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5.1平面向量的概念及其线性运算(作业)


限时作业 23 平面向量的概念及其线性运算

一、选择题

1.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a-b 可表示为(

).

A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2

2.如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则(

).

A.++=0 B.-+=0 C.+-=0 D.--=0 3.在四边形 ABCD 中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是 ( ).

A.矩形 C.梯形

B.平行四边形 D.以上都不对

4.非零向量,不共线,且 2=x+y,若=λ (λ ∈R),则点 Q(x,y)的轨迹方 程是( ).

A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 5.在△ABC 所在平面上有一点 P,满足++=,则△PAB 与△ABC 的面积之 比是( A. B. C. D. 6.设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点,且=2,=2,=2,则向 量++与( A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 二、填空题 7.若||=8,||=5,则||的取值范围为 8.已知=a,=b,=λ ,则= . . ). ).

9.在平行四边形 ABCD 中,=a,=b,=3,M 为 BC 的中点,则 = 三、解答题 .(用 a,b 表示)

10.如图所示,△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且

AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值.

11.在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上=,=,BE 与 CD 交于点 P,且 =a,=b,用 a,b 表示.

12.(2011 山东菏泽期末考试)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的 中点. (1)求++; (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:+=3.

##

参考答案

一、选择题 1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.A 解析:由题意,得=+,=+. 又=2, 所以+=2(+). 所以=+. 同理,得=+,=+. 将以上三式相加,得++=-. 二、填空题 7.[3,13] 8.a+b 9.(b-a) 解析:如图所示,连接 BD,设 BD 与 AC 交于点 O.

由=3 可知 N 为 OC 的中点. 又 M 是 BC 的中点, ∴==,

∴=(-)=(b-a). 三、解答题 10. 解:设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1, =2e1+e2,∵A,P,M 和 B,P,N 分别共线, ∴存在λ ,μ ∈R,使=λ =-λ e1-3λ e2,=μ =2μ e1+μ e2.故=-=(λ +2μ )e1+(3λ +μ )e2, 而=+=2e1+3e2, ∴∴ ∴=,∴=, 即 AP∶PM=4∶1. 11.解:取 AE 的三等分点 M,使|AM|=|AE|,连接 DM.

设|AM|=t,则|ME|=2t. 又|AE|=|AC|, ∴|AC|=12t,|EC|=9t,且 DM∥BE. =+=+ =+(+) =+ =+=a+b. 12.(1)解:∵+=2, 又 2=-,

∴++=-+=0. (2)证明:显然=(a+b).因为 G 是△ABO 的重心, 所以==(a+b). 由 P,G,Q 三点共线,得∥, 所以,有且只有一个实数λ ,使=λ . 而=-=(a+b)-ma =a+b,=-=nb-(a+b) =-a+b, 所以 a+b =λ . 又因为 a,b 不共线, 所以消去λ , 整理得 3mn=m+n,故+=3.


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