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湖北省麻城博达学校届高三阶段测试(05)数学理科b卷doc

湖北省麻城博达学校 2010 届高三阶段测试(五)

理科数学试题(B 卷)

测试范围:极限与导数

命题人: 徐喜峰

2009.08.26

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 50 分,第Ⅱ卷 100 分,

卷面共计 150 分,时间 120 分钟。

注意事项:

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上。

2.每小题选出答案后,用钢笔或圆珠笔将答案填写在答题卷上,所有题目答案均答在答题

卡上。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.极限 lim x ? x0

f

(x) 存在是函数

f

(x) 在点 x

?

x0

处连续的

A.充分而不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

2.若函数 f (x) ? x3 ? 6bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是

A.(0,1)

B.(-∞,1)

C.(0,+∞)

3 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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若函数 y ? x3 ? ax2 ? 4 在 ?0, 2? 内单调递减,则实数 a 的取值范围为

D.(0, 1 ) 2

A. a ? 3

B. a ? 3

4 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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lim
x ? xo

ln

3

x ? ln x ? xo

3

xo

( xo

? 0) 的值为

C. a ? 3

D. 0 ? a ? 3

1
A.
xo

B. 1 2 xo

5 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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函数 f (x) ? ln x 的最大值为 x

A.10

B.e

C. 1 3xo
C. e 2

D. ? 1 xo
D. e?1

6.函数 f (x) ? x2 ? 1? x2 为增函数的区间是

A. (?1,? 3 )及(0, 3 )

2

2

B. (? 3 ,0)及( 3 ,1)

2

2

C. (? 3 ,0)及(0, 3 )

2

2

D. (?1,? 3 )及( 3 ,1) 22

7.已知直线 y ? x ?1与曲线 y ? ln(x ? a) 相切,则α 的值为

A.1

B 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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2

C 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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-1

8 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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如图所示,一质点 P(x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动,

速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q(x, 0) 的运动

速度V ? V (t) 的图象大致为

D 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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-2

A.

B 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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C 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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D 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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9.已知函数 f (x) 在 R 上满足 f (x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8,则曲线 y ? f (x) 在点

(1, f (1)) 处的切线方程是

A. y ? 2x ?1

B 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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y? x

C 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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y ? 3x ? 2

D 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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y ? ?2x ? 3

10.过点 (?1, 2) ,作曲线 C: y ? 1 x3 ? x 的切线,一共能作出切线的条数为

3

3

A.0

B.1

C.2

D.3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。

11.若函数 f (x) ? x2 ? a 在 x ?1 处取极值,则 a ? x ?1

12.若曲线 f ? x? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

.

13.已知函数

f

(x)

?

?2x ? 4, (x ? 0) ??ex ? a, (x ? 0)

,在

x=0

处连续,则 lim x??

an2 a2n2

?1 ?n

?

.

14.求函数在 xo 附近的函数值,可以通过近似计算公式: f (x) ? f (xo ) ? f '(xo )(x ? xo ) 来计

算 , 利 用 这 一 方 法 , 计 算 出 m= ln(1.0002) 的 近 似 值 为 n, 则 m,n 的 大 小 关 系 为
m____________n (填“>”, “=”或“<”) 15.上午 10:00 时,一艘船以 24km/h 的速度向正东方向直线航行,同时,一气球以 7km/h 的速 度离开此船直线竖直上升,则 10:12 这一时刻,他们彼此分离的速度为_____________km/h.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 16.(本小题满分 12 分) 求下列数列或和函数的极限

(Ⅰ)

lim
n??

1? 1?

2 3

? ?

22 32

? ?

..... .....

? ?

2n?1 3n?1

(Ⅱ)

1 lim( x?1 1?

x

?

2

x2

) ?1

17.(本小题满分 12 分)

已知函数

f

(x)

?

ax3

?

bx 2

? 3x 在

x

?

