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证明不等式的若干方法


宁夏师范学院 2014 届本科生毕业论文

本科生毕业论文

证明不等式的若干方法

院 专 班 学 姓

系: 业:

数学与计算机科学学院 数学与应用数学

级: 2010 级数学与应用数学(2)班 号: 名: 201004110229 马兰花 张 慧 2014 年 5 月 24 日

指导教师: 完成时间:

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证明不等式的若干方法

摘 要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容,而不等式的证明
是不等式知识的重要组成部分。不等式的证明方法灵活多样,技巧性和综合性较强,每种 方法具有一定的使用性,并有一定的规律可循。在本文中,综述了证明不等式的若干方法, 在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、 反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等,在高等数学不等式的证明中 经常利用中值定理泰勒公式朗格朗日函数、以及一些著名不等式,如:均值不等式、柯西 不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等,从而使不等式的证明方法更加的完善,有利于 进一步的探讨和研究不等式的证明。可以帮助初中生更好的、更简便的证明不等式,并且 能解决生活中的实际问题,还能更好的培养初中生的逻辑推理、论证能力和抽象思维的能 力以及养成勤于思考、善于思考的良好的学习习惯。

关键词 不等式 证明 常用方法 函数 著名不等式

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Abstract In elementary mathematics and advanced mathematics, inequality is very important content, inequality and the proof is an important part of knowledge. Inequality proof method is flexible, strong technical and comprehensive, each method has certain usability, and there are certain rules to follow. In this article, several methods to prove inequation are reviewed in this paper, is often used in elementary mathematics inequality proof of comparative law, commercial law, analysis, synthesis, mathematical induction, reduction to absurdity, zooming method, substitution method and discriminant method, function method, geometric method, etc., in the higher mathematics inequality analyst often use lundgren value theorem, Taylor formula, function, as well as some famous inequalities, such as: average inequality, cauchy inequality, inequality Jason, held, etc., so that the inequality proof method more perfect, is helpful for our further discussion and study of inequality proof. Can help the junior middle school students better, more easy to prove inequality, and can solve the practical problems in life, also can better cultivate junior middle school students logical reasoning, reasoning ability and abstract thinking ability, and develop thinking, thinking the good study habits. Keyword inequation prove common mathod function famous inequatities

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目 录

1 引言 ...................................................................... 1 2 证明不等式的常用方法 ...................................................... 2 2.1 比较法 ...............................................................2 2.1.1 作差法 .........................................................2 2.1.2 作商法 .........................................................2 2.2 分析法 ...............................................................3 2.3 综合法 ...............................................................3 2.4 反证法 ...............................................................4 2.5 放缩法 ...............................................................4 2.5.1 去掉式子中的某些项 .............................................5 2.5.2 应用常用不等式 .................................................5 2.5.3 适当放大或缩小某些项 ...........................................6 2.6 数学归纳法 ...........................................................6 2.7 换元法 ...............................................................7 2.7.1 增量换元法 .....................................................7 2.7.2 三角换元法 .....................................................7 2.7.3 比值换元法 .....................................................8 2.8 标准化法 .............................................................8 2.9 等式法 ...............................................................9 2.10 分解法 ..............................................................9 2.11 构造法 .............................................................10 2.11.1 构造对偶式模型 ...............................................10 2.11.2 构造函数模型 .................................................10 2.11.3 构造二次函数模型 .............................................11 2.12 排序不等式定理 .....................................................11 2.13 借助几何法 .........................................................11 3 利用函数证明不等式 ....................................................... 12 3.1 利用极值法 ..........................................................12 3.2 利用单调函数 ........................................................13 3.3 利用中值定理 ........................................................13 3.4 利用拉格朗日定理 ....................................................14
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4 利用著名不等式 ........................................................... 15 4.1 利用均值不等式证明 ..................................................15 4.2 利用柯西-施瓦茨不等式 ...............................................15 4.3 利用赫尔德不等式 ....................................................16 4.4 利用詹森不等式 ......................................................16 5 结 论 .................................................................... 17 参考文献 ................................................................... 20 谢 辞 ...................................................................... 21

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1 引言
在数学的学习过程中,不等式证明是一个非常重要的内容,这些内容在初等数学和高 等数学中都有很好的体现在数量关系上,虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现 实的世界里,但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到 17 世纪以后,不等式的 理论才逐渐发展起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分,在研究数学的不等式过程 中,有许多的内容都十分的有用,如:不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中,就不一一说明了,而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不 等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习,我们可 以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野,深化一下我们对不等式证 明方法的认识,以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式。

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2 证明不等式的常用方法 2.1 比较法
比较法[5],顾名思义,本法就是比较不等式两边式子的大小,在进行比较时,可以有两种 作法:作差法和作商法。 2.1.1 作差法 从两式的差是正数还是负数来决定它们的大小 , 其理论根据就是 : 若 a ? b ? 0 , 则
a ? b ;若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 。此外,还要特别注意对任何实数,其平方后必不小于零。在运

用本法证不等式时,常常求不等式两端的差,所以这种方法通常也称为求差法。 例 1 求证:对任何实数 a, b, c 成立下述不等式
ab ? bc ? ac ? a 2 ? b2 ? c2

证明: 利用比较大小的办法,我们求不等式两边式子之差 因为

a2 ? b2 ? c2 ? (ab ? bc ? ac)
1 2 (a ? b 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? a 2 ? c 2 ? 2ac) 2 1 ? [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ? 0 2 ?

