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2015-2016学年福建省福州八中高二(下)期末数学试卷(文科)解析版



2015-2016 学年福建省福州八中高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016 春?福州校级期末)若集合 A={x|x>0},B={x|x<4},则?A(A∩B)等于 ( ) A.{x|x<0} B.{x|0<x<4} C.{x|x≥4} D.R 2. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)函数 y= +ln(x+1)的定义域为( )

A. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)? C. (﹣2,﹣1] +∞) 3. (5 分) (2016 春?泉州校级期末) α 的终边过点 P (﹣1, 2) , 则 sin (α+ A. B.﹣ C. D.﹣
cos30°

D.[3, )

) 的值为 (

4. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)若 a=3

,b=log

sin30°,c=log2tan30°,则(



A.a>b>c B.b<c<a C.c>b>a D.b>a>c 2 5. (5 分) (2015?漳州二模)“m<1”是“函数 f(x)=x +x+m 有零点”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



6. (5 分) (2016 春?福州校级期末)已知函数 f(x)=loga(2﹣x)在其定义域上单调递减, 2 则函数 g(x)=loga(1﹣x )的单调减区间是( ) A. (﹣∞,0] B. (﹣1,0) C.[0,+∞) D.[0,1) 7. (5 分) (2014 秋?泉州期末)已知函数 f(x﹣1)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞) 上是增函数,则函数 f(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.
x

D.

8. (5 分) (2014?扶沟县校级模拟)已知函数 f(x)=e ﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y= x 垂直的切线,则实数 m 的取值范围是( A.m≤2 B.m>2 C.m≤ D.m> )

9. (5 分) (2011?广州模拟)已知函数 的值等于( ) A.1 B.2 C.3

,若 f(1)=f(﹣1) ,则实数 a

D.4

10. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足

≥0,

则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)>2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 11. (5 分) (2016 春?福州校级期末)已知 f(x) 是定义在 R 上且以 2 为周期的偶函数, 当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,如果直线 y=x+a 与曲线 y=f(x) 恰有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2k,2k+ ](k∈Z) B. (2k﹣ ,2k) (k∈Z) C. (2k﹣ ,2k) (k∈Z) D. (2k, 2k+ ) (k∈Z) 12. (5 分) (2011?辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)> 2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A. (﹣1,1) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣l) D. (﹣∞,+∞) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上. 13. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)幂函数 f(x)=(m ﹣m﹣1) 上为减函数,则 m= .
2 2 2

在(0,+∞)

14. (5 分) (2016?衡水校级模拟)已知函数 f(x)=2x ﹣xf′(2) ,则函数 f(x)的图象在 点(2,f(2) )处的切线方程是 . 15. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)知函数 f(x)=x ﹣12x+8 在区间[﹣3,3]上的最大值 与最小值分别为 M,m,则 M+m= . 16. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)设函数 f(x) 、g(x)的定义域分别为 DJ、DE,且 DJ ? DE,若对于任意 x∈DJ,都有 g(x)=f(x) ,则称 g(x)函数为 f(x)在 DE 上的一个 ﹣x 延拓函数.设 f(x)=e (x﹣1) (x>0) ,g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,且 g (x)是奇函数.给出以下命题: ①当 x<0 时,g(x)=e (1﹣x) ; ②函数 g(x)有 3 个零点; ③g(x)>0 的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞) ; ④? x1,x2∈R,都有|g(x1)﹣g(x2)|<2. 其中所有正确命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2016 春?福州校级期末)已知 α∈( , ) ,sinα+cosα= ,求
﹣x

3

的值.

18. (12 分) (2016 春?福州校级期末)设有如下两个命题: 2 2 ①:关于 x 的不等式 x +(a﹣1)x+a >0 的解集是 R; 3 ②:函数 f(x)=x +4ax﹣2 在(1,+∞)上是增函数.

