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求数列通项公式几种常用方法论文


求数列通项公式的几种常用方法 【摘 要】数列是按照一定顺序排列的数字。数列的通项公式是 一种定义在正整数集上的一类特殊的函数,是研究数列的重要工 具,它能够让我们更好的了解数列的特征,因此学好通项公式是学 好数列的搜要任务。本文主要通过几道例题总结了几种常见的数列 通项公式的求法。 【关键词】数列 通项公式 数列是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体, 又是高考的必考题。在数列考题中,求数列的通项公式往往是数列 考题的一个重要类型,因此掌握求数列通向公式的各种方法是必要 的,也是必须的。求数列的通项公式一般是比较难的,数列的形式 不同,求数列通向公式的方法是不一样的,有时数列的形式相差不 大,而求通项公式的方法是完全不一样的。本文想总结一下在高中 阶段,求数列的通项公式的常用方法和策略。 一、观察法 观察法就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,即各项与 项数 n 的内在联系, 从而归纳出数列的通向公式。 一般用于解选择、 填空。过程一般为观察-概括-推广-猜出一般性结论。 例 1、已知数列的前 4 项,写出它的通项公式: (1)1、、 、 (2)2、0、2、0 (3)、 、、 (4)、 、、 (5)9、99、999、9999 解: (1) (3) (4) (5)变形为所以通项公式为 点评:此类问题变化多样,没有固定的模式。主要用于培养学生 的观察能力和发散思维能力。 二、公式法 若已知数列的前 n 项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。 例 2、已知数列前 n 项和满足: ,求此数列的通项公式。 解: ,当时,; 当时, ,所以: 例 3、已知数列中,且,求此数列的通项公式。 解:由已知得, 化简有,由类型(1)有, 又得,所以,又, , 则。 点评:利用公式求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一 定要合并。 三、累加法 递推公式为通常解法是把其转化为,利用累加法求解。 例 4、数列满足,求数列的通项公式。 解: (2) 例 5、数列满足,求数列的通项公式。 解: 点评:形式中的是关于 n 的数列,并且可以容易的求出其前 n 项 和。例如例 4 中的是关于 n 的等差数列,例 5 中的是关于 n 的等比 数列,这些都是容易求出前 n 项和的数列。 四、累乘法 递推公式为,通常解法是把原递推公式转化为,利用累乘法求解。 例 6、已知数列中,,求数列的通项公式。 , 解:用累乘法:当时 将如上的个式子相乘,得: 则验也适合,则数列的通项公式为: 点评:该题是累乘法的典型例题,值得注意的是当不能求出时, 累乘法失效。 五、辅助数列法 形如(其中为不等于 1 的常数)的数列通项公式常用构造等差或 等比数列求解。 例 7、数列满足,求数列的通项公式。 解:设则 数列的首项为公比为 2, 。 例 8、数列满足,求数列的通项公式。 解:时, ,两式相减得令则 利用例题 7 的方法知即 再由累加法的 例 9、数列满足,求数列的通项公式。 解:由得,即。设,则,设(r 为常数) 。则,于是数列是首相为, 为公比的等比数列。。 , 点评:值得注意的是当时,此类问题就转化为了累加法的形式。 虽然形式上类似但解决的方法却大相近庭,这也是数列问题的难点 所在。 综上所述,递推关系型数列题,题型多种多样,或直线给出递推 关系、或以其他背景出现。要求出数列的通项公式,解决的途径尽 管灵活多变, 但关键是进行适当变形, 将其划归为我们熟知的题型。 这类问题是高考考查的热点,且经久不衰,因此我们在教学中应从 分重视,加强训练,使学生实现运

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