所以

ab ? bc ? ac ? a 2 ? b2 ? c2

2.1.2 作商法 作商法就是观察两式的比值是大于 1 还是小于 1,即若 a ? 0 , b ? 0 则当
a a ? 1 时,有 a ? b ;而当 ? 1 时,有 a ? b 。 b b
a ?b 2

例 2 设 a, b ? R ? ,求证: a a b b ? ?ab ?

.

(由于要比较的两式成幂的结构,故结合函数的单调性,故可采用作商比较法来证 明.) 证明:作商得:
?a? 当 a ? b 时, ? ? ?b?

a a bb

?ab?
a ?b 2

a ?b 2

?a

a ?b 2

?b

b?a 2

?a? ?? ? ?b?

a ?b 2

,又由指数函数的性质
a ?b 2

a a ?b ?a? ? 1 ;当 a ? b ? 0 时, ? 1 , ? 0,? ? b 2 ?b?

?1.

2

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a ?b 2

a ?b a ?a? ? 0, ? ? 当 b ? a ? 0 时, 0 ? ? 1 , 2 b ?b?

? 1 .即 a a b b ? ?ab ?

a ?b 2

.

2.2 分析法
分析法也称逆推法,就是假定要求证的不等式是成立的,推测使它成立的条件,用恒等 变换和不等式的性质继续推测能使这些条件成立的条件 ,这样逐步递推下去, 最后得到一 个已知成立的不等式,并且推导过程的每一步又都是可逆的:即证明了原不等式是正确的。 对于比较复杂的不等式,往往运用这种方法进行思考,从而探索证题的途径。 例 1 已知 0 ? ? ? ? ,证明: 2sin 2? ? cot 证明: 若原不等式 2sin 2? ? cot

?
2

,并讨论当 ? 为何值时等号成立。

?
2

成立,则可写成
1+ cos ? sin ?

2sin 2? ?

由于 0 ? ? ? ? ,两端乘以正数 sin ? ,则问题化为证明
2sin ? sin 2? ? 1 ? cos ?



2sin ? sin 2? ? 4sin 2 ? co(1 ? cos ? )s ? ? 4(1 ? cos2 ? )cos ?
? 4(1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) cos ?

所以问题又化为证明不等式
(1 ? cos ? )[4(1 ? cos ? ) cos ? ? 1] ? 0



1 (1 ? cos ? )[?4(cos ? ? ) 2 ] ? 0 2

这个不等式的正确是显然的,故原不等式成立.
1 ? 因为 0 ? ? ? ? ,所以等号成立当且仅当 cos ? ? =0 ,解出 ? = 。 2 3

2.3 综合法
综合法就是利用以证明过的不等式和不等式的性质,推导所要证明的不等式成立。所 以 ,综合法是分析法的逆推 ,对于比较复杂的不等式 ,如从已知直接推出结果 ,往往不易成 功。因此,在证明题时通常是先用分析法去探索证题的途径,而用综合法叙述证明过程。一 般地,用综合法证明不等式,要先掌握一些常用的基本不等式。例如
b a a?b a 2 ? b 2 ? 2ab(a, b为实数), ? ? 2(a, b同号), ? ab (a, b为正实数)等等 a b 2

综合法的思路是“由因导果”法,从已知的不等式出发通过一系列的推出变换,推导
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出求证的不等式。综合法证明不等式的逻辑关系是: (已知 A)逐步推演不等式成立的必要 条件(结论 B) 。符号如下:

A ? B1 ? B2 ? ??? ? Bn ? B
1 ?2 x 1 证明: 因为 x ? 0 ,则 ? 0 x

例 x ? 0 ,证明: x ?

所以 所以

x?
x?

1 1 ? 2 x? ? 2 x x
1 ?2 x

2.4 反证法
简单地说,就是从求证结论的反面入手,即假定求证的不等式不成立。经过一番合乎逻 辑的推理,推出与已知条件或其他正确的定理、一命题或公式相矛盾的结论,从而否定开始 所作的假定,而断定求证的不等式成立。 例 已知 a, b, c, d ? R ,且 a ? b ? c ? d ? 1, ac ? bd ? 1 。求证: a, b, c, d 中至少有一个是负 数. 证明:假设 a, b, c, d 都是非负数, 因为 所以 又 所以
a ?b ? c ? d ?1

