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直线与平面的垂直及判定


第4讲
【高考会这样考】

直线、平面垂直的判定及其性质

1.以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定,经常与命题或充要条件相结 合. 2.以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定.考查空间想象能力、逻辑思维能 力,考查转化与化归思想的应用能力. 3.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,运用公理、定理和已获得的 结论,证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题. 【学习指导】 1.垂直是立体几何的必考题目,且几乎每年都有一个解答题出现,所以是高考 的热点,是复习的重点.纵观历年来的高考题,立体几何中没有难度过大的题, 所以复习要抓好三基:基础知识,基本方法,基本能力. 2.要重视和研究数学思想、数学方法.在本讲中“化归”思想尤为重要,不论 何种“垂直”都要化归到“线线垂直”,观察与分析几何体中线与线的关系是 解题的突破口.

基础梳理 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直 于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一直线的两平面平行.

1

2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相 垂直. (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面.

一个关系 垂直问题的转化关系 线线垂直面面垂直 判定 判定 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 线面垂直? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 性质 性质 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90° ; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; ②判定定理 1: m、n?α,m∩n=A? ??l⊥α; l⊥m,l⊥n ?

③判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; ④面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; ⑤面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.

2

(3)证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是( A.l 与平面 α 内的两条直线垂直 B.l 与平面 α 内无数条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 D.l 与平面 α 内任意一条直线垂直 2.(2012· 安庆月考)在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 3.(2012· 兰州模拟)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命 题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( A.①② B.②③ ). C.①④ D.③④ ). ).

4.(2011· 聊城模拟)设 a、b、c 表示三条不同的直线,α、β 表示两个不同的平面, 则下列命题中不正确的是( A. c⊥α ? ??c⊥β α∥β? b∥c C. c?α b?α??c∥α ). B. ? ??b⊥c c是a在β内的射影? b?β,a⊥b a∥α? ??b⊥α b⊥a?

? ?

D.

3

5.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.

考向一

直线与平面垂直的判定与性质

【例 1】?(2011· 天津改编)如图,

在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° ,AD=AC=1, O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD. 证明:AD⊥平面 PAC.

4

【训练 1】 如图,

1 已知 BD⊥平面 ABC,MC= BD,AC=BC,N 是棱 AB 的中点. 2 求证:CN⊥AD.

考向二 平面与平面垂直的判定与性质 【例 2】?如图

所示,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边 三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD.

5

【训练 2】 如图所示,

在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

考向三 【例 3】?如图,

平行与垂直关系的综合应用

在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求 证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

6

【训练 3】 如图,

正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE= EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE.

考向四 【例 4】?(2012· 无锡模拟)

线面角

如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

7

【训练 4】 (2012· 丽水质检)

如图,已知 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° , P,Q 分别为 AE,AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

【问题诊断】 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题,难度为中低档 题,大多数考生会做而得不到全分,往往因为推理不严密,跳步作答所致. 【防范措施】 解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计 算题要有明确的计算过程,不可跨度太大,以免漏掉得分点.引入数据要明确、 要写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯. 【示例】?(2011· 江苏)如图,

在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP, AD 的中点. 求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

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【试一试】 如图

所示, 在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, E、 F 分别为 PC、 2 BD 的中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= 2 AD. (1)求证:EF∥平面 PAD;(2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

练习
1:已知直线 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面 PAC?平面 PBD。

2. 如图,在立体图形 D ? ABC 中,若 AB ? CB, AD ? CD, E 是 AC 的中点,则下列命题 中正确的是( ).

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(A)平面 ABC (B)平面 ABD (C)平面 ABC (D)平面 ABC

⊥平面 ABD ⊥平面 BDC ⊥平面 BDE ,且平面 ADC ⊥平面 BDE ⊥平面 ADC ,且平面 ADC ⊥平面 BDE

3.如图, AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, C 是圆周上异于 A 、 B 的任 意一点,求证:平面 PAC ? 平面 PBC .

4 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E为垂足, F是 PB 上任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC.



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