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解三角形一对一辅导讲义


教学目标

1、了解任意三角形边长和角度关系 2、掌握正弦定理的内容及其证明方法; 3、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

重点、难点 考点及考试要求

1、正弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 1、正弦定理 2、余弦定理 3、正弦定理、余弦定理的应用









第一课时 解三角形知识点梳理

课前检测

1、在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C

2、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120°





3、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45°





4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形





5、设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0 有等根,那 么角 B A.B>60° B.B≥60° C.B<60° ( ) D.B ≤60°

知识梳理

1.定理内容: (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(2)余弦定理:三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 两倍。即:
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

(3)面积定理: S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

2.利用正余弦定理解三角形: (1)已知一边和两角: (2)已知两边和其中一边的对角: (3)已知两边和它们所夹的角: (4)已知三边:

第二课时解三角形考点题型

考点题型 例 1.在Δ ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A,C 及边 c。

变 1.在△ABC 中,已知 a=

3

,b=

2

,B=45°,求 A、C 和 c.

例 2.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

变 2.设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b2 +3 c 2 -3 a 2 =4 2 bc . (Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

例 3.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos B =cos C

b 2a ? c

.

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=
13

,a+c=4,求△ABC 的面积.

例 4.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

7

,且 4sin2 A ? B -cos2C= 7 .
2 2

变 3.在 ? ABC 中, (Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

AC cos B ? 。 AB cos C

1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

变 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

第三课时解三角形课堂检测

课堂检测 1.在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则角

C 等于(
A. π 6

) B. π 3 C. 5π 6 D. 2π 3 )

2.在△ABC 中,若 A=60°,BC=4 3,AC=4 2,则角 B 的大小为( A.30° B.45° C.135°

D.45°或 135°

3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b=2 2,且三角形有两解,则角 A 的 取值范围是( π? ? A.?0, ? 4? ? ) ?π π ? B.? , ? 2? ?4 ?π 3π ? C.? , ? 4 ? ?4 ?π π ? D.? , ? 3? ?4 )

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c.若∠C=120°,c= 2a,则(

A.a>bB.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 )

5.△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° B.60° C.120° D.150°

6.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△

ABC 的面积为 0.5,那么 b 为(
A.1+ 3 B.3+ 3

) C. 3+ 3 3 D.2+ 3

7.(2010·厦门市检测)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成 等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC 等于( A. 2 B. 3 C. 3 2 ) D.2 )

B a+c 8.在△ABC 中,cos2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的形状为( 2 2c
A.直角三角形 C.等腰三角形 B.正三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

1 3 10 9.在△ABC 中,tanA= ,cosB= ,若最长边为 1,则最短边的长为( 2 10 A. 4 5 5 B. 3 5 5 C. 2 5 5 D. 5 5

→ → ? → AB AC ? AC·→ BC 2 → → → → ? ? + 10.已知非零向量AB,AC和BC满足? · BC = 0 ,且 = ,则△ABC 为( → → ? |→ AC|·|→ BC| 2 ?|AB| |AC|? A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 11.判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________. ①a=1,b= 2,B=45°;②a= 5,b= 15,A=30°; ③a=6,b=20,A=30°;④a=5,B=60°,C=45°.

)

12.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 b2+c2=a2+bc,且→ AC·→ AB=4,则△ABC 的 面积等于________.

13.在△ABC 中,

sinA-sinB 2sinA-sinC = ,则角 B=________. sin?A+B? sinA+sinB

A 2 5 → → 14.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos = ,AB·AC=3. 2 5
(1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

15.在△ABC 中,已知 AB= 3,BC=2. (1)若 cosB=- 3 ,求 sinC 的值; 6

(2)求角 C 的取值范围.

16.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 sinB=

5 ,且 a、b、c 成等比数列. 13

(1)求

1 1 + 的值; tanA tanC

(2)若 accosB=12,求 a+c 的值.


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