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江苏省南京市、盐城市高三数学第一次模拟考试试题

南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试

数学试题

(总分 160 分,考试时间 120 分钟)

注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上.

参考公式:

锥体体积公式:V ? 1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高; 3
柱体体积公式:V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高.

? ? 样本数据 x1, x2,???, xn 的方差 s2

?

1 n

n i ?1

( xi

?

x)2

,其中 x

?

1 n

n i ?1

xi

.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答

题纸的指定位置上)

1.已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? (??,0) ,则 AI B ? ▲ .

2.设复数 z 满足 z(1+? i) ? 2 ,其中 i 为虚数单位,

则 z 的虚部为 ▲ .

开始

3.已知样本数据 x1, x2 , x3, x4 , x5 的方差 s2 ? 3 ,则样本

数据 2x1, 2x2 , 2x3, 2x4, 2x5 的方差为 ▲ .

x←1

4.如图是一个算法流程图,则输出的 x 的值是 ▲ .

5.在数字 1、2、3、4 中随机选两个数字,则选中的数字

y←9

中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .

?x ? 0

6.已知实数

x,

y

满足

? ?

x

??x

? ?

y?7 2? 2y

,则

y x

的最小值

是▲.

7.设双曲线

x2 a2

?

y2

? 1(a

?

0)

的一条渐近线的倾斜角

为 30? ,则该双曲线的离心率为 ▲ .

8.设?an? 是等差数列,若 a4 ? a5 ? a6 ? 21,则

x>y 否 x←x+4
y←y-2

是 输出x 结束

第4题图

S9 ? ▲ .

9.将函数 y ? 3sin(2x ? ? ) 的图象向右平移? ( 0 ? ? ? ? )个单位后,所得函数为偶函数,

3

2

则? ? ▲ .

10.将矩形 ABCD绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱, AB ? 3 , BC ? 2 ,圆柱上底面圆心 为 O , ?EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥 O ? EFG 体积的最大值
是▲.

11.在 ?ABC 中,已知 AB ?

3 ,C

??

uur uur ,则 CA?CB 的最大值为



.

3

12.如图,在平面直角坐标系中,分别在 x 轴与直线

y

y?

3 3

?

x

? 1?

上从左向右依次取点

Ak



Bk



k ? 1, 2,??? ,其中 A1 是坐标原点,使 ?Ak Bk Ak?1

B2 B1

B3 …

都是等边三角形,则 ?A10 B10 A11的边长
是▲.

A1 A2 A3

A4 x

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 为函数

第 12 题图

y ? 2 ln x 的图像与圆 M : (x ? 3)2 ? y2 ? r2 的公

共点,且它们在 点 P 处有公切线,若二次函数 y ? f (x) 的图象经过点 O,P,M,则 y ? f (x)

的最大值为 ▲ .

14.在 ?ABC 中, A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 a2 ? b2 ? 2c2 ? 8 ,则 ?ABC 面积的最

大值为 ▲ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请把答案写在答题纸的指定区域内)

15.(本小题满分 14 分)

如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? AC , D , E 分别是 AB , AC 的中点.

(1)求证: B1C1 ∥平面 A1DE ; (2)求证:平面 A1DE ? 平面 ACC1A1 .

A1

C1

B1

E

A

C

DB

第 15 题图
16.(本小题满分 14 分)
在 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且 bsin 2C ? csin B . (1)求角 C ; (2)若 sin(B ? ? ) ? 3 ,求 sin A 的值.
35

17. (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O : x2

?

y2

?

b2 经过椭圆 E :

x2 4

?

y2 b2

?1

(0 ? b ?

2)

的焦点.

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 交椭圆 E 于 P,Q 两点,T 为弦 PQ 的中点,M (?1, 0), N(1, 0) ,

记直线TM ,TN 的斜率分别为 k1, k2 ,当 2m2 ? 2k 2 ? 1时,求 k1 ? k2 的值.