已知“命题①或命题②”为真命题,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分) (2016 春?福州校级期末)设 a、b∈R,且 a≠1,若奇函数 f(x)=lg 在

区间(﹣b,b)上有定义. (1)求 a 的值; (2)求 b 的取值范围;? (3)求解不等式 f(x)>0. 20. (12 分) (2008?佛山二模)某物流公司购买了一块长 AM=30 米、宽 AN=20 米的矩形地 块,规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路或停车场,要求顶点 C 在地 块对角线 MN 上,顶点 B,D 分别在边 AM,AN 上,设 AB 长度为 x 米. (1)要使仓库占地面积不小于 144 平方米,求 x 的取值范围; (2)若规划建设的仓库是高度与 AB 的长度相等的长方体建筑,问 AB 的长度是多少时, 仓库的库容量最大?(墙地及楼板所占空间忽略不计)

21. (12 分) (2016 春?福州校级期末)已知函数 f(x)=a(x﹣1) (e ﹣a) , (常数 a∈R 且 a≠0) . (Ⅰ)若函 f(x)在(0,f(0) )处的切线与直线 y=﹣4x+1 平行,求 a 的值; 2 (Ⅱ)若对任意 x∈[1,+∞)都有 f(x)≥x ﹣x,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?宁德模拟)如图,已知⊙A 和⊙B 的公共弦 CD 与 AB 相交于点 E,CB 与⊙A 相切,⊙B 半径为 2,AE=3. (Ⅰ)求弦 CD 的长; (Ⅱ)⊙B 与线段 AB 相交于点 F,延长 CF 与⊙A 相交于点 G,求 CG 的长.

x

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?揭阳校级模拟)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数,t∈R) ,以坐

标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,θ ∈[0,2π) . (Ⅰ)求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D,使它到直线 l 的距离最短. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?宁德模拟)已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≤x 的解集; (Ⅱ)当 x≤﹣ 时,不等式 f(x)+t +2t+3≥0 对任意 t∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

2015-2016 学年福建省福州八中高二(下)期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016 春?福州校级期末)若集合 A={x|x>0},B={x|x<4},则?A(A∩B)等于 ( ) A.{x|x<0} B.{x|0<x<4} C.{x|x≥4} D.R 【分析】根据集合的定义与运算法则,进行计算即可. 【解答】解:集合 A={x|x>0},B={x|x<4}, 所以 A∩B={x|0<x<4} 所以?A(A∩B)={x|x≥4}. 故选:C. 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题目. 2. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)函数 y= +ln(x+1)的定义域为( )

A. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)? C. (﹣2,﹣1] +∞) 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 【解答】解:要使函数有意义,则 得 得 x≥3,

D.[3,

即函数的定义域为[3,+∞) , 故选:D 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

3. (5 分) (2016 春?泉州校级期末) α 的终边过点 P (﹣1, 2) , 则 sin (α+ A. B.﹣ C. D.﹣

) 的值为 (



【分析】由坐标系中两点之间的距离公式,可得|OP|= 式即可算出 sinα 的值. 【解答】解:∵点 P(﹣1,2) , ∴x=﹣1,y=﹣2,|OP|= 因此,sin(α+ 故选:B. )=cosα= = = =﹣ , .

,结合三角函数的定义和诱导公

【点评】本题给出角 α 的终边经过点 P(﹣1,2) ,求 α 角的余弦之值,着重考查了任意角 三角函数定义的知识,属于基础题. 4. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)若 a=3
cos30°

,b=log

sin30°,c=log2tan30°,则(



A.a>b>c B.b<c<a C.c>b>a D.b>a>c 【分析】利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出. 【解答】解:a=3
cos30°

=

>3 =1,0<b=log

0

sin30°=



=1,

c=log2tan30°=

<0,

∴a>b>c. 故选:A. 【点评】 本题考查了指数函数、 对数函数与三角函数的单调性, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 5. (5 分) (2015?漳州二模)“m<1”是“函数 f(x)=x +x+m 有零点”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 2 【解答】解:若函数 f(x)=x +x+m 有零点,则判别式△=1﹣4m≥0, 解得 m≤ , 则“m<1”是“函数 f(x)=x +x+m 有零点”的必要不充分条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数有零点,求出 m 的等价条件 是解决本题的关键. 6. (5 分) (2016 春?福州校级期末)已知函数 f(x)=loga(2﹣x)在其定义域上单调递减, 2 则函数 g(x)=loga(1﹣x )的单调减区间是( ) A. (﹣∞,0] B. (﹣1,0) C.[0,+∞) D.[0,1) 【分析】利用复合函数的单调性,由函数 f(x)=loga(2﹣x)在其定义域上单调递减可得 a 2 >1,于是可求函数 g(x)=loga(1﹣x )的单调减区间 【解答】解:∵函数 f(x)=loga(2﹣x)在其定义域上单调递减, ∴a>1, 2 令 t=1﹣x (﹣1<x<1) , 则 y=g(x)=logat, 又∵y=g(x)=logat 为增函数, 2 t=1﹣x (﹣1<x<1)在[0,1)上单调递减, 2 ∴函数 g(x)=loga(1﹣x )的单调减区间是[0,1) 故选:D 【点评】本题考查复合函数的单调性,关键在于掌握复合函数的单调性(同增异减) ,同时 把握好对数函数的定义域,属于中档题.
2 2



7. (5 分) (2014 秋?泉州期末)已知函数 f(x﹣1)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞) 上是增函数,则函数 f(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据函数的图象的平移即可得到 【解答】解:∵函数 f(x﹣1)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数, ∴函数 f(x﹣1)在(﹣∞,0)上是增函数, ∵函数 f(x)的图象,是由函数 f(x﹣1)的图象像左平移一个单位得到, ∴选项 B 符合 故选:B 【点评】本题考查了函数的图象的识别,关键是掌握图象的平移变化,属于基础题 8. (5 分) (2014?扶沟县校级模拟)已知函数 f(x)=e ﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y= x 垂直的切线,则实数 m 的取值范围是( A.m≤2 B.m>2 C.m≤ D.m>
x x



【分析】求导函数,利用曲线 C 存在与直线 y= x 垂直的切线,可得 f′(x)=e ﹣m=﹣2 成立,即可确定实数 m 的取值范围. 【解答】解:∵f(x)=e ﹣mx+1, x ∴f′(x)=e ﹣m, ∵曲线 C 存在与直线 y= x 垂直的切线, ∴f′(x)=e ﹣m=﹣2 成立, x ∴m=2+e >2, 故选 B. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,正确等价 转化是关键.
x x

9. (5 分) (2011?广州模拟)已知函数

,若 f(1)=f(﹣1) ,则实数 a

的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】由分段函数 f(x) ,我们易求出 f(1) ,f(﹣1)的值,进而将式子 f(1)=f(﹣1) 转化为一个关于 a 的方程,结合指数的函数的值域,及分段函数的解析式,解方程即可得到 实数 a 的值.

【解答】解:∵函数



∴f(﹣1)=2,f(1)=a, 若 f(1)=f(﹣1) , ∴a=2, 故选 B. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的函数值,及指数函数的综合应用,其中根据分段函 数及指数函数的性质,构造关于 a 的方程是解答本题的关键.

10. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足

≥0,

则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)>2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 【分析】对 x 分段讨论,解不等式求出 f′(x)的符号,判断出 f(x)的单调性,利用函数 的单调性比较出函数值 f(0) ,f(2)与 f(1)的大小关系,利用不等式的性质得到选项即 可. 【解答】解:∵ ≥0,

∴x≥1 时,f′(x)<0;x≤1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(1,+∞)为减函数,在(﹣∞,1)上为增函数, ∴f(x)max=f(1) , ∴f(1)>f(0) f(1)>f(2) ∴f(0)+f(2)<2f(1) , 故选:A. 【点评】利用导函数的符号能判断函数的单调性,当导函数大于 0 则函数递增;当导函数小 于 0 则函数单调递减. 11. (5 分) (2016 春?福州校级期末)已知 f(x) 是定义在 R 上且以 2 为周期的偶函数, 2 当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,如果直线 y=x+a 与曲线 y=f(x) 恰有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2k,2k+ ](k∈Z) B. (2k﹣ ,2k) (k∈Z) C. (2k﹣ ,2k) (k∈Z) D. (2k, 2k+ ) (k∈Z) 【分析】根据函数的奇偶性先求出在一个周期[﹣1,1]内的表达式,作出函数 f(x)与直 线 y=x+a 的图象, 根据两个函数恰好有 3 个不同的交点, 利用数形结合建立不等式关系进行 求解. 2 【解答】解:∵f(x) 是定义在 R 上且以 2 为周期的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x , 2 2 ∴若﹣1≤x≤0,则 0≤﹣x≤1,则 f(﹣x)=(﹣x) =x =f(x) , 2 即﹣1≤x≤1 时,f(x)=x , 2 ∴x∈[2k﹣1,2k+1],f(x)=(x﹣2k) 其图象如图所示

由于直线 y=x+a 的斜率为 1,在 y 轴上的截距等于 a,在一个周期[﹣1,1]上, a=0 时直线 y=x 经过点 A(1,1)时,直线与曲线只有 2 个交点, 当直线 y=x+a 与 y=x ,在(0,1)内相切时, 有两个交点, 2 2 此时 x =x+a,即 x ﹣x﹣a=0, 判别式△=1+4a=0,得 a=﹣ 时, 则在一个周期[﹣1,1]内,要使两个函数有 3 个交点,在满足﹣ <a<0, 由于函数的周期是 2k, ∴在定义域内,满足条件的 a 应是(2k﹣ ,2k) ,k∈Z. 故选:B.
2

【点评】本题主要考查根的个数的应用,考查了函数的周期性、奇偶性、根的存在性及根的 个数判断,利用数形结合是解决本题的关键.体现了数形结合思想的应用. 12. (5 分) (2011?辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)> 2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A. (﹣1,1) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣l) D. (﹣∞,+∞) 【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后,设左边的式子为 F(x)构成一个函数,把 x=﹣1 代入 F(x)中,由 f(﹣1)=2 出 F(﹣1)的值,然后求出 F(x)的导函数,根据 f′ (x)>2,得到导函数大于 0 即得到 F(x)在 R 上为增函数,根据函数的增减性即可得到 F(x)大于 0 的解集,进而得到所求不等式的解集. 【解答】解:设 F(x)=f(x)﹣(2x+4) , 则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0, 又对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 F′(x)=f′(x)﹣2>0, 即 F(x)在 R 上单调递增, 则 F(x)>0 的解集为(﹣1,+∞) , 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) . 故选 B 【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集,是一道中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上.

13. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)幂函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)

2

在(0,+∞)