(a ? b)(c ? d ) ? 1 (a ? b)(c ? d ) ? ac ? bc ? ad ? bd ? ac ? bd
ac ? bd ? 1

这与已知 ac ? bd ? 1 矛盾. 所以 a, b, c, d 中至少有一个是负数. 注:对于某些问题,应用直接证法,过程繁杂或不易证明时,可考虑是否可用反证法。

2.5 放缩法
放缩法:为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正(负)项” 而使不等式各项之和变小(大) ,或“在分式中放大或缩小分式的分子分母” ,或“在乘积 式中用较大(较小)因式代替”等效法,而达到其证题目的。
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所谓放缩的技巧:即欲证 A ? B ,欲寻找一个(或多个)中间变量 C,使 A ? C ? B ,由 A 到 C 叫做“放” ,由 B 到 C 叫做“缩” 。 2.5.1 去掉式子中的某些项 为证明不等式的需要, 有时需舍去或添加一些代数项, 使不等式的一边放大或缩小, 利用不等式的传递性达到证题的目的。 例 1 在 ?ABC 中,求证: sin
A B c 1 sin sin ? 2 2 2 8

证明: 在 ?ABC 中,设 ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 因为
sin 2 A 1 ? cos A 1 b2 ? c 2 ? a 2 ? ? (1 ? ) 2 2 2 2bc 1 a 2 ? (b2 ? c 2 ) a2 ? [ ]? 2 2bc 4bc



sin

A A a ? 0,sin ? 2 2 2 bc B b c c ? ,sin ? 2 2 ac 2 2 ab A B c a ?b ?c 1 sin sin ? ? 2 2 2 2 bc ? 2 ac ? 2 ab 8

同理

sin

所以

sin

2.5.2 应用常用不等式
a 2 ? b 2 ? 2ab, a?b ? ab (a, b ? 0), k ? k (k ? 1) ? k ? 1 等基本不等式和常用不等式是放 2

缩的重要依据.下例则是运用根式有理化后的放缩, 探索 n 项相加问题的递推式,然后逐 项相消。 例 2 求证: lg 3 ? lg 33 ? 1 证明:因为 所以
ab ? ( a?b 2 ) 2

lg 3 ? lg 33 ? (

lg 3 ? lg 33 2 99 lg 99 2 ) ? ( )2 ? ( ) ?1 2 2 2

[因为 99<100(放大)] 所以
lg 3 ? lg 33 ? 1

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2.5.3 适当放大或缩小某些项
在 n 项求和不等式的证明中 , 运用放缩法要注意放缩得当 .例如下面这题 , 把各项 放大, 化成 n 个相同整数乘积的倒数, 再利用等比数列求和。 例 3 求证: 1+ 证明: 因为 1+
1 1 1 + + ??? + ?2 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ????? n

1 1 1 + + ??? + 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ????? n

? 1+

1 1 1 + + ??? + 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n

1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? )+ ??? +( ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 ? 2? ? 2 n

故原不等式成立。 注:1、放缩法的理论依据,是不等式的传递性,即若 A ? B, B ? C, C ? D, 则 A ? D 。2、 使用放缩法时, “放” 、 “缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形,一般 用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩” ,都是用于不等式证 明中局部放缩。 综上所述, 本节归纳了证明不等式的几种常用方法,以提高中学生对不等式的分析能 力.教师应该做到一方面重视不等式教学, 另一方面提高不等式的教学质量, 让学生懂得 在什么情况下用哪种方法. 不仅会做典型题, 也要会做一般题, 更会用解不等式的方法 解决实际问题, 这才是学数学的真正目的。

2.6 数学归纳法
设计自然数 n 通常用数学归纳法。
1 1 1 1 13 ? ? ? ??? ? ? ( n 为大于 1 的自然数)。 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24 1 1 7 ? ? 证明: (1)当 n ? 2 时, S2 ? 2 ? 1 2 ? 2 12 13 (2)当 n ? k 时, S k ? ; 24

例 求证:

下证当 n ? k ? 1 时,原不等式也成立: 因为
1 1 1 1 13 ? ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 24
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所以
Sk ?1 ? Sk ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ? k ?2 k ?3 k ?4 2(k ? 1) ? k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k ?
1 1 1 ?[ ? ] 2k ? 1 2(k ? 1) k ? 1 1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1) 1 ?0 2(k ? 1)(2k ? 1)
13 13 ,即 Sk ?1 ? 24 24

?

?

?

所以 S k ?1 ? S k ?