18.(本小题满分 16 分)
如图所示,某街道居委会拟在 EF 地段的居民楼正南方向的空白地段 AE 上建一个活动中 心,其中 AE ? 30 米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面 图的下部分是长方形 ABCD ,上部分是以 DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采 光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 GE 不超过 2.5 米,其中该太阳光线与水平线的夹角? 满足 tan? ? 3 .
4 (1)若设计 AB ?18 米, AD ? 6 米,问能否保证上述采光要求? (2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计 AB 与 AD 的长度,可使得活动中心的截
面面积最大?(注:计算中 ? 取 3)
←南





D

动C





?





G

A

B

E

F

第 18 题图

19.(本小题满分 16 分)
设函数 f (x) ? ln x , g(x) ? ax ? a ?1 ? 3( a ? R ). x
(1)当 a ? 2 时,解关于 x 的方程 g(ex ) ? 0 (其中 e 为自然对数的底数); (2)求函数?(x) ? f (x) ? g(x) 的单调增区间; (3)当 a ?1时,记 h(x) ? f (x) ? g(x) ,是否存在整数 ? ,使得关于 x 的不等式 2? ? h(x)
有解?若存在,请求出 ? 的最小值;若不存在,请说明理由. (参考数据: ln 2 ? 0.6931, ln 3 ?1.0986 )

20.(本小题满分 16 分)

若存在常数

k(k

?

N*,

k

?

2)

、q

、d

,使得无穷数列?an?

满足

an?1

?

???an ? ? ???qan ,

d, n k
n? k

?N N?,

?,



称数列?an? 为“段比差数列”,其中常数 k 、 q 、 d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列 ?bn? 为“段比差数列”. (1)若?bn? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、 q 、3.
①当 q ? 0 时,求 b2016 ;
? ? ②当 q ? 1 时,设 bn 的前 3n 项和为 S3n ,若不等式 S3n ? ? ? 3n?1 对 n ? N? 恒成立,
求实数 ? 的取值范围;
(2)设?bn? 为等比数列,且首项为 b ,试写出所有满足条件的?bn? ,并说明理由.

南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试

数学附加题部分 (本部分满 分 40 分,考试时间 30 分钟)

21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在

答题纸的指定区域内)

A.(选修 4-1:几何证明选讲)

如图, AB 是半圆 O 的直径,点 P 为半圆 O 外一点, PA, PB 分别交半圆 O 于点 D,C .

若 AD ? 2 , PD ? 4, PC ? 3,求 BD 的长.

P

C D

A

· O

B

第 21(A)图

B.(选修 4-2:矩阵与变换)

设矩阵

M

?

?m ??2

?

2?

3

? ?

的一个特征值

?

对应的特征向量为

? 1? ???2??

,求 m 与 ? 的值.

C .(选修 4-4:坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系

xOy

中,已知直线

l

:

?
?? ?
? ??

x y

? ?

3t 5 4t 5

(t

为参数).

现以坐标原点 O 为极点,以

x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,直线 l 与圆 C 交

于 A, B 两点,求弦 AB 的长.

D.(选修 4-5:不等式选讲) 若实数 x, y, z 满足 x ? 2y ? z ? 1 ,求 x2 ? y2 ? z2 的最小值.
[必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分 10 分)
某年级星期一至星期五每天下午排 3 节课,每天下午随机选择 1 节作为综合实践课(上 午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率; (2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为 X,求 X 的概率分布表与数学
期望 E(X).

23.(本小题满分 10 分)

设n?N* ,n ?3,k ?N* .
(1)求值:

① kCnk ? nCnk??11 ;

? ? ② k2Cnk ? n

n ?1

Ck?2 n?2

?

nCnk??11



k

?

2

);

(2)化简:12Cn0 ? 22Cn1 ? 32Cn2 ? ??? ? ?k ?1?2 Cnk ? ??? ? ?n ?1?2 Cnn .

