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北京市顺义牛栏山第一中学高三月考考试

a 1.已知集合 M ? 3 , 2 , N ? ?a , b? ,若 M ? N ? ?2? ,则 M ? N ?

?

?

A. ?1, 2, 3? 2. 下列说法错误 的是 ..

B. ?0, 2, 3?

C. ?0,1, 2?

D. ?0,1, 3? ( )

A.如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 ; B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ; C.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; D.“ sin ? ?

1 ”是“ ? ? 30? ”的充分不必要条件 . 2

3. 已知复数 z ? 1 ? i, 则 A.

4 3 ? i 5 5

1? z ? 1? z2 4 3 B. ? i 5 5

( C. i D. ?i

)

4 . 点 O 是 ?ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 , 且 满 足 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 则 点 O 是 ?ABC 的 ( ) A.三条内角平分线交点(即内心) C.三条高线交点(即垂心) 5. 函数 f ( x) ? B.三边的垂直平分线交 点(即外心) D.三条中线交点(即重心) ( )

?

x

0

(t 2 ? 4t )dt在[?1,5] 上的最大和最小值情况是
B.有最大值 0 和最小值-

A.有最大值 0,但无最小值 C.有最小值-

32 3

32 ,但无最大值 D.既无最大值又无最小值 3 6. 已知函数 f ( x) ?| log 2 x | ,则下列不等式成立 的是( ) ..
1 1 A. f (2) ? f ( ) ? f ( ) 3 4 C. f ( 1 ) ? f (2) ? f ( 1 ) 3 4
7. 若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ? A.10 B.0
1 1 B. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 4 3 1 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 4 3

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)相切,则实数 m 的值是( ? y ? ?2 ? sin ?
C.10 或 0 D.10 或 1

).

8.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (0) ? 0, f (x ) ? f (1? x ) ? 1, f ( )?

x 3

1 f ( x ),且当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,有 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (
A.

1 ) 的值为 2010
B.

( C.

) D.

1 256

1 128

1 64

1 32
O B N M

A

9.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 3n ? 1 ,则该数列的通项 an =____________; 10.与直线 3x-4y+1=0 平行且距离为 2 的直线方程为 _________;
D

C

11. 如图, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点 A,且 AC ? 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延长线于点 D,CM=MN=ND.则 AD 的长等于

cm ;

12. 当 x ?

3 8 时,函数 y ? x ? 的最大值是___________ 2 2x ? 3

13.关于函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

3

) x ? R ,有下列命题:

① 把函数 f ( x) 的图象向右平移 ② 函数 f ( x) 的图象关于点 (

?
6

? 个单位后,可得 y ? cos 2 x 的图象; 12
5? 对称; 12

,0) 对称;

③ 函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? ?

④ 把函数 f ( x) 的图象上每个点的横坐标缩小到原来的 题序号为 ;

1 ? ,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象,其中正确的命 6 2

1 a 14. 设函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? (2 ? b) x ? 2 有两个极值点,其中一个在区间 (0,1) 内,另一个在区间 (1, 2) 内,则 3 2 b?5 的取值范围是 a?4
15.已知函数 (1)求 的最小正周期; (2)若 ,求 的最大值,最小值. .

16.已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 50 ,求: (1)交点 A、B 的坐标; (2) ?AOB 的面积.

17. 在 ?ABC 中 , 设 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 向 量 m ? ( c oA s, sin A) , 向 量

n ? ( 2 ?s i n A, cos A) ,若 | m ? n |? 2 .
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 ,且 c ?

2a ,求 ?ABC 的面积.

18.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ? ) . (1)证明:数列 {an?1 ? an } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)若数列 {bn } 的首项 b1 ? 1 ,且满足 4
nbn ?1

? (an ? 1) 2bn (n ? N ? ) , 求数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .

19.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,在曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ; (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f ( x) 在 ?? 3,1? 上的最大值; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增,求 b 的取值范围。

20.已知函数 y ? f ( x), x ? N , f ( x) ? N ,满足:对任意 x1 , x2 ? N , x1 ? x2 , 都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 )
(1)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (2) ?n ? N ,且 f (0) ? 1 ,求证: f (n) ? n ? 1 ; (3)对任意 m, n ? N ,有 f (n ? f (m)) ? f (n) ? 1 ? m ,证明:

? f (3
i ?1

n

1
i

? 1)

?

1 . 2

1-8:ACAC BACB 9. an ? ? 12. ?

?0, (n ? 1) ; ?4n ? 5, (n ? 1)

10. 3x ? 4 y ? 11 ? 0, 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ;

11. 2 7 cm;

5 ; 2

13.③;

14.(1,5)

15.已知函数 (I)求 的最小正周期;

(II)若

,求

的最大值,最小值.

解: f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x

? ? cos 2 x ? sin 2 x ?? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x

?? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ----------------------------------------------------------------------6 分 4? ?
(I) (II) 的最小正周期为 ----------------------------------------8 分

??

?
4

? 2x ?

?

3 ? ? 4 4

??

2 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ----------------------------------10 分 2 4? ?