上为减函数,则 m= ﹣1 . 【分析】根据幂函数的定义列出方程求出 m 的值;将 m 的值代入 f(x)检验函数的单调性. 2 【解答】解:知 m ﹣m﹣1=1,则 m=2 或 m=﹣1. 3 当 m=2 时,f(x)=x 在(0,+∞)上为增函数,不合题意,舍去; ﹣3 当 m=﹣1 时,f(x)=x 在(0,+∞)上为减函数,满足要求. 故答案为﹣1 α 【点评】本题考查幂函数的定义:形如 y=x 的函数是幂函数;考查幂函数的单调性与 α 的 正负有关. 14. (5 分) (2016?衡水校级模拟)已知函数 f(x)=2x ﹣xf′(2) ,则函数 f(x)的图象在 点(2,f(2) )处的切线方程是 4x﹣y﹣8=0 . 【分析】求导函数,确定切点处的斜率与切点的坐标,即可求得函数 f(x)的图象在点(2, f(2) )处的切线方程. 2 【解答】解:∵函数 f(x)=2x ﹣xf′(2) , ∴f′(x)=4x﹣f′(2) , ∴f′(2)=8﹣f′(2) , ∴f′(2)=4 ∴f(2)=8﹣2×4=0 ∴函数 f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线方程是 y﹣0=4(x﹣2) 即 4x﹣y﹣8=0 故答案为:4x﹣y﹣8=0 【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,确定切点处的斜率与切点的坐标 是关键. 15. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)知函数 f(x)=x ﹣12x+8 在区间[﹣3,3]上的最大值 与最小值分别为 M,m,则 M+m= 16 . 【分析】 先求导函数, 研究出函数在区间[﹣3, 3]上的单调性, 从而确定出函数最值的位置, 求出函数的最值,即可求 M+m. 【解答】解:∵函数 f(x)=x ﹣12x+8 2 ∴f′(x)=3x ﹣12 令 f′(x)>0,解得 x>2 或 x<﹣2;令 f′(x)<0,解得﹣2<x<2 故函数在[﹣2,2]上是减函数,在[﹣3,﹣2],[2,3]上是增函数, 所以函数在 x=2 时取到最小值 f(2)=8﹣24+8=﹣8,在 x=﹣2 时取到最大值 f(﹣2)=﹣ 8+24+8=24 即 M=24,m=﹣8 ∴M+m=16. 故答案为:16. 【点评】本题重点考查导数知识的运用,考查函数的最值、单调性,解答本题关键是研究出 函数的单调性,利用函数的单调性确定出函数的最值. 16. (5 分) (2016 春?泉州校级期末)设函数 f(x) 、g(x)的定义域分别为 DJ、DE,且 DJ ? DE,若对于任意 x∈DJ,都有 g(x)=f(x) ,则称 g(x)函数为 f(x)在 DE 上的一个
3 3 2

延拓函数.设 f(x)=e (x﹣1) (x>0) ,g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,且 g (x)是奇函数.给出以下命题: ①当 x<0 时,g(x)=e (1﹣x) ; ②函数 g(x)有 3 个零点; ③g(x)>0 的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞) ; ④? x1,x2∈R,都有|g(x1)﹣g(x2)|<2. 其中所有正确命题的序号是 ②③④ . 【分析】设 x<0,则﹣x>0,由函数得性质可得解析式,可判①的真假,再由性质作出图 象可对其他命题作出判断 【解答】解:由题意得,x>0 时,g(x)=f(x)=e (x﹣1) , x x 当 x<0 时,则﹣x>0,g(﹣x)=f(﹣x)=e (﹣x﹣1)=﹣g(x) ,所以 g(x)=e (x+1) , 故①不正确; 对 x<0 时的解析式求导数可得,g′(x)=e (x+2) ,令其等于 0,解得 x=﹣2, 且当 x∈(﹣∞,﹣2)上导数小于 0,函数单调递减; 当 x∈(﹣2,+∞)上导数大于 0,函数单调递增, x=﹣2 处为极小值点,且 g(﹣2)>﹣1,且在 x=1 处函数值为 0,且当 x<﹣1 是函数值为 负. 又因为奇函数的图象关于原点中心对称,故函数 f(x)的图象应如图所示: 由图象可知:函数 f(x)有 3 个零点,故②③正确; 由于函数﹣1<g(x)<1,故有对? x1,x2∈R,|g(x2)﹣g(x1)|<2 恒成立, 即④正确. 故答案为:②③④.
x
﹣x ﹣x

﹣x

【点评】本题是个新定义题,主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法,在解题时注意 对于新定义的理解,是个中档题.作出函数的图象是解决问题的 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (12 分) (2016 春?福州校级期末)已知 α∈(



) ,sinα+cosα= ,求

的值.

