当前位置:首页 >> 数学 >>

数列高考真题(4)老师专用


数列高考真题(4)
一、选择题
2n 1. ( 2009 广 东 卷 理 )已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ?a2 n? n?3 ) ,则当 n ? 1 时, 5 ? 2 (

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ?
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

2 【 解 析 】 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 , 则 a n ? 2 n ,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ?

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
2.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

?

,即 q ? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为正数,所以
2

q ? 2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

3.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 A.1 【答案】 :C [解析]∵ S3 ? 6 ? B

5 3

C.- 2

D3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2
为等差数列,

.

4.(2009 安徽卷文)已知

,则

等于(



A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【 解 析 】 ∵ a1 ? a 3? a ? 5 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 【答案】B 5.(2009 辽宁卷文)已知 ?an ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=-
1

1 2

【答案】B 二、填空题 6.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 解: ??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8 。

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
7.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 答案:15

S 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? a4 2



a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 【解析】对于 s4 ? , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)
8.(2009 浙江文)设等比数列 {an } 的公比 q ?

S 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? a4 2



【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充分体现了 通项公式和前 n 项和的知识联系. 【解析】对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

.

9.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

9

.

解:??an ? 为等差数列,?

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

10.(2009 辽宁卷理)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d
1 2
.

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 【答案】
1 3

三、解答题 11.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

2

分析: (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? (2 k ) ? ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2
n



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ? 2
k ?1
k ?1

k
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

评析:09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和,一改 往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 12.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 10 分)
.

已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 s n .

.

解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则
.

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ?a1 ? ?4d
解得 ?

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 13.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列

3

(II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4
评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第 ( II ) 问 中 由 ( I ) 易 得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 , 这 个 递 推 式 明 显 是 一 个 构 造 新 数 列 的 模 型 :

an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n ?1 .
总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列(全国 I 还 考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) , 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模 式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题 人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 24.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 10 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n 解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
1 2 1 2 ( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ? ) ? 3 2
又 q ? 0 ,从而 q ? -
4

5分

故 a1 ? 4

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
15.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

10 分

1’ a2 ? 2, an+2= 已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

n?2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n ? 2 ] ? ? ( ? ) n ?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
16.(2009 福建卷文)(本小题满分)2 分) 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2
3

(Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32
5

设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

17、 (2010 年山东卷) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26, ?an ? 的前 n 项和为 Sn (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?
2 an

1 ( n ? N*) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 ?1

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 由于 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以 a1 ? 2d ? 7 , 2a1 ? 10d ? 26 , 解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? 所以 an ? 2n ? 1, Sn ? n(n ? 2) (Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1) 因此 bn ?
2

n(a1 ? an ) , 2

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1
所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 n (1 ? )? 4 n ?1 4(n ? 1)

n 4(n ? 1)

18、 (2010 重庆卷) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其 前 n 项和 Tn .

6

7


相关文章:
教师版:2011年高考一轮复习易错题集锦专题4数列
教师版:2011年高考一轮复习易错题集锦专题4数列 - 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 数列(文理) (教师版) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分...
2017年高考理科数学真题汇编之数列(教师版)
2017年高考理科数学真题汇编之数列(教师版)_高考_高中教育_教育专区。全文库最...2017 年高考理科数学真题汇编之《数列》 1.(2017 年新课标Ⅰ理) 4.记 Sn ...
数列高考选择填空题汇编(教师版)
数列高考选择填空题汇编(教师版)_数学_高中教育_教育专区。数列高考题汇编(教师...2, a1 ? ?3 , 所以 4(四川文)9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破三...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题教师用书文_数学...答案 4 2 1 解析 由题意,Sn= an- , 3 3 2 1 当 n≥2 时,Sn-1=...
2010高考数列(选择、大题)老师
2010高考数列(选择、大题)老师 - 2010 高考数学真题汇编数列 一、选择题: 1. (2010 考山东卷文科 7)设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ...
2012-2017年高考文科数学真题汇编:数列高考题学生...
2012-2017年高考文科数学真题汇编:数列高考题学生版 - 学科教师辅导教案 学员姓名 授课老师 授课日期及时段 年级 高三 2h 辅导科目 第:—: 数学 课时数 2018...
解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案...
解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案) - 解三角形、数列 2018 年全国高考分类真题(含答案) 一.选择题(共 4 小题) 1. △ABC 的内角 A, B,...
浙江专用版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考...
专题突破三高考中的数列问题教师用书_五年级数学_...等比数列,则 k 等于( A.1 B.2 C.3 D.4 ...1 答案 - n Sn+1-Sn SnSn+1 Sn 解析 由题意...
2018年高考数学真题专题汇编---数列
2018年高考数学真题专题汇编---数列 - 2018 年高考数学真题专题汇编---数列 一、填空题 1.(北京理 4 改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早...
【十年高考】24-2013年高考数学真题分类汇编(教师...
【十年高考】24-2013年高考数学真题分类汇编(教师自己整理):数列 - 数列 一、选择填空题 1.(江苏 2004 年 4 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= 则 ...
更多相关标签: