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中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题41 阅读理解、图表信息


阅读理解、图表信息
一、选择题 2 1. (2015·湖北省武汉市,第 15 题 3 分)定义运算“*”,规定 x*y=ax +by,其中 a、b 为常数,且 1*2=5,2*1=6,则 2*3=_________ 10

?a ? 1 ?a ? 2b ? 5 ? ? 4a ? b ? 6 ,所以 ?b ? 2 ,所以 x※y=x2+2y,所以 2※3=22+2×3=10. 【解析】由题意知, ?
新定义翻译:新定义的实质是解二元一次方程组,从而确定常数值,最后转化为求代数式的 值.本题以新定义的形式出现,使简单问题新颖化,能很好的考查同学们的阅读理解能力. 2、 (2015·湖南省常德市,第 8 题 3 分)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则这 称这两个扇形相似。 如图, 如果扇形 AOB 与扇形 为不等于 0 的常数)。那么下面四个结论:

OA : O1 A1 ? k ( k A1 01 B1 是相似扇形, 且半径
B O A

AB ?k A 0 B A 0 B A B 1 1 1 1 1 1 1 1 ①∠AOB=∠ ;②△AOB∽△ ;③ ;
④扇形 AOB 与扇形

B1

A1 01 B1 的面积之比为 k 。成立的个数为:
2

O1 A1

A、1 个

B、2 个

C、3 个

D、4 个

n ? 2? r 【解答与分析】这是一个阅读,扇形相似的意义理解,由弧长公式= 360 可以得到: n ?? r 2 ②③正确,由扇形面积公式 360 可得到④正确
3(2015?浙江省绍兴市,第 10 题,4 分) 挑游戏棒是一种好玩的游戏,游戏规则:当一根 棒条没有被其它棒条压着时,就可以把它往上拿走。如图中,按照这一规则,第 1 次应拿走 ⑨号棒,第 2 次应拿走⑤号棒,…,则第 6 次应拿走 A. ②号棒 B. ⑦号棒 C. ⑧号棒 D. ⑩号棒

考点:规律型:图形的变化类.. 分析:仔细观察图形,找到拿走后图形下面的游戏棒,从而确定正确的选项. 解答:解:仔细观察图形发现: 第 1 次应拿走⑨号棒,

1

第 2 次应拿走⑤号棒, 第 3 次应拿走⑥号棒, 第 4 次应拿走②号棒, 第 5 次应拿走⑧号棒, 第 6 次应拿走⑩号棒, 故选 D. 点评:本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察图形,锻炼了同学们的识图能 力. 4. (2015?浙江省台州市,第 10 题)某班有 20 位同学参加围棋、象棋比赛,甲说:“只参 加一项的人数大于 14 人。”乙说:“两项都参加的人数小于 5 人。”对于甲、乙两人的说 法,有下列四个命题,其中真命题的是( ) A.若甲对,则乙对;B.若乙对,则甲对;C.若乙错,则甲错;D.若甲粗,则乙对

5.(2015·南宁,第 12 题 3 分)对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 Max{a,b}表示

a、b 中的较大值,如:Max{2,4}=4,按照这个规定,方程
(A) 1 ? 2 ( B) 2 ? 2 (C) 1 ? 2或1 ? 2

Max ?x,? x? ?

2x ?1 x 的解为(

).

(D)1 ? 2或 ? 1

考点:解分式方程.. 专题:新定义. 分析:根据 x 与﹣x 的大小关系,取 x 与﹣x 中的最大值化简所求方程,求出解即可. 解答:解:当 x<﹣x,即 x<0 时,所求方程变形得:﹣x= 2 去分母得:x +2x+1=0,即 x=﹣1; 当 x>﹣x,即 x>0 时,所求方程变形得:x= 解得:x=1+ 或 x=1﹣ (舍去) , 都为分式方程的解.
2



,即 x ﹣2x=1,

经检验 x=﹣1 与 x=1+

故选 D. 点评:此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为 整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

2

二、填空题 1. (2015?浙江省绍兴市,第 16 题,5 分)实验室里,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱 形容器(容器足够高) ,底面半径之比为 1:2:1, ,用两个相同的管子在容器的 5cm 高度处连 通(即管子底端离容器底 5cm) ,现三个容器中,只有甲中有水,水位高 1cm,如图所示。若

5 每分钟同时向乙和丙注入相同量的水, 开始注水 1 分钟, 乙的水位上升 6 cm, 则开始注入 ▲
分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是 0.5cm