南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.

1. ??1?

2. 1

3. 12

4. 9

7. 2 3 3
8. 63
14. 2 5 5

9. 5? 12

10. 4

11. 3 2

5. 5 6
12.512

6. 3 4
13. 9 8

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请把答案写在答题纸的指定区域内.

15 . 证 明 :( 1 ) 因 为 D , E 分 别 是 AB , AC 的 中 点 , 所 以

DE // BC ,

...............2 分

又 因 为 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , B1C1 // BC , 所 以

B1C1 // DE .

...............4 分

又 B1C1 ? 平 面 A1DE , DE ? 平 面 A1DE , 所 以 B1C1 ∥ 平 面

A1DE .

...............6 分

(2)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 底面 ABC ,



DE ?





ABC







CC1 ? DE .

...............8 分



BC ? AC



DE // BC







DE ? AC ,

...............10 分

又 CC1, AC ? 平 面 ACC1A1 , 且 CC1 I AC ? C , 所 以 DE ? 平 面

ACC1A1 .

...............12 分

又 DE ? 平 面 A1DE , 所 以 平 面 A1DE ? 平 面

ACC1A1 .

...............14 分

(注:第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明 DE ?平面 ACC1A1 ,类似给分)

16 . 解 : ( 1 ) 由 bsin 2C ? csin B , 根 据 正 弦 定 理 , 得

2sin BsinC cosC ? sin C sin B , …………2 分





sin B ? 0,sin C ? 0







cos C ? 1 , 2

…………4 分



C ?(0,? )







C?? . 3

…………6 分

(2)因为 C

??

,所以 B ? (0, 2? ) ,所以 B ? ?

?(? ?

? ,

),

3

3

3 33



sin(B ? ? ) ? 3







35

cos(B ? ? ) ? 1? sin2 (B ? ? ) ? 4 .

3

35

…………8 分

又 A ? B ? 2? ,即 A ? 2? ? B ,

3

3



sin A ? sin(2? ? B) ? sin(? ? (B ? ? )) ? sin ? cos(B ? ? ) ? cos ? sin(B ? ? )

3

3

3

3

3

3

3

2分

以 …… …1

? 3?4? 1?3 ? 4 3?3

.

2 5 2 5 10

…………14 分

17.解:(1)因 0 ? b ? 2 ,所以椭圆 E 的焦点在 x 轴上,

又 圆 O : x2 ? y2 ? b2 经 过 椭 圆 E 的 焦 点 , 所 以 椭 圆 的 半 焦 距

c?b,

……………3 分

所 以 2b2 ? 4 , 即 b2 ? 2 , 所 以 椭 圆 E 的 方 程 为

x2 ? y2 ?1. 42

……………6 分

(2)方法一:设 P(x1, y1) , Q(x2 , y2 ) ,T (x0 , y0 ) ,

? x2

联立

? ?

4

?

y2 2

? 1,消去

y

,得 (1? 2k 2 )x2

? 4kmx ? 2m2

?4

?

0,

?? y ? kx ? m

所以 x1

?

x2

?

?

1

4km ? 2k

2

,又 2m2

? 2k 2

? 1,所以 x1

?

x2

?

?

2k m







x0

?

?

k m



y0

?

m

?

k

?

k m

?

1 2m





……………10 分

1

1

k1 ? k2

?

?

2m k ?1

?

?

2m k ?1

?

4k 2

1 ? 4m2

?

1 ?2(2m2 ? 2k 2 )

?

?1 2

.

m

m

14 分

……………

方法二:设 P(x1, y1) , Q(x2 , y2 ) ,T (x0 , y0 ) ,



? ?? ? ?

x12 4 x22

?? 4

? ?

y12 2 y22 2

?1

?1

两式作差,得 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 0 ,

4

2



x1 ? x2 ? 2x0



y1 ? y2 ? 2 y0

,∴

x0

?

x1 ? 2

x2

?

