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江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(四) Word版含答案


南昌市 10 所省重点中学命制 2013 届高三第二次模拟突破冲刺 (四) 数学(文)试题
命题:
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1 ? 0}, B ? {x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) ? B ? A. {x ?1 ? x ? 3} B. {x ?1 ? x ? 3} C. {x x ? ?1} D. {x x ? 3}

2.设 a , b 为实数,若复数 A. a ? 1, b ? 3 3.直线 x ?

1 ? 2i ? 1 ? i ,则 a ? bi
C. a ?

B. a ? 3, b ? 1
2

1 3 ,b ? 2 2

D. a ?

3 1 ,b ? 2 2

3 y ? 0 截圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
B.

A.

? 6

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

4.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 B. 1 C.

2 3

D.

1 3

6.函数 y ? sin x ? cos x

?

? ?sin x ? cos x ? 是
B.奇函数且在 ?

A.奇函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

?? ? ,? ? 上单调 ?2 ? ?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?
B ?

递增 C.偶函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

D.偶函数且在 ?

7.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m, 一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B . 已知 AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中 的速度大小为

?
A

水流方向

A. 8 km/h

B. 6 2 km/h

C. 2 34 km/h

D. 10 km/h

8 . 已 知 数 列 { an } 满 足 l o 3 an ? ? g 1

l 3o ng a?

1

? n ?N* , 且 a2 ? a 4? a 6 9 , 则 ( )

l o 1 a(5? a ? a 的值是( g 7 9 )
3

)

A. ?

1 5

B. ?5

C.5

D.

1 5

9.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x, 则方程

f ( x) ? log3 | x | 的解个数是
A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个





10.已知两定点 A(?1, 0) 和 B(1, 0) ,动点 P( x, y ) 在直线 l : y ? x ? 2 上移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点 P ,记椭圆 C 的离心率为 e( x) ,则函数 y ? e( x) 的大致图像是( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上.) 11.运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为 .

S ? S ?i
i ? i ?1

开始

输入n

i ? 0, S ? 1

i ≤n



输出S

结束

12.计算: log 1 sin15 ? log 1 cos15 =
o o 2 2



13.已知 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 4, 点 D 是边 BC 的中点,则 BC ? AD 等于_______. 14.函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对任意的 x1 、 x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为“非减函数”.设函数 g ( x) 在 [0,1] 上为“非减函数”,且满足以下三个 条件: (1) g (0) ? 0 ; (2) g ( ) ?

??? ???? ?

x 3

1 g ( x) ; (3) g (1 ? x) ? 1 ? g ( x) ,则 g (1) ? 2



g(

5 )? 12

. .

15. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是

三、解答题(本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, C ? 2 A , cos A ? (1)求 cos B,cos C 的值; (2)若 BA ? BC ?

3 . 4

??? ??? ? ?

27 ,求边 AC 的长. 2

17. (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学 成绩 (满分100分, 成绩均为不低于40分的整数) 分成六段:[40,50),[50,60),?[90,100) 后 得到如下图的频率分布直方图. (1)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分 的人数; (2)若从数学成绩在 [40,50) 与 [90,100] 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

18.(本小题满分 12 分) 设 O 为正方形 ABCD 的中心,四边形 ODEF 是平行四边形,且平面 ODEF ? 平面 ABCD ,若

AD ? 2,DE ? 2 .

(1)求证: FD ? 平面 ACE . (2)线段 EC 上是否存在一点 M ,使 AE∥平面 BDM ?若存在,求 EM : MC 的值;若不存在, 请说明理由.

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

? ... ?

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n (其中常数 ? ? 0, n ? N * ) .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 ? ? 4 时,数列 ?an ? 中是否存在不同的三项组成一个等比数列;若存在,求出满足 条件的三项,若不存在,说明理由。

20.(本题满分 13 分)

已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P(3, 1),其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 a 2 b2

???? ???? ? F1P ? F2 P ? ?6 .
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F M ? F2 N ,则以 MN 为直径的圆 C 是否过定 1 点?请说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 对于定义在实数集 R 上的两个函数 f ( x), g ( x) ,若存在一次函数 h( x) ? kx ? b 使得,对任 意的 x ? R , 都有 f ( x) ? h( x) ? g ( x) , 则把函数 h( x) 的图像叫函数 f ( x), g ( x) 的“分界线”。 现已知 f ( x) ? (ax ? 2 x ? 2)e ( a ? 0 , e 为自然对数的底数) g ( x) ? ? x ? 4 x ? 1 ,
2 x 2

(1)求 f ( x ) 的递增区间;

(2)当 a ? 0 时,函数 f ( x), g ( x) 是否存在过点 (0,1) 的“分界线”?若存在,求出函数 h( x) 的解析式,若不存在,请说明理由。

参考答案

(2)∵BA ? BC ? ca cos B ?

??? ??? ? ?