由(1) (2)知原不等式成立。

2.7 换元法
换元法在数学解题中有着广泛的作用,可以起到化难为易、化繁为简的作用,在不等 式证明中,有些问题证明较为困难,但如果运用换元的思想和方法去解决就方便多了。 2.7.1 增量换元法 一般的,对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如 a>b>c)的 不等式,常用增量法换元,换元的目的是通过换元达到减元的目的,使得问题化难为易, 化繁为简。 例 1 已知,求证: x ? y ? x ? y 证明: 由 x ? y ? 0 ,可令 x ? y ? t (t ? 0) 因为 y ? t ? y ? t ? 2 yt ? ( y ? t )2 所以 故

y ?t ? y ? t x ? y ? x? y

2.7.2 三角换元法 三角换元是一种常见的换元方法,多用于条件不等式证明,在解类似这些题时,选 择适当的三角函数进行换元,把代数问题转化为三角问题,充分根据三角函数的性质解决 问题。

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1 1 例 2[2] 已知,求证: ? ? 3+2 2 x y

? 证明: x ? cos 2 ? , 2 y ? sin 2 ? , ? ? (0, ) ,则 2
1 1 1 2 ? = ? 2 2 x y cos ? sin ?
? 1 ? tan 2 ? ? 2 ? 2 cot 2 ? ? 3 ? tan 2 ? ? 2 cot 2 ? ? 3 ? 2 tan ? ? ( 2 cot ? ) ? 3 ? 2 2 tan ? cot ? ? 3? 2 2

当且仅当 tan 2 ? =2cot 2?,即? ? arctan 4 2时,x ?
2.7.3 比值换元法

1 2 ,2y ? , 取“=”号 x? 2 1? 2

对于那些在已知条件中含有若干个等比式的问题,往往总先设一个辅助未知数表示这 个比值,然后代入求证式,即可方便地求证。
y ?1 z ? 2 3 ? ,求证: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 [3] 2 3 14 y ?1 z ? 2 ? ?k, 证明: 设 x ? 1 ? 2 3

例 3 已知 x ? 1 ?

于是 x=k+1,y=2k-1,z=3k+2 把以上各式代入 x2 ? y 2 ? z 2 得
2 x2 ? y 2 ? z 2 = (k+1) +(2k-1)2 ? (3k ? 2)2

? 14(k ?

5 2 3 3 ) ?4 ?4 14 14 14

2.8 标准化法
形如 f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 sin x2 ?sin xn 的函数, 其中 0 ? xi ? ? , 且 x1 ? x2 ? ? ? xn 为 常数,则当 x i 的值之间越接近时, f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的值越大(或不变) ;当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时, f ( x1 , x2 ,?, xn ) 取最大值,即
f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 sin x2 ?sin xn ? sin n
8

x1 ? x2 ? ? ? x n . n

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标准化定理:当 A ? B 为常数时,有 sin A sin B ? sin 2 同理,可推广到关于 n 个变元的情形。 例 设 A, B, C 为三角形的三内角,求证: sin 证明: 由标准化定理得, 当 A ? B ? C 时, sin 取最大值 故
A B C 1 ? sin ? sin ? , 2 2 2 2 A B C 1 sin ? sin ? sin ? , 2 2 2 8 A B C 1 sin sin sin ? . 2 2 2 8

A? B . 2

A B C 1 sin sin ? . 2 2 2 8

2.9 等式法
应用一些等式的结论,可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明. 例 a, b, c 为 ?ABC 的三边长,求证:
2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 .

证明: 由海伦公式 S ?ABC ? 两边平方,移项整理得

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,其中 p ?

1 (a ? b ? c) . 2

16(S ?ABC ) 2 ? 2a 2b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4
而 S ?ABC ? 0 , 所以
2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 .

2.10 分解法
按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基 本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的. 例 n ? 2 ,且 n ? N ,求证: 1 ? 证明: 因为 1 ?
1 1 1 ? ? ? ? ? n( n n ? 1 ? 1) . 2 3 n

1 1 1 ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ? (1 ? 1) ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? 2 3 n ?2 ? ?3 ? ?n ?

? 2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ??? ? n ? n 2 ? ? ? ?? ? n ? n n ?1. 2 3 n 2 3 n

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所以

1?

1 1 1 ? ? ? ? ? n( n n ? 1 ? 1) 2 3 n

2.11 构造法
构造法是通过构造一定的数学模型来完成解题的一种方法 .倘若充分地挖掘题设与结 论的内在联系, 把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来, 并恰当地构造数 学模型, 就可得到富有新意的独特解法.利用构造法解题, 不仅构思精巧, 形式优美, 过 程简单, 而且极富思维的灵活性和创造性。 2.11.1 构造对偶式模型 在证明分式不等式时, 若在原分式 P 上配上恰当的对偶式 Q, 就会产生简捷明快的 证法。
1 3 2n ? 1 1 ? 例 4 求证: ? ??? 2 4 2n 2n ? 1

证明:设 A ?

