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【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第八节 曲线与方程教案 文


第八节

圆锥曲线的综合问题

【考纲下载】 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2 .了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时, 通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A, B 不同 时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或 变量 y)的一元方程. ? ?Ax+By+C=0, 2 即? 消去 y,得 ax +bx+c=0. ?F x,y =0, ? 2 (1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax +bx+c=0 的判别式为 Δ ,则 Δ >0?直线与圆锥 曲线 C 相交; Δ =0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ <0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个 交点, 此时, 若 C 为双曲线, 则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; 若 C 为抛物线, 则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 |AB|= 1+k |x1-x2| 2 = 1+k · x1+x2 2-4x1x2 1 1 = 1+ 2·| y1-y2|= 1+ 2· y1+y2 2-4y1y2.

k

k

直线与圆锥曲线只有一个公共点时,是否是直线与圆锥曲线相切? 提示:直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物线与 平行或重合于其对称轴的直线,双曲线与平行于其渐 近线的直线,它们都只有一个公共点, 但不是相切,而是相交.

1.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a 等于( 1 1 1 A. B. C. D.4 2 3 4 解析:选 C 由? 1 = . 4
? ?x-y-1=0, ?y=ax , ?
2

2

)

? ?a≠0, 2 消去 y 得 ax -x+1=0,所以? ?1-4a=0, ?

解得 a

1

2.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( A.1 B.2 C.1 或 2 D.0

b a

x2 y2 a b

)

解析: 选 A 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行, 所以它与双曲线只有 1 个交点. 2 3.设抛物线 x =4y 的焦点为 F,经过点 P(1,5 )的直线 l 与 抛物线相交于 A,B 两点, 且点 P 恰为线段 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. 解析:A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=10,由抛物线定义得|AF|+|BF|=y1+y2+p =10+2=1 2. 答案:12 4.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值 5 m 范围是________. 解析:直线 y=kx+1 过定点(0,1),由题意,点(0,1)在椭圆内或椭圆上.则 m≥1,且 m≠5. 答案:m≥1 且 m≠5 5.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原 5 4 点,则△OAB 的面积为________. 解析:由 c= 5-4=1,知椭圆右焦点为(1,0),则直线方程为 y=2(x-1),联立方程 得

b a

b a

x2 y2

x2 y2

x y ? ? + =1, ?5 4 ? ?y= x- ,

2

2

5 解得 x1=0,x2= , 3

4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1=-2,y2= . 3 1 1 10 5 ∴S△= ×1×|y1-y2|= ×1× = . 2 2 3 3 5 答案: 3

压轴大题巧突破(二) 直线与圆锥曲线的综合应用 [典例] (2013·湖北高考)

(13 分)如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长 分别为 2m,2n(m>n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1,C2 的四个交点按纵坐标从大 到小依次为 A,B,C,D.记 λ = ,△BDM 和△ABN 的面积分别为 S1 和 S2. (1)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λ S2,求 λ 的值; (2)当 λ 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2?并说明理由.
2

m n

[化整为零破难题] (1)基础问题 1:椭圆 C1、C2 的标准方程各是什么?

x2 y2 x2 y2 C1: 2+ 2=1,C2: 2+ 2=1,其中 a>m>n>0. a m a n 基础问题 2:直线 l 与 y 轴重合时 S1,S2 各等于什么?
1 1 2 2 1 1 S2= |AB||ON|= a|AB|. 2 2 基础问题 3:|BD|,|AB|各等于何值? |BD|=m+n,|AB|=m-n. (2)基础问题 1: 设直线 l 为 y=kx,则 M、N 到直线 l 的距离各是多少? |ak| |ak| M 到 l 的距离 d1= ,N 到 l 的距离 d2= . 2 2 1+k 1+k

S1= |BD||OM|= a|BD|,

k2

S1 S2 1 1 S1 |BD| S1= |BD|d1,S2 = |AB|d2, = . 2 2 S2 |AB| |BD| 基础问题 3: 与 xA、xB 有何关系? |AB| |BD| xA+xB = =λ . |AB| xA-xB 2? 基础问题 4:如何用 xA、xB、a、m、λ 来表示 k 2 x2 k2x2 x2 k2x2 x2 A A B B A-xB A(xA , kxA) 、 B(xB , kxB) 分别在 C1 、C2 上,所以 2 + 2 =1 , 2 + 2 = 1 ,∴ 2 + a m a n a 2 2 2 2 2 2 xA-λ xB m xA-xB 2 2 2 =0,依题意得 xA>xB>0,所以 xA>xB,所以 k = 2 . 2 m2 a λ 2x2 B-xA
基础问题 2:S1、S2 各等于什么? 等于什么? 基础问题 5:如何求 λ 的取值? 2 m2 x2 xA xA+xB xA λ +1 λ +1 A-xB 2 由 k >0, 得 2 >0, 解得 1< <λ , 由 =λ , = , 即 1< <λ , 2 2 2 a λ xB-xA xB xA-xB xB λ -1 λ -1

