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重点名校人教版数学必修五导学全案(习题附详解)第三章3.3-3.3.2第1课时简单的线性规划问题

第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.2 简单的线性规划问题 第 1 课时 简单的线性规划问题 A级 一、选择题 基础巩固 1.若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x -y 的最小值为( ) C.0 D.2 A.-6 B.-2 解析:画出可行域,如图所示, 解得 A(-2,2),设 z=2x-y, 把 z=2x-y 变形为 y=2x-z, 则直线经过点 A 时 z 取得最小值, 所以 zmin=2×(-2)-2=-6,故选 A. 答案:A x-y+2≥0, ? ? 2.(2016· 天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?2x+3y-6≥0,则 ? ?3x+2y-9≤0, 目标函数 z=2x+5y 的最小值为( A.-4 B.6 C.10 D.17 解析:可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A(0,2),B(3, ) 0),C(1,3),直线 z=2x+5y 过点 B 时取最小值 6,选 B. 答案:B 3.某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 需满足约束条 5x-11y≥-22, ? ?2x+3y≥9, 件? 则 z=10x+10y 的最大值是( 2x≤11, ? ?x∈N ,y∈N , * * ) A.80 B.85 C.90 D.95 解析: 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分. 由于 ?11 9? x,y∈N*,计算区域内与? 2 ,2?最近的点为(5,4),故当 x=5,y=4 ? ? 时,z 取得最大值为 90. 答案:C 4.(2016· 浙江卷)在平面上,过点 P 作直线 l 的垂直所得的垂足 x-2≤0, ? ? 称为点 P 在直线 l 的投影.由区域?x+y≥0, 中的点在直线 x+y ? ?x-3y+4≥0 -2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则|AB|=( A.2 2 B.4 C.3 2 D.6 解析:如图,△PQR 为线性区域,区域内的点在直线 x+y-2 = 0 上 的 投 影 构 成 了 线 段 R′Q′ , 即 AB , 而 R′Q′ = PQ , 由 ?x-3y+4=0, ?x=2, ? ? ? 得 Q(-1,1),由? 得 R(2,-2),|AB|=|QR| ?x+y=0 ?x+y=0 ? ? ) = (-1-2)2+(1+2)2=3 2.故选 C. 答案:C x≥1, ? ? 5.已知 x,y 满足?x+y≤4, 目标函数 z=2x+y 的最大值 ? ?x+by+c≤0, 为 7,最小值为 1,则 b,c 的值分别为( A.-1,4 C.-2,-1 B.-1,-3 D.-1,-2 ) 解析:由题意知,直线 x+bx+c=0 经过直线 2x+y=7 与直线 x+y=4 的交点,且经过直线 2x+y=1 和直线 x=1 的交点,即经过 点(3,1)和点(1,-1), ? ? ?3+b+c=0, ?b=-1, ? 所以 解得? ?1-b+c=0, ?c=-2. ? ? 答案:D 二、填空题 x-y+1≥0, ? ? 满足 ?x+y≥0, 则 ? ?x≤0, z = 3x + 2y 的最小值是 6 .若实数 x , y ________. 解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,设 t=x+2y, 1 t 则 y=- x+ , 2 2 当 x=0,y=0 时,tmin=0,z=3x+2y 的最小值为 1. 答案:1 x≥1, ? ? 7.已知 x,y 满足约束条件?x-y+1≤0,则 x2+y2 的最小值是 ? ?2x-y-2≤0. ________. 解析:画出满足条件的可行域(如图),根据 2 2 2 x2+y2表示可行域 ? ?x=1, 内一点到原点的距离,可知 x +y 的最小值是|AO| .由? ? ?x-y+1=0, 得 A(1,2),所以|AO|2=5. 答案:5 x+y-7≤0, ? ? 8.若点 P(m,n)在由不等式组?x-2y+5≤0,所确定的区域内, ? ?2x-y+1≥0 则 n-m 的最大值为________. 解析:作出可行域,如图中的阴影部分所示,可行域的顶点坐标 分别为(1,3),(2,5),(3,4),设目标函数为 z=y-x.则 y=x+z, 其纵截距为 z,由图易知点 P 的坐标为(2,5)时,n-m 的最大值为 3. 答案:3 三、解答题 9.已知 f(x)=(3a-1)x+b-a,x∈[0,1],若 f(x)≤1 恒成立, 求 a+b 的最大值. ? ?f(0)≤1, 解 : 因 为 f(x)≤1 在 [0 , 1] 上 恒 成 立 , 所 以 ? 即 ? ?f(1)≤1, ?b-a-1≤0, ? ? 将 a,b 对应为平面 aOb 上的点(a,b),则其表示的 ? ?2a+b-2≤0, 平面区域如图所示, ?1 4? 其中 A?3,3?,求 a+b 的最大值转化为在约束条件下,目标函 ? ? 数 z=a+b 的最值的线性的规划问题,作直线 a+b=0,并且平移使 5 它通过可行域内的 A 点,此时 z=a+b 取得的最大值为 . 3 10.预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希 望使桌子和椅子的总数尽可能地多, 但椅子数不少于桌子数, 且不多 于桌子数的 1.5 倍,问桌子、椅子各买多少才行? 解:设桌子、椅子分别买 x 张、y 把,目标函数 z=x+y, 把 所 给 的条 件表 示 成 不等 式组 , 即 约束 条件 为 x+20y≤2 000, ?50 ?y≥x, ?y≤1.5x, ?x≥0,x∈N , ?y≥0,y∈N . * * 200 ? x = , ? ? 7 ?50x+20y=2 000, 由? 解得? 200 ? ?y=x ? y = , ? 7 ?200 200? 所以 A 点的坐标为? 7 , 7 ?.

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