考点:一元一次方程的应用.. 专题:分类讨论. 分析:由甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高) ,底面半径之比为 1:2:1,注水 1 分 钟, 乙的水位上升 cm, 得到注水 1 分钟, 丙的水位上升 cm, 设开始注入 t 分钟的水量后, 甲与乙的水位高度之差是 0.5cm,甲与乙的水位高度之差是 0.5cm 有三种情况:①当乙的水 位低于甲的水位时,②当甲的水位低于乙的水位时,甲的水位不变时,③当甲的水位低于乙 的水位时,乙的水位到达管子底部,甲的水位上升时,分别列方程求解即可. 解答:解:∵甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高) ,底面半径之比为 1:2:1, ∵注水 1 分钟,乙的水位上升 cm, ∴注水 1 分钟,丙的水位上升 cm, 设开始注入 t 分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是 0.5cm, 甲与乙的水位高度之差是 0.5cm 有三种情况: ①当乙的水位低于甲的水位时, 有 1﹣ t=0.5, 解得:t= 分钟; ②当甲的水位低于乙的水位时,甲的水位不变时, ∵ t﹣1=0.5, 解得:t= , ∵ × =6>5, ∴此时丙容器已向甲容器溢水, ∵5÷ = 分钟, = ,即经过 分钟边容器的水到达管子底部,乙的水位上升 ,

3

∴ ,解得:t= ; ③当甲的水位低于乙的水位时,乙的水位到达管子底部,甲的水位上升时, ∵乙的水位到达管子底部的时间为; ∴5﹣1﹣2× 解得:t= (t﹣ , )=0.5, 分钟,

综上所述开始注入 , , ,分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是 0.5cm. 点评:本题考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条 件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.

三、解答题 1. (2015?浙江省台州市,第 24 题)定义:如图 1,点 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN 和 BN, 若以 AM,MN,BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点 (1)已知点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,若 AM=2,MN=3 求 BN 的长; (2)如图 2,在△ABC 中,FG 是中位线,点 D,E 是线段 BC 的勾股分割点,且 EC>DE≥BD, 连接 AD,AE 分别交 FG 于点 M,N,求证:点 M,N 是线段 FG 的勾股分割点 (3)已知点 C 是线段 AB 上的一定点,其位置如图 3 所示,请在 BC 上画一点 D,使 C,D 是 线段 AB 的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可) (4)如图 4,已知点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,MN>AM≥BN,△AMC,△MND 和△NBM 均是等边三角形,AE 分别交 CM,DM,DN 于点 F,G,H,若 H 是 DN 的中点,试探究

S?AMF , S?BEN 和 S四边形MNHG 的数量关系,并说明理由

4

5

6

7

2. (2015?浙江嘉兴,第 24 题 14 分)类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等 的凸四边形叫做“等邻边四边形”. (1)概念理解 如图 1,在四边形 ABCD 中,添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”.请写出你 添加的一个条件. (2)问题探究 ①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗?请说明理 由。 ②如图 2,小红画了一个 Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将 Rt△ABC 沿 ∠ABC 的平分线 BB'方向平移得到△A'B'C' ,连结 AA' ,BC'.小红要是平移后的四边形 ABC'A'是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段 BB'的长)? (3)应用拓展 如图 3,“等邻边四边形”ABCD 中,AB=AD,∠BAD+∠BCD==90°,AC,BD 为对角线,

AC=

AB.试探究 BC,CD,BD 的数量关系.

考点:四边形综合题.. 分析: (1)由“等邻边四边形”的定义易得出结论; (2)①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形,再利用“等邻边四边形”定义得邻边 相等,得出结论; ②由平移的性质易得 BB′=AA′, A′B′∥AB, A′B′=AB=2, B′C′=BC=1, A′C′=AC= ,

再利用“等邻边四边形”定义分类讨论,由勾股定理得出结论; (3)由旋转的性质可得△ABF≌△ADC,由全等性质得∠ABF=∠ADC,∠BAF=∠DAC,AF=AC, FB=CD, 利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD, 由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°, 利用勾股定理,等量代换得出结论. 解答:解: (1)AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB(任写一个即可) ;

8

(2)①正确,理由为: ∵四边形的对角线互相平分,∴这个四边形是平行四边形, ∵四边形是“等邻边四边形”,∴这个四边形有一组邻边相等, ∴这个“等邻边四边形”是菱形; ②∵∠ABC=90°,AB=2,BC=1, ∴AC= ,

∵将 Rt△ABC 平移得到△A′B′C′, ∴BB′=AA′,A′B′∥AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC= (I)如图 1,当 AA′=AB 时,BB′=AA′=AB=2; (II)如图 2,当 AA′=A′C′时,BB′=AA′=A′C′= (III)当 A′C′=BC′= 时, ; ,

如图 3,延长 C′B′交 AB 于点 D,则 C′B′⊥AB, ∵BB′平分∠ABC, ∴∠ABB′= ∠ABC=45°, ∴∠BB′D=′∠ABB′=45°, ∴B′D=B, 设 B′D=BD=x, 则 C′D=x+1,BB′=

x,
2 2 2

∵在 Rt△BC′D 中,BD +(C′D) =(BC′) ∴x +(x+1) =(
2 2

),

2

解得:x1=1,x2=﹣2(不合题意,舍去) , ∴BB′=

x=



(Ⅳ)当 BC′=AB=2 时,如图 4, 2 2 2 与(Ⅲ)方法一同理可得:BD +(C′D) =(BC′) 设 B′D=BD=x, 2 2 2 则 x +(x+1) =2 ,