1 3 2n ? 1 2 4 2n ? ??? , B ? ? ??? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n ???, ? 由于 ? , ? , 2 3 4 5 2n 2n ? 1 1 ,即 A ? 2n ? 1

因此 A<B,从而 A2 ? A ? B ? 故原不等式成立。 2.11.2 构造函数模型

1 2n ? 1

函数是贯穿中学数学的一条主线.一些本身无明显函数关系的问题, 通过类比、联想、 转化, 合理构造函数模型, 从而使问题得以巧妙解决.譬如, 构造一个函数, 使原不等式 的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值 , 就可以利用函数的单调性证明不 等式.或构造一个函数, 再利用函数的奇偶性证明不等式. 例 5 证明不等式 证明: 设
x x ? ( x ? 0) x 1? 2 2 x x f ( x) ? ? ( x ? 0) x 1? 2 2 ?x x x x f (? x) ? ? ? ? ? f ( x) ?x x 1? 2 2 1? 2 2

故 f ( x) 为偶函数 当 x ? 0 时, 2 x ? 1 ,即 1 ? 2x ? 0

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所以

f ( x) ?

x x ? ?0 x 1? 2 2

根据偶函数的性质知,当 x ? 0 时,也有 f ( x) ? 0 所以,故当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? 0 即
x x ? ( x ? 0) x 1? 2 2

2.11.3 构造二次函数模型 二次函数、一元二次方程、二元二次不等式联系极为密切 .对于某些条件二次不等式 的证明, 可以考虑构造相应的二次函数模型 , 然后利用一元二次方程的根的判别式来转 化原问题, 从而使原不等式得以证明。 例 6 已知 ? +? +? =? , x2 ? y2 ? z 2 ? 2xy cos ? ? 2 yz cos ? ? 2xz cos ? 证明:考虑函数 f ( x) ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 2xy cos ? ? 2 yz cos ? ? 2xz cos ? = x2 ? 2( y cos ? ? z cos ? ) x ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? 因为

?=4(y cos ? ? z cos ? )2 ? 4( y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? ) ? ?4( y sin ? ? z sin ? )2 ? 0

又 x 2 的系数大于零,所以 f ( x) 的值恒大于或等于零, 所以

x2 ? y2 ? z 2 ? 2xy cos ? ? 2 yz cos ? ? 2xz cos ?

2.12 排序不等式定理
排序不等式定理:(排序不等式,又称排序定理)设 a1 ? a2 ? ??? ? an , b1 ? b2 ? ??? ? bn 为 两组实数, c1 ? c2 ? ??? ? cn 是 b1 ? b2 ? ??? ? bn 的任一排列,那么

a1bn ? a2bn?1 ???? ? anb1 ≤ a1c1 ? a2c2 ? ??? ? ancn ≤ a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ,
当且仅当 a1 ? a2 ? ??? ? an 或 b1 ? b2 ? ??? ? bn 以上排列不等式也可以简记为:反序和 ? 乱序和 ? 同序和。

2.13 借助几何法
利用形数关系 ,掌握沟通代数( 三角 ) 与几何的知识和方法 ,使一部分代数( 或三角 )不 等式转化为几何问题。例如运用“两点间以连结这两点的直线段为最短的连线” 、 “三角形
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两边之和大于第三边” 、 “三角形大角对大边”等结论 ,证明不等式往往较为方便。反之有 些几何不等式也可转化为代数(或三角)问题,可迅速得到证明。 例[4] 已知是小于 1 的正数,求证:
(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? (1 ? a) 2 ? b 2 ? a 2 ? (1 ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 2

证明:作边长为 1 的正方形 ABCD ,并用 EF , GH 将他划分为 四个矩形,使 AE ? a, AG ? b , 则可根据三角形中两边之和大于第三边的道理, 得到 OA ? OC ? AC, BO ? OD ? BD 即
a 2 ? b 2 + (1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? 2 a 2 ? (1 ? b) 2 + (1 ? a) 2 ? b 2 ? 2

⑴ ⑵

⑴+⑵ 即得
(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? (1 ? a) 2 ? b 2 ? a 2 ? (1 ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 2

3 利用函数证明不等式 3.1 利用极值法
对不等式 f ( x) ? A (或 f ( x) ? A ) (在区间 I 上),这种方法关键是证明函数 f ( x) (在 区间Ⅰ上)有唯一的极小值且极小值大于等于 A(或有唯一的极大值且极大值小于等于 A)。 其步骤与单调函数法大致相同。 例[5] 证明不等式

1 1 b ?1 ,其中 x ? 0, b ? 0 ? ? x ? 1 bx ? 1 b ?1

证明: 令 f ( x) ?

1 1 b ?1 ? ,记 A ? x ? 1 bx ? 1 b ?1

即要证 f ( x) ? A ,由于 f ( x) ? A ,由于 f ( x) 在 [0, ??] 上连续可导, 且有
f ' ( x) ? ? 1 1 b ?1 ? ? (1 ? bx) 2 2 ( x ? 1) (bx ? 1) ( x ? 1)2 (bx ? 1)2

故 f ( x) 在 [0, ??] 上有唯一的驻点 x ?

1 ,且由极值的第一充 分条件得 f ( x) 在 b
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x?

