# 证明不等式的若干方法

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Abstract In elementary mathematics and advanced mathematics, inequality is very important content, inequality and the proof is an important part of knowledge. Inequality proof method is flexible, strong technical and comprehensive, each method has certain usability, and there are certain rules to follow. In this article, several methods to prove inequation are reviewed in this paper, is often used in elementary mathematics inequality proof of comparative law, commercial law, analysis, synthesis, mathematical induction, reduction to absurdity, zooming method, substitution method and discriminant method, function method, geometric method, etc., in the higher mathematics inequality analyst often use lundgren value theorem, Taylor formula, function, as well as some famous inequalities, such as: average inequality, cauchy inequality, inequality Jason, held, etc., so that the inequality proof method more perfect, is helpful for our further discussion and study of inequality proof. Can help the junior middle school students better, more easy to prove inequality, and can solve the practical problems in life, also can better cultivate junior middle school students logical reasoning, reasoning ability and abstract thinking ability, and develop thinking, thinking the good study habits. Keyword inequation prove common mathod function famous inequatities

2

1 引言 ...................................................................... 1 2 证明不等式的常用方法 ...................................................... 2 2.1 比较法 ...............................................................2 2.1.1 作差法 .........................................................2 2.1.2 作商法 .........................................................2 2.2 分析法 ...............................................................3 2.3 综合法 ...............................................................3 2.4 反证法 ...............................................................4 2.5 放缩法 ...............................................................4 2.5.1 去掉式子中的某些项 .............................................5 2.5.2 应用常用不等式 .................................................5 2.5.3 适当放大或缩小某些项 ...........................................6 2.6 数学归纳法 ...........................................................6 2.7 换元法 ...............................................................7 2.7.1 增量换元法 .....................................................7 2.7.2 三角换元法 .....................................................7 2.7.3 比值换元法 .....................................................8 2.8 标准化法 .............................................................8 2.9 等式法 ...............................................................9 2.10 分解法 ..............................................................9 2.11 构造法 .............................................................10 2.11.1 构造对偶式模型 ...............................................10 2.11.2 构造函数模型 .................................................10 2.11.3 构造二次函数模型 .............................................11 2.12 排序不等式定理 .....................................................11 2.13 借助几何法 .........................................................11 3 利用函数证明不等式 ....................................................... 12 3.1 利用极值法 ..........................................................12 3.2 利用单调函数 ........................................................13 3.3 利用中值定理 ........................................................13 3.4 利用拉格朗日定理 ....................................................14
3

4 利用著名不等式 ........................................................... 15 4.1 利用均值不等式证明 ..................................................15 4.2 利用柯西-施瓦茨不等式 ...............................................15 4.3 利用赫尔德不等式 ....................................................16 4.4 利用詹森不等式 ......................................................16 5 结 论 .................................................................... 17 参考文献 ................................................................... 20 谢 辞 ...................................................................... 21

4

1 引言

2 证明不等式的常用方法 2.1 比较法

a ? b ；若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 。此外,还要特别注意对任何实数,其平方后必不小于零。在运

ab ? bc ? ac ? a 2 ? b2 ? c2

a2 ? b2 ? c2 ? (ab ? bc ? ac)
1 2 (a ? b 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? a 2 ? c 2 ? 2ac) 2 1 ? [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ? 0 2 ?

ab ? bc ? ac ? a 2 ? b2 ? c2

2.1.2 作商法 作商法就是观察两式的比值是大于 1 还是小于 1,即若 a ? 0 , b ? 0 则当
a a ? 1 时,有 a ? b ；而当 ? 1 时,有 a ? b 。 b b
a ?b 2

.

（由于要比较的两式成幂的结构，故结合函数的单调性，故可采用作商比较法来证 明.） 证明：作商得：
?a? 当 a ? b 时， ? ? ?b?

a a bb

?ab?
a ?b 2

a ?b 2

?a

a ?b 2

?b

b?a 2

?a? ?? ? ?b?

a ?b 2

，又由指数函数的性质
a ?b 2

a a ?b ?a? ? 1 ；当 a ? b ? 0 时， ? 1 ， ? 0，? ? b 2 ?b?

?1.

2

a ?b 2

a ?b a ?a? ? 0, ? ? 当 b ? a ? 0 时， 0 ? ? 1 ， 2 b ?b?

? 1 .即 a a b b ? ?ab ?

a ?b 2

.

2.2 分析法

?
2

,并讨论当 ? 为何值时等号成立。

?
2

1+ cos ? sin ?

2sin 2? ?

2sin ? sin 2? ? 1 ? cos ?