解得:x1=

,x2=

(不合题意,舍去) ,

∴BB′=

x=


2 2 2

(3)BC,CD,BD 的数量关系为:BC +CD =2BD ,如图 5, ∵AB=AD, ∴将△ADC 绕点 A 旋转到△ABF,连接 CF, ∴△ABF≌△ADC,

9

∴∠ABF=∠ADC,∠BAF=∠DAC,AF=AC,FB=CD, ∴∠BAD=∠CAF, = ∴△ACF∽△ABD, =1,

∴ = = ,∴ BD, ∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°, ∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣(∠BAD+∠BCD)=360°﹣90°=270°, ∴∠ABC+∠ABF=270°, ∴∠CBF=90°, ∴BC +FB ﹣CF =( ∴BC +CD =2BD .
2 2 2 2 2 2

BD)2=2BD2,

点评:本题主要考查了对新定义的理解,菱形的判定,勾股定理,相似三角形的性质等,理 解新定义,分类讨论是解答此题的关键. 3. (2015?浙江丽水,第 20 题 8 分)某运动品牌对第一季度 A、B 两款运动鞋的销售情况进 行统计,两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示:

4 (1)一月份 B 款运动鞋的销售量是 A 款的 5 ,则一月份 B 款运动鞋销售了多少双?
(2)第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变,求三月份的总销售额(销售额=销售单价 ×销售量) ; (3)结合第一季度的销售情况,请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

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4 50 ? ? 40 5 【答案】解: (1)∵ ,
∴一月份 B 款运动鞋销售了 40 双. (2)设 A、B 两款运动鞋的销售单价分别为 x, y 元,

?50 x ? 40 y ? 40000 ? x ? 400 ? ? 60 x ? 52 y ? 50000 ,解得 ? y ? 500 . 则根据题意,得 ?
∴三月份的总销售额为 400 ? 65 ? 500 ? 20 ? 39000 (元). (3)答案不唯一,如: 从销售量来看, A 款运动鞋销售量逐月上升, 比 B 款运动鞋销售量大, 建议多进 A 款运动鞋, 少进或不进 B 款运动鞋. 从总销售额来看,由于 B 款运动鞋销售量逐月减少,导致总销售额减少,建议采取一些促销 手段,增加 B 款运动鞋的销售量. 【考点】开放型;代数和统计的综合题;条形统计图和折线统计图; 二元一次方程组的应 用.

4 【分析】 (1) 根据条形统计图 A 款运动鞋的销售量和 B 款运动鞋的销售量是 A 款的 5 即可列
式求解. (2)方程(组)的应用解题关键是找出等量关系,列出方程(组)求解.本题设 A、B 两款 运动鞋的销售单价分别为 x, y 元, 等量关系为: “一月份 A、 B 两款运动鞋的总销售额 40000 元”和“二月份 A、B 两款运动鞋的总销售额 50000 元”. (3)答案不唯一,合理即可. 4. (2015?浙江宁波,第 25 题 12 分)如图 1,点 P 为∠MON 的平分线上一点,以 P 为顶点 的角的两边分别与射线 OM , ON 交于 A , B 两点,如果∠APB 绕点 P 旋转时始终满足

OA ? OB ? OP 2 ,我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角.
(1)如图 2,已知∠MON=90°,点 P 为∠MON 的平分线上一点,以点 P 为顶点的角的两边分 别与射线 OM,ON 交于 A,B 两点,且∠APB=135°. 求证:∠APB 是∠MON 的智慧角; (2)如图 1,已知∠MON= ? (0°< ? <90°) ,OP=2,若∠APB 是∠MON 的智慧角,连结 AB, 用含 ? 的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积;

11

(3)如图 3,C 是函数

y?

3 ( x ? 0) x 图象上的一个动点,过点 C 的直线 CD 分别交 x 轴和 y

轴于点 A,B 两点,且满足 BC=2CA,请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点 P 的坐标.

【考点】新定义和阅读理解型问题;单动点和旋转问题;相似三角形的判定和性质;锐角三 角函数定义;反比例函数的性质;曲线上点的坐标与方程的关系;分类思想的应用.
2 【分析】 (1)通过证明 ?AOP∽?POB ,即可得到 OP ? OA ? OB ,从而证得∠APB 是∠MON

的智慧角.

1 1 1 S?AOB ? ? OB ? AH ? ? OB ? OA ? sin ? ? OP2 ? sin ? 2 2 2 (2)根据 得出结果.
(3)分点 B 在 y 轴的正半轴,点 B 在 y 轴的负半轴两种情况讨论. 【答案】解: (1)证明:∵∠MON=90°,点 P 为∠MON 的平分线上一点,

1 ?AOP ? ?BOP ? ?MON ? 45? 2 ∴ .
∵ ?AOP ? ?OAP ? ?APO ? 180? ,∴ ?OAP ? ?APO ? 135? . ∵ ?APB ? 135? ,∴ ?APO ? ?OPB ? 135? .∴ ?OAP ? ?OPB .

