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斐波那契数列


斐波那契数列


+


1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??

十秒钟加数
? 请用十秒,计出左边 一条加数的答案。

时间到!
? 答案是 231。

+


34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????

十秒钟加数
?再來一次!

时间到!
? 答案是 6710。



细 看 这 两 个 数 列 :

+

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 231

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

+

34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 6710

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

斐波那契数列
? 若一个数列,首两项等于 1,而从第三 项起,每一项是之前两项之和,则称该 数列为斐波那契数列。即:
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13

?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 2 = 3 + 13 ,1 + … … 5 = … … …


3

8

斐波那契数列
? 斐波那契(Leonardo Pisano Fibonacci ; 1170 ? 1250 ) ? 意大利商人兼数学家 ? 他在著作《算盘书》 中,首先引入阿拉伯 数字,將「十进位值 记数法」介绍给欧洲 人认识,对欧洲的数 学发展有深远的影响。



问题提出
? 在 1202 年,斐波那契在他的著作中, 提出以下的一个问题: ? 假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期,而一对成熟兔子每月会生一对兔 子,那么,由一对初生兔子开始,12 个月后会有多少对兔子呢?


解答
1 月 1 对



解答
1 月 1 对 2 月 1 对



解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对



解答
1 2 3 4 月 月 月 月 1 1 2 3 对 对 对 对



解答
1 2 3 4 5 月 月 月 月 月 1 对 对 2 对 3 对 5 对



解答
1 2 3 4 5 6


月 月 月 月 月 月

1 1 2 3 5 8

对 对 对 对 对 对

解答
1 2 3 4 5 6 7


月 1 月 1 月 2 月 3 月 5 月 8 月 13

对 对 对 对 对 对 对

解答
? 可以將结果以表格形式列出:
1 月 1 7 月 13 2 月 1 8 月 21 3 月 2 9 月 34 4 月 3 10 月 55 5 月 6 月 5 11 月 89 8 12 月 144



? 因此,斐波那契问题的答案是 144 对。 ? 以上的数列,亦被称为「斐波那契数列」

大自然中的斐波那契数列
? 花瓣的数目



海棠(2)

钱兰(3)

大自然中的斐波那契数列
? 花瓣的数目

洋紫荊(5)


黃蝉(5)

蝴蝶兰(5)

大自然中的斐波那契数列
? 花瓣的数目

雏菊(13)


雏菊(13)

大自然中的斐波那契数列
? 树丫的数目(喷嚏麦的分枝)
13 8



5 3 2 1 1

大自然中的斐波那契数列
? 种子的排列(松果)



大自然中的斐波那契数列
? 種子的排列(松果)



大自然中的斐波那契数列
? 种子的排列(松果)















斐波那契数列与音乐
2

3



3

5

斐波那契数列与音乐
5



8

斐波那契数列与数学
? 后來的数学家发现了许多关于斐波那契 数列的特性。例如: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
? 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字, 能够被 2 整除。



斐波那契数列与数学
? 后來的数学家发现了许多关于斐波那契 数列的特性。例如: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
? 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字, 能够被 2 整除。 ? 第 4、第 8、第 12 项的数字,能够被 3 整除。


斐波那契数列与数学
? 后來的数学家发现了许多关于斐波那契 数列的特性。例如: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
? 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字, 能够被 2 整除。 ? 第 4、第 8、第 12 项的数字,能够被 3 整除。 ? 第 5、第 10 项的数字,能夠被 5 整除。 ? 其余的,如此类推。



「十秒钟加数」的秘密
? 数学家又发现:连续 10 个 斐波那契数之和,必定等于 第 7 个数的 11 倍! ? 所以右式的答案是: 21 ? 11 = 231 +


1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??

「十秒钟加数」的秘密
? 又例如: ? 右式的答案是: 610 ? 11 = 6710

+


34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????

最后三句
? 斐波那契数列还有很多性质未曾介绍。 在外国,仍然有很多人对这数列发生兴 趣,并办杂志來分享研究的心得。 ? 同学可參考以下书籍: 《斐波那契数列》九章出版社 ? 同学亦可到以下网址看看:
http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/F ibonacci/

~完~







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