2sin ? sin 2? ? 4sin 2 ? co(1 ? cos ? )s ? ? 4(1 ? cos2 ? )cos ?
? 4(1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) cos ?

(1 ? cos ? )[4(1 ? cos ? ) cos ? ? 1] ? 0

1 (1 ? cos ? )[?4(cos ? ? ) 2 ] ? 0 2

1 ? 因为 0 ? ? ? ? ，所以等号成立当且仅当 cos ? ? =0 ，解出 ? = 。 2 3

2.3 综合法

b a a?b a 2 ? b 2 ? 2ab(a, b为实数), ? ? 2(a, b同号)， ? ab (a, b为正实数)等等 a b 2

3

A ? B1 ? B2 ? ??? ? Bn ? B
1 ?2 x 1 证明: 因为 x ? 0 ，则 ? 0 x

x?
x?

1 1 ? 2 x? ? 2 x x
1 ?2 x

2.4 反证法

a ?b ? c ? d ?1

(a ? b)(c ? d ) ? 1 (a ? b)(c ? d ) ? ac ? bc ? ad ? bd ? ac ? bd
ac ? bd ? 1

2.5 放缩法

4

A B c 1 sin sin ? 2 2 2 8

sin 2 A 1 ? cos A 1 b2 ? c 2 ? a 2 ? ? (1 ? ) 2 2 2 2bc 1 a 2 ? (b2 ? c 2 ) a2 ? [ ]? 2 2bc 4bc

sin

A A a ? 0,sin ? 2 2 2 bc B b c c ? ,sin ? 2 2 ac 2 2 ab A B c a ?b ?c 1 sin sin ? ? 2 2 2 2 bc ? 2 ac ? 2 ab 8

sin

sin

2.5.2 应用常用不等式
a 2 ? b 2 ? 2ab, a?b ? ab (a, b ? 0), k ? k (k ? 1) ? k ? 1 等基本不等式和常用不等式是放 2

ab ? ( a?b 2 ) 2

lg 3 ? lg 33 ? (

lg 3 ? lg 33 2 99 lg 99 2 ) ? ( )2 ? ( ) ?1 2 2 2

[因为 99＜100（放大）] 所以
lg 3 ? lg 33 ? 1

5

2.5.3 适当放大或缩小某些项

1 1 1 + + ??? + ?2 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ????? n

1 1 1 + + ??? + 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ????? n

? 1+

1 1 1 + + ??? + 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n

1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? )+ ??? +( ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 ? 2? ? 2 n

2.6 数学归纳法

1 1 1 1 13 ? ? ? ??? ? ? ( n 为大于 1 的自然数)。 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24 1 1 7 ? ? 证明: （1）当 n ? 2 时， S2 ? 2 ? 1 2 ? 2 12 13 （2）当 n ? k 时， S k ? ； 24

1 1 1 1 13 ? ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 24
6

Sk ?1 ? Sk ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ? k ?2 k ?3 k ?4 2(k ? 1) ? k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k ?
1 1 1 ?[ ? ] 2k ? 1 2(k ? 1) k ? 1 1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1) 1 ?0 2(k ? 1)(2k ? 1)
13 13 ，即 Sk ?1 ? 24 24

?

?

?

2.7 换元法

y ?t ? y ? t x ? y ? x? y

2.7.2 三角换元法 三角换元是一种常见的换元方法，多用于条件不等式证明，在解类似这些题时，选 择适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，充分根据三角函数的性质解决 问题。

7

1 1 例 2[2] 已知，求证： ? ? 3+2 2 x y

? 证明: x ? cos 2 ? , 2 y ? sin 2 ? , ? ? (0, ) ，则 2
1 1 1 2 ? = ? 2 2 x y cos ? sin ?
? 1 ? tan 2 ? ? 2 ? 2 cot 2 ? ? 3 ? tan 2 ? ? 2 cot 2 ? ? 3 ? 2 tan ? ? ( 2 cot ? ) ? 3 ? 2 2 tan ? cot ? ? 3? 2 2

2.7.3 比值换元法

1 2 ,2y ? , 取“=”号 x? 2 1? 2

y ?1 z ? 2 3 ? ，求证： x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 [3] 2 3 14 y ?1 z ? 2 ? ?k， 证明: 设 x ? 1 ? 2 3

2 x2 ? y 2 ? z 2 = （k+1） +(2k-1)2 ? (3k ? 2)2

? 14(k ?

5 2 3 3 ) ?4 ?4 14 14 14

2.8 标准化法

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 sin x2 ?sin xn ? sin n
8

x1 ? x2 ? ? ? x n . n

A B C 1 ? sin ? sin ? ， 2 2 2 2 A B C 1 sin ? sin ? sin ? ， 2 2 2 8 A B C 1 sin sin sin ? . 2 2 2 8

A? B . 2

A B C 1 sin sin ? . 2 2 2 8

2.9 等式法

2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 .