得 λ >1+ 2. [规范解答不失分] 依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为

x2 y2 x2 y2 C1: 2+ 2=1,C2: 2+ 2=1.其中 a>m>n>0, a m a n m λ = >1.1 分 n (1)如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m
1 1 1 1 -n;S1= |BD|·|OM|= a|BD|,S2= |AB|·|ON|= a|AB|. 2 2 2 2 S1 |BD| m+n λ +1 所以 = = = ,3 分 S2 |AB| m-n λ -1 S1 λ +1 2 若 =λ ,则 =λ ,化简得 λ -2λ -1=0, S2 λ -1 由 λ >1,可解得 λ = 2+1. 故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λ S2,则 λ = 2+1.5 分

3

(2)法一:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l, 使得 S1=λ S2.根据对称性,不妨 设直线 l:y =kx(k>0),(Ⅰ) 点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2,则 |-ak-0| ak |ak-0| ak 因为 d1= = ,d2= = , 2 2 2 2 1+k 1+k 1+k 1+k 所以 d1=d2.6 分 1 1 S1 |BD| 又 S1= |BD|d1,S2= |AB|d2,所以 = =λ , 2 2 S2 |AB| 即|BD|=λ |AB|. 由对称性可知|AB|=|CD|,(Ⅱ) 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ -1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ +1)|AB|, |AD| λ +1 于是 = . ①7 分 |BC| λ -1 将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求 得

am an ,xB= 2 2 . 2 a k +m a k +n2 根据对称性可知 xC=-xB,xD=-xA,于是(Ⅲ) 2 |AD| 1+k |xA-xD| 2xA = = 2 |BC| 1+k |xB-xC| 2xB m a2k2+n2 = . ②9 分 n a2k2+m2 xA=
2 2

从而由①和②式可得 a2k2+n2 λ +1 = . ③10 分 a2k2+m2 λ λ - λ +1 令 t= ,(Ⅳ) λ λ - 由(1)可知当 λ =1+ 2,即 t=1 时,直线 l 与 y 轴重合,不符合题意,故 t≠1. n2 λ 2t2-1 2 于是由③可解得 k = 2 . 2 a -t n2 λ 2t2- 2 2 因为 k≠0,所以 k >0,于是③式关于 k 有解,当且仅当 2 >0,等价于(t 2 a -t 1 1 λ +1 ? 2 1? -1)?t - 2?<0,由 λ >1,可解得 <t<1,即 < <1,由 λ >1,解得 λ λ λ λ λ λ - ? ? >1+ 2,12 分 所以当 1<λ ≤1+ 2时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2; 当 λ >1+ 2时,存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2.13 分 法二:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2,根据对称性,不妨设 直线 l:y=kx(k>0),(Ⅰ) 点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2,则 |-ak-0| ak |ak-0| ak 因为 d1= = ,d2= = , 2 2 2 2 1+k 1+k 1+k 1+k 所以 d1=d2.6 分
4

1 1 S1 |BD| 又 S1= |BD|d1,S2= |AB|d2,所以 = =λ . 2 2 S2 |AB| |BD| 1+k |xB-xD| xA+xB 因为 = = =λ , 2 |AB| 1+k |xA-xB| xA-xB xA λ +1 所以 = .8 分 xB λ -1 由点 A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在 C1 ,C2 上,可得
2

x2 k2x2 x2 k2x2 A A B B + =1, 2+ 2 =1, a2 m2 a n 2 2 2 x2 k2 x2 A-xB A-λ xB 两式相减可得 2 + =0, a m2 依题意 xA>xB>0,(Ⅴ) 2 2 所以 xA>xB. 2 m2 x2 A-xB 2 所以由上式解得 k = 2 .10 分 2 a λ 2x2 B-xA 2 m2 x2 xA A-xB 2 因为 k >0,所以由 2 >0,可解得 1< <λ . 2 a λ 2x2 xB B-xA
λ +1 从而 1< <λ ,解得 λ >1+ 2,所以 λ -1 当 1<λ ≤1+ 2时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2; 当 λ >1+ 2时,存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λ S2.13 分 [易错警示要牢记] 易错点一 (Ⅰ)处没有注意对称性,k∈R,使后面求解受阻 易 错点二 (Ⅱ)处不注意对称性,则|AD|与|BC|的比值不易求出,从而思路受阻 易错点三 (Ⅲ)处不注意对称性,则变量 xA、xB、xC、xD 较多运算较大,也易出错 易错点四 (Ⅳ)处如果不换元,则运算量较大,易出现错误 (Ⅴ)处如果不注意 xA>xB,则对 λ 的范围的限制条件发生变化,从而造成结果 易错点五 出错

5


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