?

y0

?

y1

?

y2

?

?

0

,∴

x0 ? y0 ? y1 ? y2 ? ? 0 ,

2

x1 ? x2

又 P(x1, y1) , Q(x2 , y2 ) 在直线

y

? kx ? m 上,∴

y1 x1

? ?

y2 x2

?

k

,∴ x0

? 2ky0

?

0 ,①

又 T (x0 , y0 ) 在直线 y ? kx ? m 上,∴ y0 ? kx0 ? m ,②











2km

x0

?

? 1?

2k 2



y0

?

m 1? 2k 2

.

……………10 分

以下同方法一.

18.解:如图所示,以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.

(1)因为 AB ?18 , AD ? 6 ,所以半圆的圆心为 H (9, 6) ,

半径 r ? 9 .设 太阳光线所在直线方程为 y ? ? 3 x ? b , 4

即 3x ? 4y ? 4b ? 0 ,

...............2 分

则由 | 27 ? 24 ? 4b | ? 9 , 32 ? 42

解得 b ? 24 或 b ? 3 (舍). 2
故 太 阳 光 线 所 在 直 线 方 程 为 y ? ? 3 x ? 24 , 4
...............5 分
令 x ? 30 ,得 EG ?1.5米 ? 2.5 米.
所以此时能保证上述采光要求. ...............7 分

(2)设 AD ? h 米, AB ? 2r 米,则半圆的圆心为 H (r, h) ,半径为 r .

方法一:设太阳光线所在直线方程为 y ? ? 3 x ? b , 4

即 3x ? 4y ? 4b ? 0 ,由 | 3r ? 4h ? 4b | ? r , 32 ? 42





b ? h ? 2r



b ? h ? 2r

(舍).

...............9 分

故太阳光线所在直线方程为 y ? ? 3 x ? h ? 2r , 4

令 x ? 30 , 得 EG ? 2r ? h ? 45 , 由 EG ? 5 , 得

2

2

h ? 25 ? 2r .

........ .......11 分

所以 S ? 2rh ? 1 ? r2 ? 2rh ? 3 ? r2 ? 2r(25 ? 2r) ? 3 ? r2

2

2

2

? ? 5 r2 ? 50r ? ? 5 (r ?10)2 ? 250 ? 250 .

2

2

当且仅当 r ?10 时取等号.

所 以 当 AB ? 20 米 且 AD ? 5 米 时 , 可 使 得 活 动 中 心 的 截 面 面 积 最

大.

...............16 分

方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长 EG 恰为 2.5 米,则此时点 G 为 (30, 2.5) ,

设过点 G 的上述太阳光线为 l1 ,则 l1 所在直线方程为 y-52=-34(x-30),


3x ? 4y ?100 ? 0 .

.......

........10 分

由直线

l1

与半圆

H

相切,得

r

?

|

3r

?

4h 5

?100

|



而点 H(r,h)在直线 l1 的下方,则 3r+4h-100<0,



r ? ? 3r ? 4h ?100







5

h ? 25 ? 2r .

...............13 分

又 S ? 2rh ? 1 ? r2 ? 2r(25 ? 2r) ? 3 ? r2 ? ? 5 r2 ? 50r ? ? 5 (r ?10)2 ? 250 ? 250 .

2

2

2

2

当且仅当 r ?10 时取等号.

所 以 当 AB ? 20 米 且 AD ? 5 米 时 , 可 使 得 活 动 中 心 的 截 面 面 积 最

大.

...............16 分

19.解:(1)当 a

?

2 时,方程

g(ex )

?

0

即为 2ex

?

1 ex

?3

?

0 ,去分母,得

2(ex )2 ? 3ex ?1 ? 0







ex ?1



ex ? 1 , 2

……………2 分

















x?0



x ? ?ln 2 .