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ，其中 p ?

1 (a ? b ? c) . 2

16(S ?ABC ) 2 ? 2a 2b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4

2a 2 b 2 ? 2a 2 c 2 ? 2b 2 c 2 ? a 4 ? b 4 ? c 4 .

2.10 分解法

1 1 1 ? ? ? ? ? n( n n ? 1 ? 1) . 2 3 n

1 1 1 ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ? (1 ? 1) ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? 2 3 n ?2 ? ?3 ? ?n ?

? 2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ??? ? n ? n 2 ? ? ? ?? ? n ? n n ?1. 2 3 n 2 3 n

9

1?

1 1 1 ? ? ? ? ? n( n n ? 1 ? 1) 2 3 n

2.11 构造法

1 3 2n ? 1 1 ? 例 4 求证： ? ??? 2 4 2n 2n ? 1

1 3 2n ? 1 2 4 2n ? ??? ， B ? ? ??? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n ???， ? 由于 ? ， ? ， 2 3 4 5 2n 2n ? 1 1 ，即 A ? 2n ? 1

1 2n ? 1

x x ? ( x ? 0) x 1? 2 2 x x f ( x) ? ? ( x ? 0) x 1? 2 2 ?x x x x f (? x) ? ? ? ? ? f ( x) ?x x 1? 2 2 1? 2 2

10

f ( x) ?

x x ? ?0 x 1? 2 2

x x ? ( x ? 0) x 1? 2 2

2.11.3 构造二次函数模型 二次函数、一元二次方程、二元二次不等式联系极为密切 .对于某些条件二次不等式 的证明, 可以考虑构造相应的二次函数模型 , 然后利用一元二次方程的根的判别式来转 化原问题, 从而使原不等式得以证明。 例 6 已知 ? +? +? =? ， x2 ? y2 ? z 2 ? 2xy cos ? ? 2 yz cos ? ? 2xz cos ? 证明:考虑函数 f ( x) ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 2xy cos ? ? 2 yz cos ? ? 2xz cos ? = x2 ? 2( y cos ? ? z cos ? ) x ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? 因为

?=4(y cos ? ? z cos ? )2 ? 4( y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? ) ? ?4( y sin ? ? z sin ? )2 ? 0

x2 ? y2 ? z 2 ? 2xy cos ? ? 2 yz cos ? ? 2xz cos ?

2.12 排序不等式定理

a1bn ? a2bn?1 ???? ? anb1 ≤ a1c1 ? a2c2 ? ??? ? ancn ≤ a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ，

2.13 借助几何法

11

(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? (1 ? a) 2 ? b 2 ? a 2 ? (1 ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 2

a 2 ? b 2 + (1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? 2 a 2 ? (1 ? b) 2 + (1 ? a) 2 ? b 2 ? 2

⑴ ⑵

⑴+⑵ 即得
(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? (1 ? a) 2 ? b 2 ? a 2 ? (1 ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 2

3 利用函数证明不等式 3.1 利用极值法

1 1 b ?1 ，其中 x ? 0, b ? 0 ? ? x ? 1 bx ? 1 b ?1

1 1 b ?1 ? ，记 A ? x ? 1 bx ? 1 b ?1

f ' ( x) ? ? 1 1 b ?1 ? ? (1 ? bx) 2 2 ( x ? 1) (bx ? 1) ( x ? 1)2 (bx ? 1)2

1 ，且由极值的第一充 分条件得 f ( x) 在 b
12

x?

1 取得唯一的极大值也是最大值，从而 f ( x) 在 [0, ??] 上有最大值，且最大值为 b

f(

1 b ?1 b ?1 )? ? A ，故 f ( x) ? ? A ，即 b b ?1 b ?1 1 1 b ?1 ? ? x ? 1 bx ? 1 b ?1

3.2 利用单调函数

[7] 例 设 b ? a ? e ，证明： a b ? b a

ln x ，x?e x 1 ? ln x f ' ( x) ? ? 0( x ? e) x2 f ( x) ?

ln a ln b ? a b

ab ? ba

ln a ln b ? ， a b

3.3 利用中值定理

ln 2 b ? ln 2 a ? 4 (b ? a ) e2

ln 2 b ? ln 2 a ? 2ln ? (b ? a), a ? ? ? b

?

13

ln x ，则 x

? ' ( x) ?

1 ? ln x x2

ln e2 2 即 ? 2 ? 2 ，所以 ? e e

ln ?

ln 2 b ? ln 2 a ?