OA OP ? 2 ∴ ?AOP∽?POB .∴ OP OB ,即 OP ? OA ? OB .
∴∠APB 是∠MON 的智慧角. (2)∵∠APB 是∠MON 的智慧角,

OA OP ? ∴ OP ? OA ? OB ,即 OP OB .
2

∵点 P 为∠MON 的平分线上一点,

1 ?AOP ? ?BOP ? ? 2 . ∴
∴ ?AOP∽?POB . ∴ ?OAP ? ?OPB .

12

1 ?APB ? ?OPB ? ?OPA ? ?OAP ? ?OPA ? 180? ? ? 2 . ∴
如答图 1,过点 A 作 AH⊥OB 于点 H,

1 1 1 S?AOB ? ? OB ? AH ? ? OB ? OA ? sin ? ? OP2 ? sin ? 2 2 2 ∴ .
∵ OP ? 2 ,∴ S?AOB ? 2sin ? . (3)设点

C ? a, b ?

,则 ab ? 3 .如答图,过 C 点作 CH⊥OA 于点 H.

i)当点 B 在 y 轴的正半轴时,
如答图 2,当点 A 在 x 轴的负半轴时, BC ? 2CA 不可能. 如答图 3,当点 A 在 x 轴的正半轴时,

CA
∵ BC ? 2CA ,∴ AB ∵ CH ∥ OB ,

?

1 3.

CH AH CA 1 3 ? ? ? OB ? 3b, OA ? a 2 . ∴ ?ACH ∽?ABO .∴ OB OA AB 3 .∴ 9 27 OA ? OB ? ab ? 2 2 . ∴
OP ? OA ? OB ?
∵∠APB 是∠AOB 的智慧角,∴

27 3 ? 6 2 2 .

?3 3 3 3? ? ? 2 , 2 ? ? ?. ∵∠AOB=90°,OP 平分∠AOB,∴点 P 的坐标为 ?

13

ii)当点 B 在 y 轴的负半轴时,如答图 4
∵ BC ? 2CA ,∴ AB ? CA . ∵∠AOB=∠AHC=90°,∠BAO=∠CAH,∴ ?ACH ∽?ABO .

1 1 3 OB ? CH ? b, OA ? AH ? a OA ? OB ? ab ? 2 .∴ 2 2. ∴
OP ? OA ? OB ?
∵∠APB 是∠AOB 的智慧角,∴

3 1 ? 6 2 2 .

? 3 3? ? ? 2 , - 2 ? ? ?. ∵∠AOB=90°,OP 平分∠AOB,∴点 P 的坐标为 ? ?3 3 3 3? ? 3 3? , , ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 或? 2 ?. 综上所述,点 P 的坐标为 ?
5. (2015?北京市,第 29 题,8 分)在平面直角坐标系 xOy 中, C 的半径为 r,P 是与圆 心 C 不重合的点,点 P 关于

O 的反称点的定义如下:若在射线 CP 上存在一点 P? ,满足

CP ? CP? ? 2r ,则称 P? 为点 P 关于 C 的反称点,下图为点 P 及其关于 C 的反称点 P?
的示意图。 y P

1 O

C 1 x

(1)当 O 的半径为 1 时。

①分别判断点 M (2,1) ,

3 N ( , 0) 2 , T (1, 3) 关于 O 的反称点是否存在,若存在?
14

求其坐标; ②点 P 在直线 y ? ? x ? 2 上,若点 P 关于 O 的反称点 P? 存在,且点 P? 不在 x 轴上,求点

P 的横坐标的取值范围;
(2)当 C 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线

y??

3 x?2 3 3 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,

B,若线段 AB 上存在点 P,使得点 P 关于 C 的反称点 P? 在 C 的内部,求圆心 C 的横坐
标的取值范围。 【考点】圆的性质、反对称点、一次函数 【难度】较难 【答案】

【点评】本题考查圆的性质以及坐标的求解,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形 选择简单的方法解题.

6. (2015?山东日照 ,第 21 题 12 分)阅读资料:

15

如图 1,在平面之间坐标系 xOy 中,A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由勾 2 2 2 股 定 理 得 AB =|x2 ﹣ x1| +|y2 ﹣ y1| , 所 以 A , B 两 点 间 的 距 离 为

AB=



我们知道, 圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合, 如图 2, 在平面直角坐标系 xoy 中, 2 A(x,y)为圆上任意一点,则 A 到原点的距离的平方为 OA =|x﹣0|2+|y﹣0|2,当⊙O 的半 2 2 2 径为 r 时,⊙O 的方程可写为:x +y =r . 2 问题拓展:如果圆心坐标为 P(a,b) ,半径为 r,那么⊙P 的方程可以写为 (x﹣a) +(y 2 2 ﹣b) =r . 综合应用: 如图 3, ⊙P 与 x 轴相切于原点 O, P 点坐标为 (0, 6) , A 是⊙P 上一点, 连接 OA, 使 tan∠POA= , 作 PD⊥OA,垂足为 D,延长 PD 交 x 轴于点 B,连接 AB. ①证明 AB 是⊙P 的切点; ②是否存在到四点 O,P,A,B 距离都相等的点 Q?若存在,求 Q 点坐标,并写出以 Q 为圆 心 , 以 OQ 为 半 径 的 ⊙O 的 方 程 ; 若 不 存 在 , 说 明 理