……………4 分

(2)因为?(x) ? f (x) ? g(x) ? ln x ? ax ? a ?1 ? 3(x ? 0) , x





? ?( x)

?

1 x

?

a

?

a ?1 x2

?

ax2

?

x? x2

(a

?1)

?

(ax

?

(a

? 1))( x x2

?1)

( x ? 0 ), ……………6 分

①当 a ? 0 时,由??(x) ? 0 ,解得 x ? 0 ;

②当 a ?1时,由??(x) ? 0 ,解得 x ? a ?1 ; a
③当 0 ? a ? 1时 ,由??(x) ? 0 ,解得 x ? 0 ;

④当 a ?1时,由??(x) ? 0 ,解得 x ? 0 ;

⑤ 当 a ? 0 时,由??(x) ? 0 ,解得 0 ? x ? a ?1 . a
综上所述,当 a ? 0 时,?(x) 的增区间为 (0, a ?1) ; a
当 0 ? a ? 1时,?(x) 的增区间为 (0, ??) ;

a ?1





?(x)











(a ?1, ??) . a

.……………10 分

(3)方法一:当 a ?1时, g(x) ? x ? 3 , h(x) ? (x ? 3) ln x ,

所以 h?(x) ? ln x ?1? 3 单调递增, h?(3) ? ln 3 ?1? 2 ? 0 , h?(2) ? ln 2 ?1? 3 ? 0 ,

x

22

2

所以存在唯一

x0

?

(

3 2

,

2)

,使得

h?(x0 ) ? 0

,即

ln x0

?1?

3 x0

?

0,

.……………12 分

当 x ? (0, x0 ) 时, h?(x) ? 0 ,当 x ? (x0 , ??) 时, h?(x) ? 0 ,

所以 hmin (x) ? h(x0 ) ? (x0

? 3) ln x0

? (x0

? 3)( 3 x0

?1) ? ? (x0 ? 3)2 x0

? 6 ? (x0

?

9 ), x0

记 函 数 r(x) ? 6 ? (x ? 9) , 则 r(x) 在 ( 3 , 2) 上 单 调 递

x

2

增,

.……………14 分

所以

r

(

3 2

)

?

h(

x0

)

?

r

(2)

,即

h(

x0

)

?

(?

3 2

,

?

1 2

)



由 2? ? ? 3 ,且 ? 为整数,得 ? ? 0 , 2

所以存在整数 ? 满足题意,且 ? 的最小值为

0.

.……………16 分

方法二:当 a ?1时, g(x) ? x ? 3 ,所以 h(x) ? (x ? 3) ln x ,

由 h(1) ? 0 得 , 当 ? ? 0 时 , 不 等 式 2? ? h(x) 有

解,

.……………12 分

下证:当 ? ? ?1时, h(x) ? 2? 恒成立,即证 (x ? 3) ln x ? ?2 恒成立.

显然当 x ?(0,1]U[3, ??) 时,不等式恒成立,

只需证明当 x ? (1,3) 时, (x ? 3) ln x ? ?2 恒成立.

即证明 ln x ? 2 ? 0 .令 m(x) ? ln x ? 2 ,

x?3

x?3

所以

m?(x) ? 1 ? 2 ? x2 ? 8x ? 9 x (x ? 3)2 x(x ? 3)2

,由

m?(x) ? 0

,得

x?4? 7,

.……………14 分

当 x ? (1, 4 ? 7 ) , m?(x) ? 0 ;当 x ? (4 ? 7,3) , m?(x) ? 0 ;

所以 mmax (x) ? m(4 ?

7) ? ln(4 ?

7) ?

7 ?1 ? ln(4 ? 2) ? 2 ?1 ? ln 2 ?1 ? 0 .

3

3

所以当 ? ? ?1时, h(x) ? 2? 恒成立.

综上所述,存在整数 ? 满足题意,且 ? 的最小值为

0.