1 取得唯一的极大值也是最大值,从而 f ( x) 在 [0, ??] 上有最大值,且最大值为 b

f(

1 b ?1 b ?1 )? ? A ,故 f ( x) ? ? A ,即 b b ?1 b ?1 1 1 b ?1 ? ? x ? 1 bx ? 1 b ?1

3.2 利用单调函数
辅助函数方法比较常用 ,其主要思想是将不等式通过等价变形,找到一个辅助函数,通 过求导确定函数在所给区间上的单调性,即可证明出结论。常用的方法是,直接将不等号右 端项移到不等号左端,另不等号右端为零,左端即为所求辅助函数。
[7] 例 设 b ? a ? e ,证明: a b ? b a

分析:要证 a b ? b a ,只须证 b ln a ? a ln b 或 证明:令 则
ln x ,x?e x 1 ? ln x f ' ( x) ? ? 0( x ? e) x2 f ( x) ?

ln a ln b ? a b

因此 f ( x) 单调递减,故当 b ? a ? e ,有 即
ab ? ba

ln a ln b ? , a b

3.3 利用中值定理
利用中值定理(罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)的方法来证明不等 式首先要熟记各个中值定理的应用条件 , 可将原不等式通过变形找到一个辅助函数 , 使其 在所给区间上满足中值定理的条件,证明的关键是处理好 N 点,分析函数或其导数在该点的 性质即可得到所要结论 ,在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进 行证明的情况。 例 设 e ? a ? b ? e2 ,证明
ln 2 b ? ln 2 a ? 4 (b ? a ) e2

证明:对函数 ln 2 x 在 [a, b] 上应用拉格朗日中值定理,得
ln 2 b ? ln 2 a ? 2ln ? (b ? a), a ? ? ? b

?

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设 ? ( x) ?

ln x ,则 x

? ' ( x) ?

1 ? ln x x2

当 x ? e 时, ? ' ( x) ? 0 ,

所以, ? ( x) 单调递减,从而 ?(? ) ? ?(e2 ) ,

ln e2 2 即 ? 2 ? 2 ,所以 ? e e

ln ?

ln 2 b ? ln 2 a ?

4 (b ? a ) e2

3.4 利用拉格朗日定理
若函数 f ( x) 满足下列条件: (1)在 [a, b] 上连续, (2)在 ( a, b) 内可导; 则在开区间 ( a, b) 内至少存在一点 c ,使得
f (b) ? f (a) ? f (c)(b ? a)

(1)

我们把(1)式称为拉格朗日公式[6]。 注:当所要证明的不等式的结论与拉格朗日公式在形式上相似,但不完全相同时,则 可用拉格朗日定理证明。 例 证明:当 0 ? a ? b 时:
b?a b?a ? arctan b ? arctan a ? 2 1? b 1 ? a2

n 证 明 : 当 0 ? a ? b 时 , 函 数 f ( x) ? a r c t ax 在 [ a, b] 上 连 续 , 在 ( a, b) 内 可 导 , 且
f ( x) ? 1 ,由拉格朗日定理得 1 ? x2

f (b) ? f (a) ? f (c)(b ? a), c ? (a, b) ,

即 而 有

arctan b ? arctan a ? b?a 1 ? b2 b?a 1 ? b2

1 (b ? a ), a ? c ? b 1 ? c2 1 b?a ? (b ? a) ? 2 1? c 1 ? a2 b?a ? arctan b ? arctan a ? 1 ? a2

则不等式成立

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4 利用著名不等式 4.1 利用均值不等式证明
已知 a , b 正数,则
2 1 1 ? a b ? ab ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 , ? 2 2

这个不等式串沟通了调和平均数 、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系.用 这个不等式可以很方便地解决一些求范围与证明问题 。
1 1 1 例 已知 a , b , c 是正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 a b c
[7]

分析:不等式右边的数字是 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式,可得三个 2 连乘,又
1 1 ? a b ? c 2 bc ,由此变形可入手。 ?1 ? ? ? a a a a

证明:因为 a, b, c 是正实数, a ? b ? c ? 1 , 所以
1 1 ? a b ? c 2 bc ?1 ? ? ? a a a a 1 2 ac ?1 ? , b b 1 2 ab ?1 ? c c

同理

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? ? ? =8 a b c a b c
1 当且仅当 a=b=c= 时取等号。 3

4.2 利用柯西-施瓦茨不等式
[? f ( x)g ( x)dx]2 ? ? f 2 ( x)dx ? ? g 2 ( x)dx
a a a b b b

柯西-施瓦茨不等式[8]是一个常用的不等式,在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进 行证明,即方便又快捷。 例 设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,且 f ( x) ? 0 ,证明:

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?

b

a

f ( x)dx ? ?

b

a

1 dx ? (b ? a) 2 f ( x)

证明:由柯西-施瓦茨不等式,得

(?
因为

b

a

f ( x)

b b 1 1 dx)2 ? ? ( f ( x)) 2 dx ? ? ( ) 2 dx a a f ( x) f ( x)

(?

b

a

f ( x)

1 dx)2 ? (b ? a) 2 f ( x)
b

所以

?

b

a

f ( x)dx ? ?

a

1 dx ? (b ? a) 2 f ( x)

4.3 利用赫尔德不等式


aij (i ? 1, 2, ???, n, j ? 1, 2, ???, m)