由. 考点: 圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中 线; 勾股定理; 切线的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义. . 专题: 阅读型. 分析: 问题拓展:设 A(x,y)为⊙P 上任意一点,则有 AP=r,根据阅读材料中的两点之间 距离公式即可求出⊙P 的方程; 综合应用:①由 PO=PA,PD⊥OA 可得∠OPD=∠APD,从而可证到△POB≌△PAB,则有 ∠POB=∠PAB.由⊙P 与 x 轴相切于原点 O 可得∠POB=90°,即可得到∠PAB=90°,由 此可得 AB 是⊙P 的切线; ②当点 Q 在线段 BP 中点时,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

QO=QP=BQ=AQ. 易证∠OBP=∠POA, 则有 tan∠OBP= = . 由 P 点坐标可求出 OP、 OB. 过 点 Q 作 QH⊥OB 于 H,易证△BHQ∽△BOP,根据相似三角形的性质可求出 QH、BH,进 而求出 OH,就可得到点 Q 的坐标,然后运用问题拓展中的结论就可解决问题. 解答: 解:问题拓展:设 A(x,y)为⊙P 上任意一点, ∵P(a,b) ,半径为 r, 2 2 2 2 ∴AP =(x﹣a) +(y﹣b) =r . 2 2 2 故答案为(x﹣a) +(y﹣b) =r ;

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综合应用: ①∵PO=PA,PD⊥OA, ∴∠OPD=∠APD. 在△POB 和△PAB 中,

, ∴△POB≌△PAB, ∴∠POB=∠PAB. ∵⊙P 与 x 轴相切于原点 O, ∴∠POB=90°, ∴∠PAB=90°, ∴AB 是⊙P 的切线; ②存在到四点 O,P,A,B 距离都相等的点 Q. 当点 Q 在线段 BP 中点时, ∵∠POB=∠PAB=90°, ∴QO=QP=BQ=AQ. 此时点 Q 到四点 O,P,A,B 距离都相等. ∵∠POB=90°,OA⊥PB, ∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA, ∴tan∠OBP= =tan∠POA= . ∵P 点坐标为(0,6) , ∴OP=6,OB= OP=8. 过点 Q 作 QH⊥OB 于 H,如图 3, 则有∠QHB=∠POB=90°, ∴QH∥PO, ∴△BHQ∽△BOP, ∴ = = = ,

∴QH= OP=3,BH= OB=4, ∴OH=8﹣4=4, ∴点 Q 的坐标为(4,3) , ∴OQ= =5,
2 2

∴以 Q 为圆心,以 OQ 为半径的⊙O 的方程为(x﹣4) +(y﹣3) =25.

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点评: 本题是一道阅读题,以考查阅读理解能力为主,在解决问题的过程中,用到了全等三 角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线 的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识, 有一定的综合性. 7.(2015·黑龙江绥化,第 26 题 分)自学下面材料后,解答问题。

x-2 2x ? 3 >0 ; <0 x -1 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如: x ? 1 等 。那么如何求出它
们的解集呢? 根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负。其字母表达式为:

a a (1)若 a>0 ,b>0 ,则 b >0;若 a<0 ,b<0,则 b >0; a a (2)若 a>0 ,b<0 ,则 b <0 ;若 a<0,b>0 ,则 b <0。

?a>0 ?a<0 a 或? ? b > 0 b ? ?b<0 反之: (1)若 >0 则
a (2)若 b <0 ,则__________或_____________.

x?2 >0 根据上述规律,求不等式 x ? 1 的解集。
考点:一元一次不等式组的应用. . 专题:阅读型. 分析:根据两数相除,异号得负解答; 先根据同号得正把不等式转化成不等式组,然后根据一元一次不等式组的解法求解即可.

解答:解: (2)若 <0,则





故答案为:




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由上述规律可知,不等式转化为





所以,x>2 或 x<﹣1. 点评:本题考查了一元一次不等式组的应用,读懂题目信息,理解不等式转化为不等式组的 方法是解题的关键. 8、 (2015?四川自贡,第 22 题 12 分)观察下表:

序号

1

2

3

图形

x x y x x

x x x x x x x x x
y y y y

x x x x
x x x x x x x x
y y y y y y y y y

L

L

x x x x

我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式,例如第 1 格的“特征多项式”为
4x ? y .回答下列问题:

⑴. 第 3 格的“特征多项式”为 , 第 4 格的“特征多项式”为 , 第 n 格的“特征多项式”为 ; ⑵.若第 1 格的“特征多项式”的值为 -10,第 2 格的“特征多项式”的值为 -16. ①.求 x, y 的值; ②.在此条件下,第 n 的特征是否有最小值?若有,求出最小值和相应的 n 值.若没有,请说 明理由. 考点:找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等. 分析:

n ? 1? n ? 1? x 本问主要是抓住 x、y 的排列规律; x 在第 n 格是按 ? 排,每排是 ? 个 来排列的; y 在第 n 格是按 n 排,每排是 n 个 y 来排列的;根据这个规律第⑴问可获得解决.
⑵.①.按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值,联立成二元一次方程组来解, 可求出 x, y 的值. ②.求最小值可以通过建立一个二次函数来解决;前面我们写出了第 n 格的“特征多项 式”和求出了 x、y 的值,所以可以建立最小值关于 n 的二次函数,根据二次函数的性质最 小值便可求得. 略解: ⑴. 第 3 格 的 “ 特 征 多 项 式 ” 为

16 x ? 9 y

,第 4 格的“特征多项式”为

19

25 x ? 16 y

,第 n 格的“特征多项式”为

(n ? 1)2 x ? n2 y

( n 为正整数) ;

?4x ? y ? ?10 ? 9x ? 4 y ? ?16 ⑵.①.依题意: ?

24 ? x?? ? ? 7 ? 26 ?y ? 7 ? 解之得: ?

②.设最小值为 W ,依题意得:

W ? (n ? 1)2 x ? n2 y ? ?

24 26 2 48 24 2 312 ? n ? 1?2 ? n2 ? n2 ? n ? ? ? n ? 12 ?2 ? 7 7 7 7 7 7 7 312 坚持就是胜利! 答:有最小值为 7 ,相应的 n 的值为 12.

9. (2015?浙江杭州,第 19 题 8 分) 2 如图 1,⊙O 的半径为 r(r>0),若点 P′在射线 OP 上,满足 OP′?OP=r ,则称点 P′是点 P 关于⊙O 的“反演点”,如图 2,⊙O 的半径为 4,点 B 在⊙O 上,∠BOA=60°,OA=8,若点 A′、B′分别是点 A,B 关于⊙O 的反演点,求 A′B′的长.
B O P' 图1 O 图2 A

P

【答案】解:∵⊙O 的半径为 4,点 A′、B′分别是点 A,B 关于⊙O 的反演点,点 B 在⊙O 上, OA=8,
2 2 2 2 ∴ OA? ? OA ? 4 , OB? ? OB ? 4 ,即 OA? ? 8 ? 4 , OB? ? 4 ? 4 .

∴ OA? ? 2, OB? ? 4 .∴点 B 的反演点 B′与点 B 重合. 如答图,设 OA 交⊙O 于点 M,连接 B′M, ∵OM=OB′,∠BOA=60°,∴△OB′M 是等边三角形. ∵ OA? ? A?M ? 2 ,∴B′M⊥OM.
2 2 2 2 ∴在 Rt ?OB ' M 中,由勾股定理得 A?B? ? OB? ? OA ? 4 ? 2 ? 2 3 .

【考点】新定义;等边三角形的判定和性质;勾股定理. 【分析】先根据定义求出 OA? ? 2, OB? ? 4 ,再作辅助线:连接点 B′与 OA 和⊙O 的交点 M, 由已知∠BOA=60°判定△OB′M 是等边三角形,从而在 Rt ?OB ' M 中,由勾股定理求得

A′B′的长.
10. (2015?浙江杭州,第 23 题 12 分) 方成同学看到一则材料,甲开汽车,乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地,设乙

20

行驶的时间为 t(h),甲乙两人之间的距离为 y(km),y 与 t 的函数关系如图 1 所示,方成思 考后发现了图 1 的部分正确信息,乙先出发 1h,甲出发 0.5 小时与乙相遇,??,请你帮助 方成同学解决以下问题: (1)分别求出线段 BC,CD 所在直线的函数表达式; (2)当 20<y<30 时,求 t 的取值范围; (3)分别求出甲、乙行驶的路程 S 甲、S 乙与时间 t 的函数表达式,并在图 2 所给的直角坐 标系中分别画出它们的图象;

(4)丙骑摩托车与乙同时出发,从 N 地沿同一条公路匀速前往 M 地,若丙经过 h 与乙相遇, 问丙出发后多少时间与甲相遇.

S(km) 100 3 y(km) C A B 1 1.5 7 图1 3 D t(h) 10 4 t(h) 1 图2

O

【答案】解: (1)设线段 BC 所在直线的函数表达式为 y ? k1t ? b1 ,

?3 k ?b ?0 ? ?2 1 1 ? ?k1 ? 40 ?3 ? ? 7 100 ? 7 100 ? B ? , 0?,C ? , ? k ? b ? ? 1 1 ? ? 3 3 ? ,∴ ? 3 ,解得 ?b1 ? ?60 . ?3 ∵ ?2
∴线段 BC 所在直线的函数表达式为 y ? 40t ? 60 . 设线段 CD 所在直线的函数表达式为 y ? k2t ? b2 ,

? 7 100 ? C? , ?, 3 3 ? ? ∵

100 ?7 ? k2 ? b2 ? ?k2 ? ?20 3 ?3 D ? 4, 0 ? ? ? b ? 80 4k1 ? b1 ? 0 ? ,∴ ,解得 ? 2 .