?? ? 分 ?? 2 ? ? 2 s i?n x ? 2 ? ? ----------------------------------------------------------------12 1 4? ?
的最大值为 1,最小值为 -------------------------------------------------------13 分

16.已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 50 ,求: (1)交点 A、B 的坐标; (2) ?AOB 的面积. 解: (1)A(7,1) B(-5,-5) (2)S = 15

17 、 在 ?A B C 中 , 设 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 向 量 m ? ( c o A s, sin A) , 向 量

n ? ( 2 ?s i n A, cos A) ,若 | m ? n |? 2 .
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 ,且 c ?

2a ,求 ?ABC 的面积.

解: (1) | m ? n |2 ? (cosA ? 2 ? sin A) 2 ? (sin A ? cos A) 2

? 4 ? 2 2 (cos A ? sin A)

? 4 ? 4 cos(
?4

?
4

? A)

? cos(

?
4

? A) ? 0 ?

? A ? (0, ? )

?
4

?A?
2

?
2
2

,A ?
2

?
4

(2)由余弦定理知: a ? b ? c ? 2bc cos A 即 a ? (4 2 ) ? ( 2a ) ? 2 ? 4 2 ? 2a cos
2 2 2

?
4

解得 a ? 4 2

?c ? 8

? S ?ABC ?

1 2 ? 4 2 ?8? ? 16 . 2 2

18.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ? ) . (I)证明:数列 {an?1 ? an } 是等比数列; (II)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若数列 {bn } 的首项 b1 ? 1 ,且满足 4 (I)证明:
bn ?1

? (an ? 1) 2bn (n ? N ? ) , 求数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .

? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,
??????????????? 2分

?an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an )

? a1 ? 1, a2 ? 3
? a2 ? a1 ? 2 ? 0

??an?1 ? an ?

是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. ????????? 4 分

(II)解:由(I)得

an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

???????????? ????????

5分 7分 9分

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2n ? 1
(III)因为 4
bn ?1

????????????

? (an ? 1) 2bn (n ? N ? ) ,
?????????? ?????????? 10 分 11 分

且由(II)知, bn?1 ? bn 所以 {bn } 是首项为 1 的常数数列 所以 Sn ? n(n ? N ? )

?????????????????? 13 分

19.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 ; (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f ( x) 在 ?? 3,1? 上的最大值; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增,求 b 的取值范围。 19、分值安排(5,5,4) 解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 求导数得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 过 y ? f ( x) 上点

P(1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1),即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1) ,
而过 y ? f ( x) 上点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1



?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0 即? ? ? c?a ?3 ? c?a ?3

① ② ③

? y ? f ( x) 在 x=-2 时有极值,故 f ?( ?2) =0 ??4a ? b ? ?12

由①②③式联立解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5 ,? f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 (2) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 4 x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2)

x
f ?( x) f ( x)

[?3 ? 2)
+ ↗

-2 0 极大

2 ( ?2, ) 3
— ↘

2 3
0 极小

2 ( ,1] 3
+ ↗

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2)3 ? 2(?2)2 ? 4(?2) ? 5 ? 13 ,
f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4 ,? f ( x ) 在[-3,1]上最大值为 13。
2 (3) y ? f ( x) 在区间 [-2,1]上单调递增,又 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,

由(1)知 2a ? b ? 0 ,? f ?( x) ? 3x ? bx ? b
2 2 依题意 f ?( x) 在[-2,1]上恒有 f ?( x) ? 0,即3x ? bx ? b ? 0 在[-2,1]上恒成立。

b ? 1 时, f ?( x)小 ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 ,? b ? 6 6 b ② 当 x ? ? ?2 时, f ?( x)小 ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ,? b ?? 6
① 当x ? ③当 ?2 ?

b 12b ? b2 ? 1 时, f ?( x )小 ? ? 0 ,∴0≤b≤6 6 12

综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是:b≥0。

20. 已知函数 y ? f ( x), x ? N , f ( x) ? N ,满足:对任意 x1 , x2 ? N , x1 ? x2 , 都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ; (1)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (2) ?n ? N ,且 f (0) ? 1 ,求证: f (n) ? n ? 1 ;
(3)对任意 m, n ? N ,有 f (n ? f (m)) ? f (n) ? 1 ,证明: ?
i ?1
*
*

n

1 1 ? . i f (3 ? 1) 4
----- 3 分

证明: (1)由①知,对任意 a, b ? N , a ? b ,都有 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 , 由于 a ? b ? 0 ,从而 f (a) ? f (b) ,所以函数 f ( x) 为 N 上的单调增函数. (2)由(1)可知 ?n ? N 都有 f(n+1)>f(n),则有 f(n+1) ? f(n)+1----- 5 分

? f(n+1)-f(n) ? 1 , ? f(n)-f(n-1) ? 1 ??? ? f(2)-f(1) ? 1 ? f(1)-f(0) ? 1 由此可得 f(n)-f(0) ? n ? f(n) ? n+1 命题得证---------------------------------------------------------8 分
(3)令 m=0,可得出 f(0)=1-------------------------------------------------------------10 分 则 f(n+1)=f(n)+1,则 f(n)=n+1---------------------------------------------------12 分
n

?
i ?1

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ? 3 3 ? (1 ? n ) ? --------14 分 i 1 2 3 2 f (3 ? 1) 3 3 3 1? 3


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