?1处取得极值新疆 王新敞

奎屯

(Ⅰ)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值;

(Ⅱ)过点 A(0,

16) 作曲线 y ?

f

(x)

的切线,求此切线方程 新疆 王新敞

奎屯

18.(本小题满分 12 分)
用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果容器底面的长比宽多 0.5m,那么长 和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。

19.(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), 曲线 y ? f (x) 通过点 (0, 2a ? 3) ,且在点 (?1, f (?1)) 处 的切线垂直于 y 轴.
(Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c;
(Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x) ? ? f (x)e?x 的单调区间.
20.(本小题满分13分)
设函数 f (x) ? 1 ? x ? 0且x ? 1? .
x1nx (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;
1
(Ⅱ)已知 2x ? xa 对任意 x ??0,1?成立,求实数 a 的取值范围。

21.(本小题满分 14 分)

设函数 f (x) ? ? 1 x3 ? 1 x2 ? x, x ? R , g(x) ? f '(x). 62

(Ⅰ)若关于 x 的方程 f (x) ? ? 1 x ? m.(m ? R) 有三个不同的实数根,求实数 m 的取值范围; 2

(Ⅱ)若数列{an}满足,1 ?

a1

?

2

,an?1

?

g(an ), n ?

N

,求证:当

n

?

2

时,1 ?

an

?

3 2



(Ⅲ)求证: | a1 ?

2 | ? | a2 ?

2 | ? | a3 ?

2 | ?.....? | an ?

2 |? 2 王新敞 特级教师 源头学子小屋
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麻城博达学校 2010 届高三阶段测试(五)

理科数学试题(B 卷)

一.选择题

1-10. BDACD ABAAC

二.填空题

11. 3 12. ???,0?
三.解答题

13. 1 3

14. < 15. 25km/h

16.解:(Ⅰ) 0 (Ⅱ) ? 1 2

17.解:(Ⅰ)解: f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即

?3a ? 2b ? 3 ? 0, ?

a ? 1, b ? 0 解得 新疆 王新敞 奎屯

?3a ? 2b ? 3 ? 0.

∴ f (x) ? x3 ? 3x,

f

?( x)

?

3x 2

?3

?

3(x

? 1)( x

? 1)

新疆 王新敞

奎屯

令 f ?(x) ? 0 ,得 x ? ?1,

x ? 1 新疆 王新敞

奎屯

若 x ? (??, ?1) ? (1, ? ?) ,则 f ?(x) ? 0 ,故

f (x) 在 (??,

?1) 上是增函数, f (x) 在 (1,

? ?) 上是增函数新疆 王新敞

奎屯

若 x ? (?1,

1) ,则

f ?(x) ? 0 ,故

f (x) 在 (?1,

1) 上是减函数新疆 王新敞

奎屯

所以,

f

(?1)

?

2 是极大值;

f

(1)

?

?2

是极小值 新疆 王新敞

奎屯

(Ⅱ)解:曲线方程为 y ?

x3

? 3x ,点 A(0,

16) 不在曲线上新疆 王新敞

奎屯

设切点为 M (x0 ,

y ) y ? x ? 3x 0 ,则点 M 的坐标满足 0

3 0

0

新疆 王新敞
奎屯

因 f ?(x0 ) ? 3(x02 ?1) ,故切线的方程为 y ? y0 ? 3(x02 ? 1)( x ? x0 )
注意到点 A(0,16)在切线上,有
16 ? (x03 ? 3x0 ) ? 3(x02 ? 1)(0 ? x0 )

x ? ?8 x ? ?2 化简得 3

,解得

0

0

新疆 王新敞
奎屯

所以,切点为 M (?2,

?

2) ,切线方程为 9x

?

y

? 16

?

0

新疆 王新敞

奎屯

18.解:设容器底面的宽为 xm,则底面的长为(x+0.5)m,容器的高为:3.2-2x(0<x<1.6)

容器的容积为 V=x(x+0.5)(3.2-2x) ? ?2x3 ? 2.2x2 ?1.6x(0 ? x ? 1.6)
长 1.5m,宽 1m,最大容积为 1.8 立方米
19.解:(Ⅰ)因为 f (x) ? ax2 ? bx ? c, 所以 f ?(x) ? 2ax ? b

又因为曲线 y ? f (x) 通过点(0,2a+3),故 f (0) ? 2a ? 3, 又 f (0) ? c, 从而 c ? 2a ? 3.