∴线段 BC 所在直线的函数表达式为 y ? ?20t ? 80 . (2)∵线段 OA 所在直线的函数表达式为

y ? 20t ? 0 ? t ? 1?

,∴点 A 的纵坐标为 20.

当 20 < y < 30 时,即 20 < 40t ? 60 < 30 或 20 < ?20t ? 800 < 30 ,

解得

2<t <

9 5 <t <3 4或2 .
21

∴当 20 < y < 30 时, t 的取值范围为 (3)

2<t <

9 5 <t <3 4或2 .
.所画图形如答图:

S甲 ? 60t ? 60 ?1 ? t < 3?



S乙 ? 20t ?1 ? t < 4?

(4)当

t?

4 80 S乙 ? 3 0 时, 3 ,
S丙
与时间 t 的函数关系式为

∴丙距 M 地的路程

S丙 ? ?40t ? 80 ? 0 ? t ? 2?

.

? S ? 60t ? 60 ? S ? ?40t ? 80 ,解得 S甲 ? 60t ? 60?1 ? t < 3? 与 S丙 ? ?40t ? 80 ? 0 ? t ? 2? 图象交点的横 联立 ?

7 坐标为 5 ,

7 h ∴丙出发后 5 与甲相遇.

【考点】一次函数的图象和性质;待定系数法的应用;直线上点的坐标与方程的关系;解方 程组和不等式组;分类思想的应用. 【分析】 (1)应用待定系数法即可求得线段 BC,CD 所在直线的函数表达式. (2)求出点 A 的纵坐标,确定适用的函数,解不等式组求解即可. (3)求函数表达式画图即可. (4)求出

S丙

与时间 t 的函数关系式,与

S甲 ? 60t ? 60 ?1 ? t < 3?

联立求解.

22

11. (2015?浙江衢州,第 22 题 10 分)小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数 ( , 是常数)满足 ( 是常数)与 ,则称这两个函数互

为“旋转函数”. 求 函数的“旋转函数”. 函数可知 求出 ,根据

小明是这样思考的:由 ,

,就能确定这个函数的“旋转函数”.

请参考小明的方法解决下面的问题: (1)写出函数 的“旋转函数”;

(2) 若函数



互为“旋转函数”, 求

的值;

(3)已知函数 关于原点的对称点分别是

的图象与 轴交于

两点,与

轴交于点

,点

,试证明经过点

的二次函数与

函数 【答案】解: (1)

互为“旋转函数”. .

(2)∵函数



互为“旋转函数”,

∴ ∴

,解得

. .

(3)证明:∵函数 ∴ ∵ . 关于原点的对称点分别是

的图象与

轴交于

两点,与

轴交于点





23

∴ 设经过点

. 的二次函数解析式为 ,



代入得

,解得

.

∴经过点

的二次函数解析式为

.







.

∴经过点

的二次函数与函数

互为“旋转函数”.

【考点】新定义和阅读理解型问题;待定系数法的应用;曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】 (1)根据小明的方法直接求解. (2)根据互为“旋转函数”的定义,得出关于 (3)求出点 数”的性质,求出点 的方程组,求解即可.

的坐标,根据“关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反 的坐标,应用待定系数法求出经过点 的二次函

数解析式,从而根据互为“旋转函数”的定义求证. 12 , (2015?泉州第 26 题 13 分)阅读理解 抛物线 y= x 上任意一点到点(0,1)的距离与到直线 y=﹣1 的距离相等,你可以利用这一 性质解决问题. 问题解决 如图,在平面直角坐标系中,直线 y=kx+1 与 y 轴交于 C 点,与函数 y= x 的图象交于 A,B 两点,分别过 A,B 两点作直线 y=﹣1 的垂线,交于 E,F 两点. (1)写出点 C 的坐标,并说明∠ECF=90°; (2)在△PEF 中,M 为 EF 中点,P 为动点. 2 2 2 2 ①求证:PE +PF =2(PM +EM ) ; ②已知 PE=PF=3,以 EF 为一条对角线作平行四边形 CEDF,若 1<PD<2,试求 CP 的取值范 围.
2 2

24

解: (1)当 x=0 时,y=k?0+1=1, 则点 C 的坐标为(0,1) . 根据题意可得:AC=AE, ∴∠AEC=∠ACE. ∵AE⊥EF,CO⊥EF, ∴AE∥CO, ∴∠AEC=∠OCE, ∴∠ACE=∠OCE. 同理可得:∠OCF=∠BCF. ∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°, ∴2∠OCE+2∠OCF=180°, ∴∠OCE+∠OCF=90°,即∠ECF=90°; (2)①过点 P 作 PH⊥EF 于 H, Ⅰ.若点 H 在线段 EF 上,如图 2①. ∵M 为 EF 中点, ∴EM=FM= EF. 根据勾股定理可得: PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2 2 2 2 2 2 =2PH +EH +HF ﹣2(PH +MH ) 2 2 2 2 =EH ﹣MH +HF ﹣MH =(EH+MH) (EH﹣MH)+(HF+MH) (HF﹣MH) =EM(EH+MH)+MF(HF﹣MH) =EM(EH+MH)+EM(HF﹣MH) =EM(EH+MH+HF﹣MH) 2 =EM?EF=2EM , 2 2 2 2 ∴PE +PF =2(PM +EM ) ; Ⅱ.若点 H 在线段 EF 的延长线(或反向延长线)上,如图 2②. 2 2 2 2 同理可得:PE +PF =2(PM +EM ) . 2 2 2 2 综上所述:当点 H 在直线 EF 上时,都有 PE +PF =2(PM +EM ) ; ②连接 CD、PM,如图 3. ∵∠ECF=90°, ∴?CEDF 是矩形,

