ,

∴∠COB = ∠CBO, BC = OC, BC = OC = OB, ∴ ∴ ∴ ∠COB=60°, ∴∠A=30° Q 点 M 是弧AB的中点且AB为直径∴∠ACM = ∠BCM = 45°,
∴∠CNA=105°.
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22. 解: (1)设 y1 = kx ,Q 直线过点(1,2) ∴ k = 2 . ∴ y1 = 2 x ( x ≥ 0) . , 设 y2 = ax ,Q 抛物线过点(2,2) ,∴ a =
2

1 1 2 . ∴ y2 = x ( x ≥ 0) . 2 2

(2)设该园艺公司投入资金 x 万元种植花卉,则投入资金 (8 ? x ) 万元种植树木,则获取 的利润 y = 2(8 ? x ) +

1 2 1 x (0 ≤ x ≤ 8) ,整理得 y = x 2 ? 2 x + 16 (0 ≤ x ≤ 8) . 2 2 根据图象得,当 x =2 时, y 有最小值为 14,当 x =8 时, y 有最大值为 32.

答:该园艺公司投入资金 2 万元种植花卉和 6 万元种植树木时,获得最少 14 万元利润; 投入资金 8 万元种植花卉时,能获取最大利润,且最大利润是 32 万元. 23.解: 将△DEA 绕 A 顺时钟旋转,使 AE 与 AB 重合,点 D 到 D ' ∴ ?ADE ? ?AD ' B ∴ D ' B = DE ∠D ' BA = ∠E D ' A = AE ∵ ∠ABC = ∠AED = 90° ∴ ∠ABD ' = 90° ∴ ∠CBD ' = 180° 即 CBD ' 共线 ∵ BC + DE = CD ∴ D ' C = CD 在 ?AD ' C 和 ?ADC 中
? AD ' = AD ? ? AC = AC ?D 'C = D 'C ?

D'

B

C

D A E

∴ ?AD ' C ? ?ADC ∴ S ?AD ' C = S ?ADC ∴ S ?AD ' C = D ' C ? BC ÷ 2 ∵ AB = BC + DE = 20m
2 ∴ S?AD ' C = 200m = S?ACD 2 ∴ S AD ' CD = 400m = S?BCDE ∵一平方米需 25 克 ∴共需 25×200=5000(克)

S ABCDE = 400m2
2 2 ∴共需 25 g / m × 400m = 10000 g > 9 千克 答⑴共需 5000g ⑵不够用

∴ 不够用

24. (1)解:∵方程①有两个相等的实数根.
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n ? 1 ≠ 0, ∴? ?? = m 2 ? 4(n ? 1) = 0. ? 1 ∴ m 2 = 4(n ? 1) 且m ≠ 0 , 则n ? 1 > 0
(2) 证明: 由方程②,有

? 2 = 4m 2 ? 4m 2 (?m 2 ? 2n 2 + 3) = 4m 2 (1 + m 2 + 2n 2 ? 3) = 4m 2 (1 + 4n ? 4 + 2n 2 ? 3) = 4 m 2 ( 2 n 2 + 4 n ? 6) = 8m 2 (n + 3)(n ? 1) Q n ? 1 > 0, 且m ≠ 0, ∴ 8m 2 > 0, n + 3 > 0. ∴ 8m 2 (n + 3)(n ? 1) > 0 ∴?2 > 0
∴方程②必有两个不相等的实数根.
2 (3)解法一:由 m = 3( n ? 1) ,可得 n ? 1 =

m2 . 4

将 n ?1 = 解得

m2 m2 2 代入方程①得, x + mx + 1 = 0. 4 4
2 . m 2 2 2 ) ? 2m ? ? m 2 ? 2n 2 + 3 = 0 m m

x1 = x 2 = ?

∵方程①的一个根的相反数恰好是方程②的一个根, 由根的定义,得 m ? (
2

整理,得 ? m 2 ? 2n 2 + 3 = 0 即 ? 2n 2 ? 4(n ? 1) + 3 = 0. ∴ 2 n 2 + 4n = 7 ∴ m 2 n + 12n = n(m 2 + 12) = n(4n ? 4 + 12) = 4n 2 + 8n = 2(2n 2 + 4n) = 14.
解法二: Q m 2 = 4( n ? 1) , ∴方程②为 4( n ? 1) y 2 ? 2my ? 4( n ? 1) ? 2n 2 + 3 = 0 ,③ ∵方程①的一个根的相反数恰好是方程②的一个根,设方程②的此根为 y1 , ∴- y1 为方程①的根. ∴ (n ? 1) y1 ? my1 + 1 = 0 .
2 2

由方程③变形,得 4[(n ? 1) y1 ? my1 + 1] + 2my1 ? 4n ? 2n 2 + 3 = 0 .
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∴ 2my1 ? 4n ? 2n 2 + 3 = 0. 2 由解法1可知 y1 = . m ∴ 2 n 2 + 4 n = 7. 以下同解法1.
25. (1)成立; (2)题设: (2) (1) (3)(不唯一,含(1) (3)即可) (3)证明:连结 AC、O′A. ∵⊙O?与 y 轴相切于点 A ∴O′A⊥y 轴 ∴∠OAC+∠O′AC=90° ∵DE⊥x 轴;∴CE 是⊙O′的直径, ∴∠O′AE+∠O′AC=90° ∴∠OAC=∠O′AE ∵EC 平分∠AED ∴设∠AEC=∠DEC=x,AC=CD, ∵O′A=O′E, ∴∠O′AE=∠AEC=∠OAC=x, ∵四边形 ACDE 内接于⊙O′, ∴∠ACO=∠AED=2x, ∵∠AOC=90°, ∴∠OAC=x =30°, ∴CD=AC=2OC, ∴OD=3OC. 26、 (1)直线 x=1 , A(3,0) (2)①由抛物线对称轴是直线 x=1 得,D 点的横坐标为 1,代入 y = ax 2 ? 2ax ? b 得 D(1,-a-b) ,∵点 B(-1,0)在 ∵点 C 在

y = ax 2 ? 2ax ? b 上,∴b=3a
∴C(0,-b) 即 C(0,-3a)

∴D(1,-4a)

y = ax 2 ? 2ax ? b 上

连 AC、CD、AD 得△ACD 为直角三角形 有 AD = AC + CD
2 2 2

∴ 4 + 16a 2 = 9 + 9a 2 + 1 + a 2
∴ y = x 2 ? 2x ? 3

∴a =1

∴ b = 3a = 3

F1 (1, ? 4)
② F2 (5, 12)

F3 (?3, 12)

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