又曲线 y ? f (x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0,

即-2a+b=0, 因此 b=2a.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a(2a ? 3) ? 4(a ? 3)2 ? 9 , 44

当 a ? ? 3 时, bc 取得最小值- 9 .此时有 b ? ? 3 , c ? 3 .

4

4

22

从而 f (x) ? ? 3 x2 ? 3 x ? 3 , f ?(x) ? ? 3 x ? 3 ,

4 22

22

g(x) ? ? f (x)e?x ? ( 3 x2 ? 3 x ? 3)e?x , 4 22

所以 g?(x) ? ( f (x) ? f ?(x)e?x ? ? 3 (x2 ? 4)e?x. 4

令 g?(x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2.

当 x ?(??, ?2)时, g?(x) ? 0,故g(x)在x ?(??, ?2)上为减函数;

当 x ?(?2, 2)时,g?(x) ? 0,故g(x)在x ?(2, ??)上为减函数.

当 x ?(2, ??)时,g?(x) ? 0,故g(x)在x ?(2, ??)上为减函数.

由此可见,函数 g(x) 的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞);单调递增区间为(-2,

2).

20.解. (Ⅰ)

f

?(

x)

?

?

ln x ?1 x21n2 x

.令 f ?(x) ? 0 ,则 x ? 1 .列表如下: e

x

(0, 1)

1

(1 ,1)

e

e

e

(1, ??)

f ?(x)

?

0

?

?

f (x)

单调增

极大值 f (1)

单调减

e

所以 f (x) 的单调增区间为 (0, 1) 。单调减区间为 (1 ,1) 和 (1, ??) .

e

e

单调减

1
(Ⅱ)在 2 x

?

xa 两边取对数,得:

1

ln 2

?

a ln

x.

x

由于 x ??0,1?,所以 a ? 1 ………………………………①
ln 2 x ln x

由(Ⅰ)结果知,当 x ??0,1?时, f (x) ? f (1) ? ?e .
e

为使①式对任意求 x ??0,1?成立,当且仅当 a ? ?e ,即 a ? ?eln 2 为所求范围.
ln 2

21.解:(Ⅰ) m?(? 5 , 9) 62

(Ⅱ)由于 g(x) ? ? 1 x2 ? x ? 1, 2



a n?1

?

g(an

)

?

?

1 2

an2

?

an

?1

?

?

1 2

(an

? 1) 2

?

3 2

1<

an



3 2



n

?

N *且n

?

2



下面用数学归纳法证明:

(1)当

n=2

时,?1<

a1

<2,∴1<

a2



3 2

,命题成立,

(2)假设当

n

?

k(k

?

2)时,1<

ak



3 2

则 ak ?1

?

g(ak )

?

?

1 2

(ak

? 1)2

?

3 2

,又

g(x)

在 ?1,???上单调递减,

?1

?

g(2) <

g(

3) 2



ak ?1

<

g (1)

=

3 2

,这说明

n

?

k

? 1 时,命题也成立.

综上(1)(2)可知

1<

an



3 2

(n ? N *,n ?

2)

(Ⅲ)| an?1 ?

2

|?|

?

1 2

an2

?

an

?

1?

2

|?

1 2

|

an

?

2 | ? | an ? 2 ?

2 |,

由于

1<

an



3 2

,∴ |

an

?

2

?

2 | <1,∴| an?1 ?

2

|<

1 2

|

an

?

2 |,

于是| an ?

2

|



1 2

|

an ?1

?

2

| <…<

1 2n?2

|

a2

?

2

|



1 2n ?1



n

?

2, n

?

N

*



所 以 | a1 ? 2 | + | a2 ? 2 | +…+ | an ? 2 | <

1+

1 21

?

1 22

???

1 2n?1

?

2? 2?(1)n 2

<2