【分析】由已知等式两边平方,可求 2sinαcosα 的值,结合 α 的范围,进而可求 sinα﹣cosα 的值,联立可求 sinα 的值,利用诱导公式化简所求即可计算得解. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解:∵sinα+cosα= , ∴(sinα+cosα) =1+2sinαcosα= ∴2sinαcosα=
2

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分)

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)
2

∴(sinα﹣cosα) =1﹣2sinαcosα=1﹣ 又 α∈( , ) ,

=

.﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

∴sinα﹣cosα= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴sinα= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)



=

=﹣

sinα=﹣ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 【点评】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式, 诱导公式在三角函数化简求值中的应用, 考查了转化思想的应用,属于基础题. 18. (12 分) (2016 春?福州校级期末)设有如下两个命题: 2 2 ①:关于 x 的不等式 x +(a﹣1)x+a >0 的解集是 R; 3 ②:函数 f(x)=x +4ax﹣2 在(1,+∞)上是增函数. 已知“命题①或命题②”为真命题,求实数 a 的取值范围. 【分析】根据条件先求出①②都为真命题时的等价条件,然后根据复合命题真假之间的关 系先求出①和②都为假命题的范围,即可得到结论. 2 2 【解答】解:∵关于 x 的不等式 x +(a﹣1)x+a >0 的解集是 R, 2 2 2 ∴△<0,即(a﹣1) ﹣4a =﹣3a ﹣2a+1<0, 即 3a +2a﹣1>0,得 a> 或 a<﹣1, 从而①为假时﹣1≤a≤ ,
2

∵函数 f(x)=x +4ax﹣2 在(1,+∞)上是增函数 ∴f′(x)=3x +4a≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 a≥﹣ x , ∵﹣ x <﹣ , 故 a≥﹣ , 从而②为假时 a<﹣ ,
2 2 2

3

∴①和②都为假命题时:

,即﹣1≤a<﹣ ,

∴“命题①或命题②”为真命题:a<﹣1 或 a≥﹣ . 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断和应用,根据条件求出①和②都为假命题 的范围是解决本题的关键.

19. (12 分) (2016 春?福州校级期末)设 a、b∈R,且 a≠1,若奇函数 f(x)=lg 区间(﹣b,b)上有定义. (1)求 a 的值; (2)求 b 的取值范围;? (3)求解不等式 f(x)>0. 【分析】 (1) 根据 f (x) 为奇函数便可得出 ﹣x ,从而有 a =1,再根据 a≠1 即可得出 a 的值; (2)求出 a 便得出 (3)由 f(x)>0 即可得出 可得出原不等式的解集. 【解答】解: (1)f(x)为奇函数; ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 即 ,整理得:1﹣a x =1﹣x ;
2 2 2 2 2



, 这样便可得出 1﹣a x =1

2 2

,从而可求出该函数的定义域,进而求出 b 的取值范围; ,这样便可建立关于 x 的不等式,解不等式即

;?

∴a=±1; 又 a≠1,故 a=﹣1; (2)f(x)=lg 的定义域是(﹣1,1) ;

∴0<b≤1; ∴b 的取值范围为(0,1];

(3)f(x)= ∴ ;



解得﹣1<x<0; ∴原不等式的解集为(﹣1,0) . 【点评】考查奇函数的定义,多项式相等的充要条件,对数的真数满足大于 0,以及对数函 数的单调性,分式不等式的解法. 20. (12 分) (2008?佛山二模)某物流公司购买了一块长 AM=30 米、宽 AN=20 米的矩形地 块,规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路或停车场,要求顶点 C 在地 块对角线 MN 上,顶点 B,D 分别在边 AM,AN 上,设 AB 长度为 x 米. (1)要使仓库占地面积不小于 144 平方米,求 x 的取值范围; (2)若规划建设的仓库是高度与 AB 的长度相等的长方体建筑,问 AB 的长度是多少时, 仓库的库容量最大?(墙地及楼板所占空间忽略不计)

【分析】 (1)首先利用三角形的相似性,求得边 AD 与边 AB 的长度关系,建立三角形面积 函数模型,再由 S≥144,得出边 AB 的长度范围; (2)先确定仓库的库容量,再利用基本不等式,即可求最值. 【解答】解: (1)由题意, ,∴ ( 2 分)