是正实数, a j ( j ? 1, 2, ???, m) 是正实数,且 a1 ? a2 ? ??? ? am ? 1,则
(? ai1 )a1 (? ai 2 )a2 ??? (? ain ) an ? ? ai1a1 ai 2 a2 ??? aim am
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n
[9]

例 已知 a, b, c ? R ? ,且 2a 2 ? b2 ? 9c 2 ,求证: 证明 利用赫尔德不等式,得
(

2c c ? ? 3 a b

2c c 2c c 2a 2 c 2 ? )( ? )[( ) ?( ) ] a b a b c b

? [3

2c 3 2c 2a 2 3 c c 3 c 2 3 ? ? ( ) ? ( ) ] a a c b b b

? (2 ? 1)3
即 所以
9( 2c c 2 ? ) ? 27 a b 2c c ? ? 3 a b

4.4 利用詹森不等式
若 f ( x) 为 [a, b] 上凹函数,则对 ?x1 ?[a, b], ?i ? 0 (i ? 1, 2,3, ???, n) , ? ?i ? 1
i ?1 n

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f (? ?i xi ) ? ? ?i f ( xi )
i ?1 i ?1

n

n

例 不等式 证明:设

(abc)

a ?b ? c 3

? a abb cc ,其中 a, b, c 均为正数。

f ( x) ? x ln x , x ? 0

由 f ( x) 的一阶和二阶导数
f '( x) ? ln x ? 1 , f ''( x) ?
1 x

可见 f ( x) ? x ln x ,在 x ? 0 时为严格凸函数, 依 Jensen 不等式有
a?b?c 1 ) ? [ f (a) f (b) f (c)] 3 3 a?b?c a?b?c 1 ln ? (a ln a ? b ln b ? c ln c) 3 3 3 a ? b ? c abc ( ) ? a a bb c c 3 a?b?c 3 abc ? 3 f(

从而 即 又因为 所以

(abc)

a ?b ? c 3

? a a bb c c

5 结 论
不等式在数学整个学习和研究的过程中都是一个重要的内容,它涉及了初等数学、高 等数学和数学分析的许多方面,在数学中有着不可代替的作用。而不等式的证明则是不等 式研究的重要内容,通过国内外专家和学者的不懈努力,不等式证明已经取得了丰硕的成 果。著名数学家 D.S.Mitrinovic 在他的名著《Analytic Inequalities》的序言中曾引述 到: “所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要而又不能证明的不等式。 ”由 此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实意义。 因此,本文对不等式的一些重要证明方法进行了系统的总结,并精选典型的例题来说 明其证明方法,以便使大家对其证明有更好的理解,同时密切联系实际,应用不等式在实 际中解决一些简单问题,以此来更进一步说明不等式的重要性。 在初等数学中,不等式作为一个很重要的分析工具和分析手段,具有举足轻重的地位。 不等式及其变形形式的应用和证明是初中生的一大弱点,做起来也很痛苦。为了解决这些 问题,数学研究者针对不同的问题研究出不同的方法来帮助学生解决。其证明可分为推理
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性问题或探索性问题,推理性问题即是指在特定条件下, 阐述论证过程, 揭示内在规律, 基本方法有上述所述的比较法、分析法、综合法、反证法;这几种方法是初等数学中常用 到的证明不等式的方法,学生可以进行一题多解,但是当遇到较难的题目时,也可以把几 种方法结合起来进行证明。 所说的探索性问题大多是与自然数有关的证明问题, 常采用 观察—归纳—猜想—证明的思路, 可以用数学归纳法来完成证明。但当遇到无法用前面几 种方法证明的问题时,我们就必须考虑用其他方法来解决。我们首先要深度分析题目,然 后在想想与之对应的方法,试着证明,最终会得到解决的。除了这几种主要的方法,本文 还介绍了其他常用的方法,像换元法、构造法、放缩法等等,但使用不能乱用,就比如放 缩法,它是一种有意识地对题目中相关的数或者式子的取值进行放大或缩小的方法。如果 能够灵活掌握运用这种方法,对比较大小、不等式的证明等部分数学试题的解题能起到薄 雾云开的效果,尤其针对竞赛问题,是一种解决问题的很好方法,但需还注意,在使用放缩 法证明题时要注意放和缩的"度"。 所以初中生使用这些方法时一定要灵活, 不能死搬硬套, 还要注意其使用的条件。还有在初等数学中,对于构造辅助函数也是很重要的,学生往往 会想不到运用构造函数法来证明不等式,在证明不等式时,我们通常需要根据不等式的特 点来构造辅助函数,然后借助导数知识分别利用相应的方法去证明,本文中归纳总结了三 种应用构造法证明不等式的方法,并具体说明了证明的思路,多做此类难题更能充分理解 各种方法的应用的原理,学好构造法更有利于培养我们的数学思维和推理论证能力。而在 初等教学中,教师应该要一方面重视不等式教学, 另一方面提高不等式的教学质量,引领 学生,让学生懂得在什么情况下用哪种方法. 不仅会做典型题, 也要会做一般题, 更会用 解不等式的方法解决实际问题, 这才是学数学的真正目的 在高等数学中,不等式也有举足轻重的作用,尤其是在研究数学分析中,起着不可替 代的作用。由于不等式本身就很抽象,逻辑性也比较强,以及它的证明也比较灵活,方法 多种多样,没有固定的模式,故而想要驾驭它也是比较困难的。利用高等数学知识解决初 等数学中的不等式问题是很简单,但是应用初等数学知识解决高等数学中的不等式是比较 有限的,紧接着就出现了不同于初等数学中证明不等式的证明方法,比如:中值定理、拉 格朗日中值定理、还有著名不等式等,本文就这些方法给出了相应的典型例题,利用高等 数学证明一些不等,可以做到深入浅出,使问题的解决更加简便,也凸显了证明不等式方 法的多种多样。就拿著名不等式中的 Cauchy 不等式来说,Cauchy 不等式及其变形在不同 的领域有着不同的表现形式,对它的应用可谓是灵活多样,这充分体现了高等数学的一些 分支之间的互相渗透,相互促进的内在联系,Cauchy 不等式的应用及其广泛,在解题过程
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中,从不同方向考虑问题,恰当合理的应用 Cauchy 不等式,有助于创造性思维能力的培 养和创新意识的提高,正是使用了 Cauchy 不等式及其变形形式才使题目简洁的证出,对 于培养思维品质,领悟数学方法,促进创造性思维有极大的帮助,从 Cauchy 不等式及其 变形的应用中可以了解到,掌握 Cauchy 不等式是非常有意义的。因此,在数学的学习中, 应具体问题具体分析,对待不同的问题思维要灵活,能够从不同的角度去观察,找出问题 的关键所在,把握本质,从而快捷的解决证明不等式的问题,从而提高学习兴趣。 不等式的证明方法多种多样 ,往往因题而异,没有一定的途径 ,但是 ,如果能熟练地掌 握不等式的性质,认识基本不等式的特点,认真地审题,并且运用比较、分析,综合和反证、 归纳等推理方法,进行思考探索,也不难找到证题的途径。在高等数学中,要牢记那些著名 不等式及其变形,掌握微积分中不等式的证明,尤其是导数。以此来更好的掌握不等式在 实际中的应用。