25

∵M 是 EF 的中点, ∴M 是 CD 的中点,且 MC=EM. 由①中的结论可得: 2 2 2 2 在△PEF 中,有 PE +PF =2(PM +EM ) , 2 2 2 2 在△PCD 中,有 PC +PD =2(PM +CM ) . ∵MC=EM, 2 2 2 2 ∴PC +PD =PE +PF . ∵PE=PF=3, 2 2 ∴PC +PD =18. ∵1<PD<2, 2 ∴1<PD <4, 2 ∴1<18﹣PC <4, 2 ∴14<PC <17. ∵PC>0, ∴ <PC< .

26

13. (2015?江苏南昌,第 24 题 12 分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”. 例如图 1,图 2,图 3 中,AF,BE 是△ABC 的中线, AF⊥BE , 垂足为 P.像△ABC 这样的三角 形均为“中垂三角形”.设 BC = a , AC = b , AB = c . 特例探索 (1)如图 1,当∠ ABE =45°, c = 2 2 时, a = 如图 2,当∠ ABE =30°, c = 4 时,
C C

,b = ,b =

; ;
C

a=

E P

F

E P

F

E P
30°

F

A
图1

45°

B

A
图2

B

A
图3

B

归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果,猜想 a , b , c 三者之间的关系,用等式表示出来,并利
2 2 2

27

用图 3 证明你发现的关系式; 拓展应用 (3)如图 4,在□ABCD 中,点 E,F,G 分别是 AD,BC,CD 的中点,BE⊥EG, AD= 2 5 ,AB=3. 求 AF 的长.

A

E

D G

B

F

C

答案:解析:(1)如图 1,连接 EF,则 EF 是△ABC 的中位线,

1 AB ∴EF= 2 = 2,
∵∠ABE=45°,AE⊥EF ∴△ABP 是等腰直角三角形, ∵EF∥AB ,∴△EFP 也是等腰直角三角形, ∴AP=BP=2 ,EP=FP=1, ∴AE=BF= 5 , ∴a =b =2 5 . 如图 2,连接 EF,则 EF 是△ABC 的中位线. ∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4, ∴AP=2, BP= 2 3 ,

C

1 / / 2 AB ∵EF , ∴PE= 3 ,PF=1,
∴AE= 7 , BF= 13

E P

F

A
∴ a = 2 13 , b = 2 7 .
2 2 2 (2) a + b = 5c 2 2 2 2 如图 3,连接 EF, 设 AP=m ,BP=n.,则 c = AB = m + n

30° 图2

B

1 1 1 1 1 / / 2 AB ∵EF , ∴PE= 2 BP= 2 n , PF= 2 AP= 2 m, 1 1 AE 2 = m 2 + n 2 BF 2 = n 2 + m 2 4 4 ∴ , ,
E P A
图3

C

F

28

B

2 2 2 2 2 ∴ b = AC = 4 AE = 4m + n ,

a 2 = BC 2 = 4 BF 2 = 4n 2 + m 2
∴ a + b = 5(m + n ) = 5c (3)
P
2 2 2 2 2

M A O B F E

N D G C Q

如上图,延长 EG,BC 交于点 Q, 延长 QD,BA 交于点 P,延长 QE,BE 分别交 PB,PQ 于点 M,N,连 接 EF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD

//

BC, AB

//

CD,

∵E,G 是分别是 AD,CD 的中点,∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE= 5 , DG=AM=1.5 , ∴BM=4.5.

CD CQ 3 5 = = ∵ BP BQ ,∴ BP 3 5 ,∴BP=9, ∴M 是 BP 的中点;
∵AD

//

FQ, ∴四边形 ADQF 是平行四边形,∴AF∥PQ,

∵E,F 分别是 AD,BC 的中点,∴AE 由 AF∥PQ 得:

//

BF, ∴四边形 ABFE 是平行四边形,∴OA=OF,

OF BF 5 1 = = = , QN BQ 3 5 3

OA OF OA BA 3 1 = = = = PN BP 9 3 , ∴ PN QN , ∴PN=QN, ∴N 是 PQ 的中点;
2 2 2 2

∴△BQP 是“中垂三角形”, ∴ PQ = 5BQ - BP = 5? (3 5)

9 2 = 144 ,

1 AF = PQ = 4 3 ∴ PQ = 12 , ∴

29


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