∴SABCD=AB?AD=x(20﹣ x) ( 4 分) ∵仓库占地面积不小于 144 平方米, ∴x(20﹣ x)≥144 ∴12≤x≤18( 6 分) (2)由题意, = ≤

9? 当且仅当

=

, (立方米) (12 分)

,即 x=20(米)时,V 最大为

【点评】 本题考查函数模型的确立, 考查利用数学知识解决实际问题, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 21. (12 分) (2016 春?福州校级期末)已知函数 f(x)=a(x﹣1) (e ﹣a) , (常数 a∈R 且 a≠0) . (Ⅰ)若函 f(x)在(0,f(0) )处的切线与直线 y=﹣4x+1 平行,求 a 的值;
x

(Ⅱ)若对任意 x∈[1,+∞)都有 f(x)≥x ﹣x,求 a 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件,解方程可得 a 的值; x x (Ⅱ)由题意可得 a(e ﹣a)≥x 在 x∈(1,+∞)上恒成立,令 g(x)=a(e ﹣a)﹣x, 求出导数,对 a 讨论,a<0,a>0,求得单调区间和极值、最值,解不等式即可得到所求范 围. 【解答】解: (Ⅰ)依题意,f′(x)=a(xe ﹣a) , ∵f(x)在(0,f(0) )处切线与直线 y=﹣4x+1, 2 ∴f′(0)=﹣a =﹣4,解得:a=±2. 2 (Ⅱ)依题意,“对任意 x∈[1,+∞) ,f(x)≥x ﹣x” x 等价于“a(e ﹣a)≥x 在 x∈(1,+∞)上恒成立”. x x 令 g(x)=a(e ﹣a)﹣x,则 g'(x)=ae ﹣1. x (1)当 a<0 时,g'(x)<0,g(x)=a(e ﹣a)﹣x 在 x∈[1,+∞)上单调递减, 2 又 g(1)=a(e﹣a)﹣1=ea﹣a ﹣1<0,不合题意,舍去. (2)当 a>0 时,g'(x)=ae ﹣1=0 得 x=ln , (﹣∞,ln ) g'(x) g(x) ﹣ 单调递减
x x x

2

(ln ,+∞) + 单调递增

①当 ln ≤1,即 a≥ 时,g(x)=a(e ﹣a)﹣x 在 x∈[1,+∞)上单调递增, 得 g(x)min=g(1) , x 由 a(e ﹣a)﹣x≥0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,得 g(1)≥0, 即 ≤a≤ ,

又 a≥ ,得

≤a≤



②当 ln >1,即 0<a< 时,由上表可知 g(x)min=g(ln ) , 由 a(e ﹣a)﹣x≥0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,得 g(ln )≥0,即 1+lna﹣a ≥0.
2 x 2

令 h(a)=1+lna﹣a ,则 h(a)= ﹣2a= 由 h(a)=0 得 a= (0, h'(a) h(a) + 单调递增 或﹣ ) (舍去) ,





,+∞)

﹣ 单调递减

由上表可知 h(a)=1+lna﹣a 在 0<a< 上单调递增, 则 h(a)<h( )=﹣ <0,故不等式 h(a)=1+lna﹣a ≥0 无解.
2

2

综上所述,

≤a≤



【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、最值,考查不等式恒成立问题的 解法,注意运用分类讨论的思想方法,考查化简整理的运算能力,属于中档题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?宁德模拟)如图,已知⊙A 和⊙B 的公共弦 CD 与 AB 相交于点 E,CB 与⊙A 相切,⊙B 半径为 2,AE=3. (Ⅰ)求弦 CD 的长; (Ⅱ)⊙B 与线段 AB 相交于点 F,延长 CF 与⊙A 相交于点 G,求 CG 的长.