9 27 a c ac ? ? ,∴ac ? 24 ;又由正弦定理 ,得 16 2 sin A sin C

3 a ,解得 a ? 4 , c ? 6 ,∴b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 25 , b ? 5 , 2 即边 AC 的长为 5. c?
17. (1) 根据频率分布直方图, 解: 成绩不低于60分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 . 由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成 绩不低于60分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人. (2)解:成绩在 [40,50) 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人, 成绩在 [90,100] 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人, 若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有 15 种 如果两名学生的数学成绩都在 [40,50) 分数段内或都在 [90,100] 分数段内, 那么这两名学生 的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 [40,50) 分数段内,另一个成绩在

[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取两名学
生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种 所以所求概率为 P( M ) ?

7 . 15

18.解:(1)在正方形 ABCD 中, BD ? AC . ∵AD ? 2 ,∴BD ? 2 2,OD ? 2 . ∵DE ? OD ,∴ 平行四边形 ODEF 为菱形,∴FD ? OE . 又∵ 平面 ODEF ? 平面 ABCD ,∴AC ? 平面 ODEF ,∴AC ? DF , 而 AC ? OD ? O ,∴FD ? 平面 ACE . (2)存在线段 EC 的中点 M ,使 AE∥平面 BDM .

若 M 是线段 EC 的中点, O 为 AC 中点,∴EA ∥OM . ∵OM ? 平面 BDM , EA ? 平面 BDM ,∴AE∥平面 BDM , 此时 EM : MC 的值为1. 19.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 3 , 当 n ? 2 时,因为 a1 ? 所以: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

?? ?

?

an ?1
n?2

?

?

an
n

? n 2 ? 2n

a2

?

?

?
?

a3
2

?? ?

?

an ?1
n?2

? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)

两式相减得到:

an
n ?1

? 2n ? 1 ,即 an ? (2n ? 1)? n?1 ,又 a1 ? 3 ? (2 ?1 ? 1)?1?1 ,
n ?1

所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (2n ? 1)? (2)当 ? ? 4 时, an ? (2n ? 1) ? 4
n?1



,假设存在 ar , as , at 成等比数列,

则 (2r ? 1) ? 4r ?1 ? (2t ? 1) ? 4t ?1 ? (2s ? 1)2 ? 42 s ?2 . 整理得 (2r ? 1) ? (2t ? 1) ? 4r ?t ?2 s ? (2s ? 1)2 . 由奇偶性知 r ? t ? 2s ? 0 r+t-2s=0. 所以 (2r ? 1) ? (2t ? 1) ? (r ? t ? 1)2 ,即 (r ? t )2 ? 0 ,这与 r ? t 矛盾, 故不存在这样的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列. 20. 解 : ( 1 ) 设 点 F1 , F2 的 坐 标 分 别 为 (?c,0),(c,0)(c ? 0) , 则

???? ???? ? ???? ???? ? F1P ? (3 ? c,1), F2 P ? (3 ? c,1) , 故 F1P ? F2 P ? (3 ? c)(3 ? c) ?1 ? 10 ? c2 ? ?6 , 可 得
c ? 4,
所以 2a ?| PF1 | ? | PF2 |?

(3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 , a ? 3 2 ,

2 2 2 ∴b ? a ? c ? 18 ? 16 ? 2 ,所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 18 2

(2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m), (5, n) ,则 F M ? (9, m) , F2 N ? (1, n) . 由 1

?????

???? ?

????? ???? ? ????? ???? ? F1M ? F2 N ,可得 F1M ? F2 N ? 9 ? mn ? 0 ,即 mn ? ?9 ,
|m?n| m?n ), 半径为 ,故圆 C 的方程为 2 2 m?n 2 |m?n| 2 ( x ? 5) 2 ? ( y ? ) ?( ) ,即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? mn ? 0 ,也就是 2 2
又圆 C 的圆心为 (5,

( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? 9 ? 0 ,令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2 ,

故圆 C 必过定点 (8, 0) 和 (2, 0) . 21.解: (1) f '( x) ? (2a ? 2)e x ? (ax2 ? 2x ? 2)e x ? ( x ? 2)(ax ? 2)e x , 由 f '( x) ? 0 得 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 ① a ? 0 ,则 x ? ?2 ,此时 f ( x ) 的递增区间为 (?2, ??) ; 若 ② 0 ? a ? 1 ,则 x ? ? 若

2 2 或 x ? ?2 ,此时 f ( x ) 的递增区间为 (??, ? ), (?2, ??) ; a a

③ a ? 1 ,则 f ( x ) 的递增区间为 (??, ??) ; 若 ④ a ? 1 ,则 x ? ?2 或 x ? ? 若

2 2 ,此时 f ( x ) 的递增区间为 (??, ?2), (? , ??) 。 a a

( 2 ) 当 a ? 0 时 , f (x ) ?

( ? e x 2, 假 设 存 在 实 数 k , 使 不 等 式 x2 )

f ( x) ? kx ? 1 ? ? x2 ? 4x ? 1对 x ? R 恒成立,
由 kx ? 1 ? ? x ? 4 x ? 1 得到 x2 ? (k ? 4) x ? 0 对 x ? R 恒成立,
2

则 (k ? 4)2 ? 0 ,得 k ? 4 ,


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