.……………16 分

20.(1)①方法一:∵?bn? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、0、3,

?b2014 ? 0 ? b2013 ? 0



?b2015 ? b2014 ? 3 ? 3



?b2016 ? b2015 ? 3 ? 6 .

……………3 分

方法二:∵?bn? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、0、3,

∴ b1 ? 1 , b2 ? 4 , b3 ? 7 , b4 ? 0 ? b3 ? 0 , b5 ? b4 ? 3 ? 3 , b6 ? b5 ? 3 ? 6 ,

b7 ? 0 ? b6 ? 0 ,…

∴当 n ? 4 时,?bn? 是周期为 3 的周期数列.

∴ b2016 ? b6 ? 6 .



…………3 分

②方法一:∵?bn? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、1、3,


? ? ? ? ? ? b3n?2 ? b3n?1 ? b3n?1 ? d ? b3n?1 ? qb3n ? d ? b3n?1 ? ??q b3n?1 ? d ? d ?? ? b3n?1 ? 2d ? 6 ,

? ? ∴ b3n?1 是以 b2 ? 4 为首项、6 为公差的等差数列,

? ? ? ? 又Q b3n?2 ? b3n?1 ? b3n ? b3n?1 ? d ? b3n?1 ? b3n?1 ? d ? 3b3n?1 ,

?S3n ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ?b4 ? b5 ? b6 ? ?L ? ? ? b3n?2 ? b3n?1 ? b3n

? 3?b2 ? b5 L

?

b3n?1

?

?

3

? ?4n ?

?

n

?

n ?1?
2

?

? 6?
?

?

9n2

?

3n





…………6 分

? ? Q

S3n

?

? ? 3n?1 ,? S3n 3n?1

?

? ,设 cn

?

S3n 3n?1

,则 ?

?

cn


max

? ? 又

cn?1

? cn

?

9?n

?1?2 ?
3n

3?n

?1?

?

9n2 ? 3n 3n?1

?

?2

3n2 ? 2n ? 2 3n?1



当 n ?1 时, 3n2 ? 2n ? 2 ? 0 , c1 ? c2 ;当 n ? 2 时, 3n2 ? 2n ? 2 ? 0 , cn?1 ? cn ,



c1 ? c2 ? c3 ? ???



? ? ∴ cn max ? c2 ?14 ,


? ?14

……………9 分





? ??14,???.

……………10 分

方法二:∵?bn? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、1、3,

? ? ∴ b3n?1 ? b3n ,∴ b3n?3 ? b3n ? b3n?3 ? b3n?1 ? 2d ? 6 ,∴ b3n 是首项为 b3 ? 7 、公差为 6

的等差数列,

∴ b3 ? b6 ?L

? b3n

? 7n ? n ?n ?1? ? 6 ? 3n2 ? 4n ,
2

易知?bn? 中删掉?b3n? 的项后按原来的顺序构成一个首项为 1 公差为 3 的等差数列,

?b1 ? b2 ? b4 ? b5 ?L

?

b3n?2

?

b3n?1

?

2n ?1 ?

2n ? 2n
2

?1?

?

3

?

6n2

?

n



? ? ? ? ?S3n ? 3n2 ? 4n ? 6n2 ? n ? 9n2 ? 3n ,

……

…………6 分

以下同方法一.

(2)方法一:设?bn? 的段长、段比、段差分别为 k 、 q 、 d ,

? ? 则等比数列

bn

的公比为 bk?1 bk

?

q

,由等比数列的通项公式有 bn

?

bqn?1 ,

? ? 当 m ? N ? 时 , bk m?2 ? bk m?1 ? d , 即 bqkm?1 ? bqkm ? bqkm q ?1 ? d 恒 成

立, ……………12 分

①若 q ? 1 ,则 d ? 0 , bn ? b ;

②若

q

?1 ,则

q km

?

?q

d
? 1? b

,则

qkm

为常数,则

q

?

