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学高中数学第二章平面解析几何初步.空间直角坐标系课后作业新人教B版必修-课件


2.4
一、非标准 1.点 P(2,3,4)到 x 轴的距离是( A. B.2 C.5 D. )

空间直角坐标系

答案:C 2.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 yOz 平面对称 C.关于坐标原点对称 D.关于 y 轴对称 解析:因为 P,Q 两点的 y 坐标相同,x 坐标,z 坐标分别互为相反数,它们的中点在 y 轴上,并且 PQ 与 y 轴垂直,故 P,Q 关于 y 轴对称. 答案:D 3.空间一点 P 在 xOy 面上的射影为 M(1,2,0),在 xOz 面上的射影为 N(1,0,3),则 P 在 yOz 面上的射 影 Q 的坐标为( ) A.(1,2,3) B.(0,0,3) C.(0,2,3) D.(0,1,3) 解析:由点 P 在 xOy 面上的射影,知点 P 的 x 坐标为 1,点 P 的 y 坐标为 2,又点 P 在 xOz 面上的射影 为 N(1,0,3),所以点 P 的 z 坐标为 3. 故点 P(1,2,3)在 yOz 面上的射影为 Q(0,2,3). 答案:C 4.已知 A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则 A,B 两点间距离的最小值是( ) A. B. C. D. 解析:因为 d(A,B)=

= =,
所以 A,B 两点间距离的最小值是. 答案:C 5.如图所示,在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,棱长为 1,点 P 在对角线 BD'上,且 BP=BD',则点 P 的坐标 为( )

A. C.

B. D.

解析:点 P 在坐标面 xDy 上的射影落在 BD 上. 因为 BP=BD',所以点 P 的 x 坐标和 y 坐标都为,点 P 的 z 坐标为.故点 P 的坐标为. 答案:D 6.(2013 北京高考)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距 离的不同取值有( )

1

A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解析:设正方体的棱长为 a.建立空间直角坐标系,如图所示.

则 D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),A(a,0,0),A1(a,0,a),P, 则|PB|=a,

|PD|==a, |PD1|=a, |PC1|=|PA1|==a, |PC|=|PA|=a, |PB1|=a,
故共有 4 个不同取值,故选 B. 答案:B 7.有一个棱长为 1 的正方体,对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面,给出以下各 点:A(1,0,1),B(-1,0,1),C,D,E,F,则位于正方体之外的点是

.

解析:由题意知,位于正方体内或面上的点的三个坐标的绝对值均小于或等于. 答案:A,B,F 8.已知点 P 在 x 轴上,它到点 P1(0,,3)的距离是到点 P2(0,1,-1)的距离的 2 倍,则点 P 的坐标

. 解析:因为点 P 在 x 轴上,设 P(x,0,0), 则|PP1|=,


|PP2|=. 因为|PP1|=2|PP2|, 所以=2, 解得 x=±1.
所以所求点的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0). 答案:(1,0,0)或(-1,0,0) 9.若点 P(x,y,z)到 A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则 x,y,z 满足的关系式是 ,猜 想它表示的图形是 . 2 2 2 2 2 2 解析:由两点间距离公式得(x-1) +y +(z-1) =(x-2) +(y-1) +z ,化简得 2x+2y-2z-3=0,由几何图形的 性质知这个方程表示线段 AB 的中垂面. 答案:2x+2y-2z-3=0 线段 AB 的中垂面 10.如图所示,已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,E,F 分别为棱 AB,CD 的中点.

2

(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点 A,B,C,D 的坐标; (2)求 EF 的长. 解:正四面体的顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高,以底面正三角形的中心为坐标原 点,高为 z 轴,建立空间直角坐标系. (1)设底面正三角形 BCD 的中心为点 O,连接 AO,DO,延长 DO 交 BC 于点 M,

则 AO⊥平面 BCD,M 是 BC 的中点,且 DM⊥BC,过点 O 作 ON∥BC,交 CD 于点 N,则 ON⊥DM, 故以 O 为坐标原点,OM,ON,OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系,因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,O 为底面△BCD 的中心, 所以|OD|=·|DM|=,

|OM|=|DM|=. |OA|=.
所以 A,B,C,D. (2)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 CD 的中点,由(1)及中点坐标公式,得 E,F, 所以|EF|=. 11.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问: (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 的坐标. 解:(1)假设在 y 轴上存在点 M 满足|MA|=|MB|, 设 M(0,y,0),则有, 由于此式对任意 y∈R 恒成立, 即 y 轴上所有点均满足条件|MA|=|MB|. (2)假设在 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形. 由(1)可知,y 轴上任一点都满足|MA|=|MB|, 所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB 是等边三角形. 因为|MA|=,

|AB|=,
所以, 解得 y=或 y=-. 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 为等边三角形,点 M 的坐标为(0,,0)或(0,-,0). 12.已知正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若|CM|=|BN|=a(0<a<). 求:(1)MN 的长; (2)a 为何值时,MN 的长最小.

3

解:(1)因为平面 ABCD⊥平面 ABEF, 又平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,所以 AB⊥BE. 所以 BE⊥平面 ABCD. 所以 AB,BC,BE 两两垂直. 所以以 B 为原点,以 BA,BE,BC 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则 M,N.

所以|MN|

= =.
(2)因为|MN|=, 所以当 a=时,|MN|min=. 即 a=时,MN 的长最小.

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