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2016-2017年最新审定人教A版高中数学必修五:解三角形-应用举例:三角形中的几何计算(54页)(优秀课件)_图文

最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第3课时 课前自主预习 三角形中的几何计算 课堂互动探究 随堂知能训练 课时作业 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握三角形的面积公式. 2.会用正、余弦定理计算三角形中的一些量. 课 前 自 主 预 习 课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标 新知初探 1.几何计算问题 在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记为ha, hb,hc,则 csinB ; (1)ha=bsinC=_______ asinC ; (2)hb=csinA=________ bsinA (3)hc=asinB=________. 1 1 1 (4)S=2absinC=2acsinB=_________. 2bcsinA 2.三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外,常见的公式还有: (1)P=a+b+c(P为三角形的周长); (2)A+B+C=π; 1 (3)S= aha(ha表示a边上的高); 2 1 1 1 (4)S= absinC= acsinB= bcsinA; 2 2 2 abc (5)S= 4R (可用正弦定理推得); (6)S=2R2sinA· sinB· sinC(R是三角形外接圆半径); 1 (7)S=2r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径); (8)S= p?p-a??p-b??p-c? 1 [p=2(a+b+c)]. 思考感悟 1.已知三角形ABC的三边长a,b,c,便能计算该三角 形的面积吗?(至少有两种不同思路) 提示:可以,方法一 1 设p= 2 (a+b+c),则三角形的 面积S= p?p-a??p-b??p-c?. 方法二 设△ABC外接圆的半径为R,则三角形面积 1 1 c abc S=2absinC=2ab2R= 4R ; 方法三 可以用余弦定理计算cosC,再得出sinC,利 1 用S= absinC可求. 2 2.在△ABC中,已知b=3,c=3 3 ,B=30° ,求a边 用正弦定理简单,还是用余弦定理简单?有什么技巧? 提示:用余弦定理简单. 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB, 得32=a2+(3 3)2-2×a×3 3cos30° , 整理得a2-9a+18=0,∴a=3或a=6. 技巧:当三角形中已知两边和其中一边的对角时, (1)若由已知只求内角,则用正弦定理合适; (2)若由已知只求边,则用余弦定理合适. 3.运用三角形面积公式时应注意哪些问题? 提示:(1)利用三角形面积公式解题时,常常要结合三 角函数的有关公式. (2)解与三角形面积有关的问题,常需要利用正弦定 理、余弦定理,解题时要注意发现各元素之间的关系,灵 活运用公式. (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三 角形面积的和. 课 堂 互 动 探 究 例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升 典例导悟 类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a,b,c分别为△ ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+ 3 asin C-b-c =0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为 3,求b,c. [解] (1)由acos C+ 3 asin C-b-c=0及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin ? π? 1 C≠0,所以sin?A-6?=2. ? ? π 又0<A<π,故A= . 3 1 (2)△ABC的面积S=2bcsinA= 3,故bc=4. 而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8. 解得b=c=2. [点评] 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角 形面积公式的应用.求三角形的面积,要充分挖掘题目中 的条件,转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题, 要注意方程思想在解题中的应用.另外也要注意三个内角 的取值范围,以避免由三角函数值求角时出现增根错误. 变式训练1 在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a= 7 6,cosA=8,求△ABC的面积. 解:∵b2-bc-2c2=0. ∴b=2c或b=-c(舍去). 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA, 7 即b +c -4bc=6. 2 2 与b=2c联立,得b=4,c=2, 7 ∵cosA=8, 15 ∴在△ABC中,sinA= 1-cos A= 8 . 2 1 15 ∴S△ABC= bcsinA= . 2 2 类型二 [例2] 三角形中线段长度的计算 在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线 7 AD的长为 ,求边长a. 2 [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①c=4,b=7. 7 ②AD为中线且AD= . 2 解答本题可先令CD=DB=x. 在△ACD和△ACB中,∠ACB是公共角,两次使用余 弦定理,便可求出x. [解] 如图所示,∵AD是BC边上的中线, ∴可设CD=DB=x, 则CB=a=2x. 7 ∵c=4,b=7,AD= , 2 在△ACD中, 72 7 +x -?2? 有cosC= , 2×7×x 2 2 72+?2x?2-42 在△ABC中,有cosC= . 2×7×2x 72 7 +x -?2? 72+?2x?2-42 ∴ = . 2×7×x 2×7×2x 2 2 9 解得x=2. ∴a=2x=

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