?1 ,

k

为偶数,

d

? ?2b



bn ? ? ? ?1 n?1 b ;

经 检 验 , 满 足 条 件 的 ?bn? 的 通 项 公 式 为 bn ? b 或

bn ? ? ? ?1 n?1 b .

……………16 分

方法二:设?bn? 的段长、段比、段差分别为 k 、 q 、 d ,

①若 k ? 2 ,则 b1 ? b , b2 ? b ? d , b3 ? ?b ? d ? q , b4 ? ?b ? d ? q ? d ,

由 b1b3 ? b22 ,得 b ? d ? bq ;由 b2b4 ? b32 ,得 ?b ? d ? q2 ? ?b ? d ? q ? d ,

联立两式,得

?d ? 0 ??q ?1



?d ? ?2b ??q ? ?1

,则

bn

?b



bn

? ? ? ?1 n?1 b

,经检验均合题

意. …………13 分

②若 k ? 3 ,则 b1 ? b , b2 ? b ? d , b3 ? b ? 2d ,

由 b1b3 ? b22 ,得 ?b ? d ?2 ? b?b ? 2d ? ,得 d ? 0 ,则 bn ? b ,经检验适合题意.

综 上 ①② , 满 足 条 件 的 ?bn? 的 通 项 公 式 为 bn ? b 或

bn ? ? ? ?1 n?1 b .

……………16 分

附加题答案

21. A、解:由切割线定理得: PD? PA ? PC ? PB



4?(2 ? 4) ? 3?(3 ? BC)







BC ? 5 ,

…………4 分

又 因 为 AB 是 半 圆 O 的 直 径 , 故

?ADB ? ? ,

…………6 分

2











PDB





BD ? PB2 ? PD2 ? 64 ?16 ? 4 3 .

…………10 分

B















?m ??2

2? ? 1?

?

3

? ?

???2??

?

?

? 1? ???2??





…………4 分

? m? ??2 ? 6

4 ?

?? ?2?



…8 分





? ? ?4 .

m?0

………
, …………10 分

C、解:直线

l

:

?
?? ?
? ??

x y

? ?

3 5 4 5

t t

(t

为参数)化为普通方程为

4x ? 3y ? 0 ,

…………2 分

圆 C 的 极 坐 标 方 程 ? ? 2cos? 化 为 直 角 坐 标 方 程 为

?x ? 1?2 ? y2 ? 1,

…………4 分

则圆 C 的圆心到直线 l 的

d?

4

?4,

42 ? ?? 3?2 5

…………6 分



AB ? 2 1? d2 ? 6 . 5
0分

D、解:由柯西不等式,得 (x ? 2 y ? z)2 ? (12 ? 22 ?12 ) ? (x2 ? y2 ? z2 ) ,



距离为
以 …………1

x ? 2y ? z ? 12 ? 22 ?12 ? x2 ? y2 ? z2 ,

………

…5 分

又因为 x ? 2y ? z ? 1 ,所以 x2 ? y2 ? z2 ? 1 , 6

当且仅当 x ? y ? z ,即 x ? z ? 1 , y ? 1 时取等号.

121

63







? ? x2

?

y2

?

z2

m in

?

1 6

.



…………10

22 . 解 :( 1 ) 这 两 个 班 “ 在 星 期 一 不 同 时 上 综 合 实 践 课 ” 的 概 率 为

P ?1? 3 ? 2 . 3?3 3

…………4 分



2











X ~ B(5, 1)



3

P( X

?

k)

?

C5k

?

1

k
?

?? 3 ??

? ??

2

5?k
?

3 ??

,k

?

0,1, 2,3, 4,5 .

…………6 分

所以 X 的概率分布表为:

X

0

1

2

3

4

P

32

80

80

40

10

243

243

243

243

243

………8 分







X











E(X ) ? 5? 1 ? 5 . 33

…………10 分

23.解:(1)①

kCnk

?

nCnk??11

?

k

?

n!
k!?n ?

k

?! ?

n?