【分析】 (Ⅰ)连结 CA,由圆的切线的性质、对称性,根据射影定理求出 BE,再根据勾股 定理,继而得出弦 CD 的长; (Ⅱ)在△CEF 中,求出 EF,CF 的长,根据勾股定理求出 AC,设⊙A 与直线 AB 相交于 M,N 两点,分别求出 AF,MF,NF,根据相交弦定理求得 CF?FG,得出 FG,继而求得 CG 的值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:连结 CA,则 CA⊥CB, ∵由圆的对称性知 CD⊥AB, ∴由射影定理得:BC =BE?BA=BE?(BE+EA) , 2 ∴2 =BE?(BE+3) ,∴BE=1; ∴在 Rt△BEC 中, ∴ . (Ⅱ)在△CEF 中, ∴CF=2, 在△ACE 中, ,
2

,EF=BF﹣BE=1, .

设⊙A 与直线 AB 相交于 M,N 两点, AF=AE﹣EF=3﹣1=2, ∵由相交弦定理得 CF?FG=FM?NF=(2 ∴FG=4, ∴CG=4+2=6. , +2)?(2 ﹣2)=8,

【点评】本小题主要考查射影定理、相交弦定理、圆的切线的性质等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等,属于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?揭阳校级模拟)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数,t∈R) ,以坐

标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,θ ∈[0,2π) . (Ⅰ)求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D,使它到直线 l 的距离最短. 【分析】 (Ⅰ)由曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,θ∈[0,2π) ,即 ρ =2ρsinθ.把 ρ =x +y , 代入可得 C 的直角坐标方程.由直线 l 的参数方程为 去 t 得直线 l 的普通方程. (Ⅱ)由曲线 C:x +(y﹣1) =1 是以 G(0,1)为圆心,1 为半径的圆,点 D 在曲线 C 上,可设点 D(cosφ,1+sinφ) (φ∈[0,2π) ) ,利用点到直线的距离公式即可得出点 D 到 直线 l 的距离 d 及其最小值. 【解答】解: (Ⅰ)由曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,θ∈[0,2π) ,即 ρ =2ρsinθ. 2 2 2 2 ∴曲线 C 的普通方程为 x +y ﹣2y=0,配方为 x +(y﹣1) =1, ∵直线 l 的参数方程为 (t 为参数,t∈R) ,
2 2 2 2 2 2 2

(t 为参数,t∈R) ,消

消去 t 得直线 l 的普通方程为 x+y﹣5=0. 2 2 (Ⅱ)∵曲线 C:x +(y﹣1) =1 是以 G(0,1)为圆心,1 为半径的圆, ∵点 D 在曲线 C 上,∴可设点 D(cosφ,1+sinφ) (φ∈[0,2π) ) , ∴点 D 到直线 l 的距离为 d= ∵φ∈[0,2π) ,当 φ= 此时 D 点的坐标为 时,dmin=1, . =2﹣sin(φ+ ) ,

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距 离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?宁德模拟)已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣a|(a>0) .

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≤x 的解集; (Ⅱ)当 x≤﹣ 时,不等式 f(x)+t +2t+3≥0 对任意 t∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)将 a=1 代入 f(x) ,通过讨论 x 的范围,求出不等式的解集即可; (2)求出 f (x)的最小值,根据函数恒成立求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)≤x 化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x,…(1 分) 当 当 ,不等式化为 2x+2≥0,解得 ,不等式化为 2x≤0,解得 ;…(2 分) ; …(3 分)
2

当 x≥1,不等式化为 2≤0,无解;…(4 分) 所以 f(x)≤x 解集为{x|﹣1≤x≤0}. …(5 分) (2)∵当 ∴
2 2

时 f(x)=﹣2x﹣1﹣(a﹣x)=﹣x﹣a﹣1, . …(6 分)

∵t +2t+3=(t+1) +2≥2,…(7 分) 要使当 则当 ∴ ∴ 时 f(x)+t +2t+3≥0 对任意 t∈R 恒成立, 时 f(x)+2≥0 恒成立,…(9 分) ,又由已知 a>0 . …(10 分)
2

【点评】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证 能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等.


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