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2014-2015学年高中数学人教A版选修2-2第一章 习题课_图文

习题课 习题课 【学习要求】 本 课 时 栏 目 开 关 1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想. 2.会利用导数讨论函数的单调性、 极值、 最值(多项式次数 不超过三次). 试一试· 双基题目、基础更牢固 习题课 1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上 本 课 时 栏 目 开 关 ( A ) A.单调递增 C.有最大值 解析 B.单调递减 D.有最小值 f′(x)=2+sin x>0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+∞) 上单调递增. 试一试· 双基题目、基础更牢固 习题课 2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b) 内有 A.f(x)>0 本 课 时 栏 目 开 关 ( A ) B.f(x)<0 D.不能确定 C.f(x)=0 解析 因为 f(x)在(a, b)上为增函数, 所以 f(x)>f(a)≥0. 试一试· 双基题目、基础更牢固 习题课 3.设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小 ( 2 3 3 A.-1 B. 0 C.- D. 9 3 解析 g(x)=x3-x,由 g′(x)=3x2-1=0, 3 3 解得 x1= 3 ,x2=- 3 (舍去). 当 x 变化时,g′(x)与 g(x)的变化状态如下表: 值为 ) 本 课 时 栏 目 开 关 试一试· 双基题目、基础更牢固 习题课 本 课 时 栏 目 开 关 3 所以当 x= 时, 3 ? 3? 2 3 ? ? g(x)有最小值 g? ?=- 9 . ? 3 ? 试一试· 双基题目、基础更牢固 习题课 4. 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的 图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图 象可能为 本 课 时 栏 目 开 关 ( ) 试一试· 双基题目、基础更牢固 习题课 本 课 时 栏 目 开 关 解析 应用函数的单调性与其导函数的正负 关系来判断导函数的图象. 答案 D 试一试· 双基题目、基础更牢固 习题课 5.若 f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x) 本 课 时 栏 目 开 关 充分不必要 在(a,b)内单调递减”的________________ 条件. 解析 对于导数存在的函数 f(x), 若 f′(x)<0,则 f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来, 函数 f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有 f′(x)<0,如 f(x)=-x3 在 R 上是单调递减的,但 f′(x)≤0. 研一研· 题型解法、解题更高效 习题课 题型一 本 课 时 栏 目 开 关 函数与其导函数之间的关系 例 1 已知函数 y=xf′(x)的图象如图所 示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数), 则 y=f(x)的图象大致是 ( ) 研一研· 题型解法、解题更高效 习题课 解析 当 0<x<1 时,xf′(x)<0, ∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除A、B选项. 本 课 时 栏 目 开 关 当 1<x<2 时,xf′(x)>0,∴f′(x)>0, 故 y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除 D. 答案 C 研一研· 题型解法、解题更高效 习题课 小结 本 课 时 栏 目 开 关 研究一个函数的图象与其导函数图象之间 的关系时, 注意抓住各自的关键要素, 对于原函数, 要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个 区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数 值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并 考查这些区间与原函数的单调区间是否一致. 研一研· 题型解法、解题更高效 习题课 跟踪训练 1 已知 R 上可导函数 y=f(x)的图象如图所示, 则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0 的解集为 ( D ) 本 课 时 栏 目 开 关 A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 研一研· 题型解法、解题更高效 习题课 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 例 2 设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x) 1 =x,g(x)=f(x)+f′(x). 本 课 时 栏 目 开 关 (1)求 g(x)的单调区间和最小值. 1 (2)讨论 g(x)与 g(x)的大小关系. 1 解 (1)由题设易知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ x, ∴g(x)的定义域为(0,+∞), x-1 ∴g′(x)= 2 .令 g′(x)=0,得 x=1. x 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间, 研一研· 题型解法、解题更高效 习题课 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调 增区间,∴x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从 而也是最小值点,∴最小值为 g(1)=1. 本 课 时 栏 目 开 关 ?1? (2)g? x?=-ln ? ? x+x, 设 ?1? h(x)=g(x)-g? x?=2ln ? ? 1 x-x+ , x ?x-1?2 则 h′(x)=- x2 . 当 x=1 时,h(1)=0,即 ?1? g(x)=g? x?, ? ? 当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, ∴h(x)在(0,+∞)内单调递减, 研一研· 题型解法、解题更高效 习题课 ?1? g(x)>g?x?; ? ? ∴当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 本 课 时 栏 目 开 关 ?1? 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g?x

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