?k

?n ?1?! ?1?!?n ?

k

?!

5
1 243



?

?k

n!
? 1?!? n

?

k

?!

?

?k

n!
? 1?!? n

?

k

?!

?

0

.



…………2 分



k

2Cnk

?

n?n

? ?1

C k ?2 n?2

?

nCnk??11

?

k2

?

n!
k!?n ?

k

?!

?

n?n

?1??

?k

?n ? 2?! ? 2?!?n ?

k

?!

?n

?

?

k

?n ?1?! ?1?!?n ?

k

?!

?

k

?

?

k

n!
? 1?!? n

?

k

?!

?

?

k

?

n!
2 ?!? n

?

k

?!

?

?k

?

n!
1?!? n

?

k

?!

?

?k

?

n!
2?!?n

?

k

?
?!??

k

k ?1

?1?

k

1 ?1

? ??

?

0

.

……

…………4 分

? ? (2)方法一:由(1)可知当 k ? 2 时 ?k ?1?2 Cnk ? k 2 ? 2k ?1 Cnk ? k 2Cnk ? 2kCnk ? Cnk

? ? ? ? ? ??n

n ?1

Ck?2 n?2

?

nCnk??11

??

?

2nCnk??11

?

Cnk

?n

n ?1

Ck?2 n?2

? 3nCnk??11

? Cnk

.



…………6 分

故12Cn0 ? 22Cn1 ? 32Cn2 ? ??? ? ?k ?1?2 Cnk ? ??? ? ?n ?1?2 Cnn

? ? ? ?? ? ? ? ? 12Cn0 ? 22Cn1

? n n ?1

C0 n?2

?

C1 n?2

?L

?

C n?2 n?2

? 3n

C1 n?1

?

C2 n?1

?

L

?

C n?1 n?1

? ? ? ? ? ? ? Cn2 ? Cn3 ?L ? Cnn ? ?1? 4n? ? n?n ?1? 2n?2 ? 3n 2n?1 ?1 ? 2n ?1? n

? ? ? 2n?2 n2 ? 5n ? 4 .



…………10 分

方法二:当 n ? 3 时,由二项式定理,有 ?1? x?n ? 1? Cn1x ? Cn2x2 ?L ? Cnk xk ?L ? Cnnxn ,

? ? 两边同乘以 x ,得 1? x n x ? x ? Cn1x2 ? Cn2x3 ?L ? Cnk xk?1 ?L ? Cnnxn?1 ,







x









?1? x?n ? n?1? ?x n?1 x ? 1? 2Cn1x ? 3Cn2x2 ?L ? ?k ?1?Cnk xk ?L ? ?n ?1?Cnnxn ,


…………6 分

两边再同乘以 x ,得

?1? x?n x ? n?1? x?n?1 x2 ? x ? 2Cn1x2 ? 3Cn2x3 ?L ? ?k ?1?Cnk xk?1 ?L ? ?n ?1?Cnnxn?1


两边再对 x 求导,得 ?1? x?n ? n?1? ?x n?1 x ? n?n ?1??1? ?x n?2 x2 ? 2n?1? ?x n?1 x

? 1? 22Cn1x ? 32Cn2x2 ?L ? ?k ?1?2 Cnk xk ?L ? ?n ?1?2 Cnnxn .



…………8 分



x ?1





2n ? n2n?1 ? n?n ?1? 2n?2 ? 2n2n?1 ? 1? 22Cn1 ? 32Cn2 ? ??? ? ?k ?1?2 Cnk ? ??? ? ?n ?1?2 Cnn ,


? ? ? ? ? ? 12Cn0 ? 22Cn1 ? 32Cn2 ? ??? ? k ?1 2 Cnk ? ??? ? n ?1 2 Cnn ? 2n?2 n2 ? 5n ? 4 .

………

…10 分