4 (b ? a ) e2

3.4 利用拉格朗日定理

f (b) ? f (a) ? f (c)(b ? a)

(1)

b?a b?a ? arctan b ? arctan a ? 2 1? b 1 ? a2

n 证 明 : 当 0 ? a ? b 时 ， 函 数 f ( x) ? a r c t ax 在 [ a, b] 上 连 续 ， 在 ( a, b) 内 可 导 ， 且
f ( x) ? 1 ，由拉格朗日定理得 1 ? x2

f (b) ? f (a) ? f (c)(b ? a), c ? (a, b) ，

arctan b ? arctan a ? b?a 1 ? b2 b?a 1 ? b2

1 (b ? a ), a ? c ? b 1 ? c2 1 b?a ? (b ? a) ? 2 1? c 1 ? a2 b?a ? arctan b ? arctan a ? 1 ? a2

14

4 利用著名不等式 4.1 利用均值不等式证明

2 1 1 ? a b ? ab ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ， ? 2 2

1 1 1 例 已知 a , b , c 是正实数，且 a ? b ? c ? 1 ，求证： ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 a b c
[7]

1 1 ? a b ? c 2 bc ，由此变形可入手。 ?1 ? ? ? a a a a

1 1 ? a b ? c 2 bc ?1 ? ? ? a a a a 1 2 ac ?1 ? , b b 1 2 ab ?1 ? c c

1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? ? ? =8 a b c a b c
1 当且仅当 a=b=c= 时取等号。 3

4.2 利用柯西-施瓦茨不等式
[? f ( x)g ( x)dx]2 ? ? f 2 ( x)dx ? ? g 2 ( x)dx
a a a b b b

15

?

b

a

f ( x)dx ? ?

b

a

1 dx ? (b ? a) 2 f ( x)

(?

b

a

f ( x)

b b 1 1 dx)2 ? ? ( f ( x)) 2 dx ? ? ( ) 2 dx a a f ( x) f ( x)

(?

b

a

f ( x)

1 dx)2 ? (b ? a) 2 f ( x)
b

?

b

a

f ( x)dx ? ?

a

1 dx ? (b ? a) 2 f ( x)

4.3 利用赫尔德不等式

aij (i ? 1, 2, ???, n, j ? 1, 2, ???, m)

(? ai1 )a1 (? ai 2 )a2 ??? (? ain ) an ? ? ai1a1 ai 2 a2 ??? aim am
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n
[9]

(

2c c ? ? 3 a b

2c c 2c c 2a 2 c 2 ? )( ? )[( ) ?( ) ] a b a b c b

? [3

2c 3 2c 2a 2 3 c c 3 c 2 3 ? ? ( ) ? ( ) ] a a c b b b

? (2 ? 1)3

9( 2c c 2 ? ) ? 27 a b 2c c ? ? 3 a b

4.4 利用詹森不等式

i ?1 n

16

f (? ?i xi ) ? ? ?i f ( xi )
i ?1 i ?1

n

n

(abc)

a ?b ? c 3

? a abb cc ，其中 a, b, c 均为正数。

f ( x) ? x ln x , x ? 0

f '( x) ? ln x ? 1 ， f ''( x) ?
1 x

a?b?c 1 ) ? [ f (a) f (b) f (c)] 3 3 a?b?c a?b?c 1 ln ? (a ln a ? b ln b ? c ln c) 3 3 3 a ? b ? c abc ( ) ? a a bb c c 3 a?b?c 3 abc ? 3 f(

(abc)

a ?b ? c 3

? a a bb c c

5 结 论

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[1] 傅海伦.专题突破[M].北京：金盾出版社,2004. [2] 周兴建.证明不等式的若干方法[J]. 中国科教创新导刊.重庆三峡学院,2007. [3] 丁并桐.三角代换证明不等式的若干例说[J].数学周刊.江苏大丰技校,1993. [4] 许克明.证明不等式的几种方法.四川师院学报[N].河北化工学院,1983. [5] 王建荣.浅谈运用函数的单调性证明不等式的若干策略 [D].福建中学学报，江西师范 大学鹰潭学院数学系,2010. [6] 周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报,2000. [7] 黄志军.一个优美不等式的多角度思考及拓展[D].北京师范大学出版社,2010. [8] 郭家勇.利用导数证明不等式的几种方法[D].江苏师范高等专科学校数学系. [9] 段明达.证明不等式的若干方法.数学月刊[J].浙江教育出版社,2007. [10] 金元希，田万海，毛宏德.初等代数研究[M].北京：高等教育出版社，1983. [11] 孟金涛.浅谈不等式的若干证明方法[D].郑州航空工业管理学院,2007. [12] 刘玉链.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,1992.

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