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参考文献
[1] 傅海伦.专题突破[M].北京:金盾出版社,2004. [2] 周兴建.证明不等式的若干方法[J]. 中国科教创新导刊.重庆三峡学院,2007. [3] 丁并桐.三角代换证明不等式的若干例说[J].数学周刊.江苏大丰技校,1993. [4] 许克明.证明不等式的几种方法.四川师院学报[N].河北化工学院,1983. [5] 王建荣.浅谈运用函数的单调性证明不等式的若干策略 [D].福建中学学报,江西师范 大学鹰潭学院数学系,2010. [6] 周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报,2000. [7] 黄志军.一个优美不等式的多角度思考及拓展[D].北京师范大学出版社,2010. [8] 郭家勇.利用导数证明不等式的几种方法[D].江苏师范高等专科学校数学系. [9] 段明达.证明不等式的若干方法.数学月刊[J].浙江教育出版社,2007. [10] 金元希,田万海,毛宏德.初等代数研究[M].北京:高等教育出版社,1983. [11] 孟金涛.浅谈不等式的若干证明方法[D].郑州航空工业管理学院,2007. [12] 刘玉链.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.

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谢 辞
时光如梭,几年的大学生活已接近尾声,期间刻苦努力和勤奋学习让我的大学生活过 得丰富而充实,本篇论文作为大学学习生活的总结,经过一个月的努力毕业设计终于完成 了,回想过去,太多的朋友给我帮助和支持,谨以此表示衷心的感谢。 首先我要感谢的是我的毕业论文设计的指导老师,在论文的准备和写作过程中,我得 到指导老师的悉心指导和热情帮助,特别是她敏锐的学术眼光和严谨的治学态度使我受益 颇多。同时,我也感谢其他的老师和同学,是他们给予我帮助让我走过大学的风风雨雨, 在那些艰苦的日子里是他们激励和鼓励我,让我奋发图强。 通过此次的论文,我学到了很多知识,跨越了传统方式下的教与学的体制束缚,在论 文的写作过程中,通过查找资料和搜集相关的文献,培养了自学能力,并且由原先的被动 的接受知识转换为主动的寻求知识,这可以说是学习上的一个很大的突破,在以往传统的 学习模式下,我们可能会记住很多的书本的知识,但是通过毕业论文,我们学会了如何将 所学的知识转化成自己的东西,学会了更好的处理知识和实践相结合的问题。 总之,此次的论文写作过程中,我收获了很多,即为大学生活划上了一个完美的句号, 也将为将来的人生做了一个铺垫。 最后,我再次的感谢那些帮助过我的老师和同学,我将会以更多的努力来回报他们, 我相信我会做的更好!

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