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生活中的数学高中版---吴宗辉


数学校本课程(高中版)

崇信县第三中学





数学是打开知识大门的钥匙,是整个科学的基础知识。创新教学 的先行者里斯特伯先生指出: “学生学习数学就是要解决生活问题, 只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题, 我们不能只为了培养尖 端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益, 所以数学首先应该是生活 概念。 ”在生活中学数学,以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引 学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材,将数学 知识巧妙地运用于生活之中,增加了学生对数学的兴趣,实现新课改 所倡导的情感体验,培养良好的科学态度和正确价值观的目标。 数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好,又要激发和 培养学生新的兴趣和爱好,要要求和鼓励学生投入生活,亲身实践体 验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣,给与每个学生 主体性发挥的广阔空间,从而更好的培养学生提出问题、分析问题、 解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人,学有兴趣,习有方 法,必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展,学生的潜能 在自学自育中得到充分开发。 我们的数学校本课程方案包括两个基本部分:一般项目和基本具 体方案。

课程纲要 一、 课程目标: 以贴近生活实际、 加强数学应用为宗旨, 针对数学这门课的特点, 从生活中挖掘数学,提高学生应用数学知识解决有关问题的能力,培 养学生的观察,分析能力,充分发挥学生的创造性,开发学生自身的 潜能,并且加强对学生的动手操作能力的训练,鼓励学生能够展示自 己的研究成功, 培养学生的成功心态, 使学生的心理得到健康的发展, 使每位学生的能力得到充分体现。 二、 课程概况: 本课程由吴宗辉老师负责编写、 数学教研组高中部老师具体负责 实施。 本课程面向高一级和高二级学生实施。 三、 课程内容与活动安排: 让学生体会数学史可发生在我们的周围, 我们的生活空间是无穷 的数学世界,在课堂上多设情景,应用数学解决问题,让他们充分发 挥自己的创造性,感受到数学的乐趣,在愉快、轻松的学习过程中掌 握数学知识,从而培养学生良好的学习习惯,观察事物的能力,形成 正确的人生观、价值观。 授课对象:高一级和高二级学生 授课时间:星期三课外活动,一课时。 授课地点:教室 数学校本课程总的内容:

一、 目标: 以贴近生活实际、 加强数学应用为宗旨, 针对数学这门课的特点, 从生活中挖掘数学,提高学生应用数学知识解决有关问题的能力,培 养学生的观察,分析能力,充分发挥学生的创造性,开发学生自身的 潜能,并且加强对学生的动手操作能力的训练,鼓励学生能够展示自 己的研究成功, 培养学生的成功心态, 使学生的心理得到健康的发展, 使每位学生的能力得到充分体现。 一、 课程介绍: 生活中的数学。以体会数学与人、自然的关系为切入点,使学生感 触学习数学的价值,增强学习数学和应用数学的信心,培养学生动手 实践的兴趣;以创设情景形成良性的学习竞争氛围为基础,使学生在 一个浓郁的学习气氛中互学互助,每个人都要获得成功,每个人都要 进步。 目 录

第一节:理财(储蓄、纳税、保险)中数学 第二节:导航的双曲线 第三节:电冰箱温控器的调节——如何使电冰箱使用时间更长 第四节:赌马中的数学问题 第五节:对称——自然美的基础 第六节:对数螺线与蜘蛛网 第七节:斐波那契数列 第八节:分数维的山峰与植物

第九节:蜂房中的数学 第十节:龟背上的学问 第十一节:Music 与数学 A 股诞生亿万 第十二节:e 和银行业 第十三节:几何就在你的身边 第十四节:“压岁钱”与“赈灾小银行” 第十五节:建议班级购买一台饮水机 第十六节:巧用数学看现实 第十七节:商品调价中的数学问题 第十八节:煤商怎样进煤利润高

第一节:让数学帮你理财 储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题,几乎人 人都会遇到,因此,我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识,以增 强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力. 1.储蓄

银行对存款人付给利息,这叫储蓄.存入的钱叫本金.一定存期 (年、月或日)内的利息对本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和. 利息=本金×利率×存期, 本利和=本金×(1+利率经×存期). 如果用 p,r,n,i,s 分别表示本金、利率、存期、利息与本利 和,那么有 i=prn,s=p(1+rn). 例 1 设年利率为 0.0171, 某人存入银行 2000 元, 年后得到利 3 息多少元?本利和为多少元? 解 i=2000×0.0171×3=102.6(元). s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元). 答 某人得到利息 102.6 元,本利和为 2102.6 元. 以上计算利息的方法叫单利法,单利法的特点是无论存款多少 年,利息都不加入本金.相对地,如果存款年限较长,约定在每年的 某月把利息加入本金,这就是复利法,即利息再生利息.目前我国银 行存款多数实行的是单利法.不过规定存款的年限越长利率也越 高.例如,1998 年 3 月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如 表 22.1 所示.

用复利法计算本利和,如果设本金是 p 元,年利率是 r,存期是 n 年,那么若第 1 年到第 n 年的本利和分别是 s1,s2,?,sn,则 s1=p(1+r), s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2, s3=s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3, ??,sn=p(1+r)n. 例 2 小李有 20000 元,想存入银行储蓄 5 年,可有几种储蓄方 案,哪种方案获利最多? 解 按表 22.1 的利率计算. (1)连续存五个 1 年期,则 5 年期满的本利和为 20000(1+0.0522)5≈25794(元). (2)先存一个 2 年期,再连续存三个 1 年期,则 5 年后本利和为 20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元). (3)先连续存二个 2 年期,再存一个 1 年期,则 5 年后本利和为

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元). (4)先存一个 3 年期,再转存一个 2 年期,则 5 年后的本利和为 20000(1+0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元). (5)先存一个 3 年期,然后再连续存二个 1 年期,则 5 年后本利 和为 20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元). (6)存一个 5 年期,则到期后本利和为 20000(1+0.0666×5)≈26660(元). 显然,第六种方案,获利最多,可见国家所规定的年利率已 经充分考虑了你可能选择的存款方案,利率是合理的. 某银行为鼓励小朋友养成储蓄习惯,提供一个颇有心思的储蓄计 划。参加者除可有较高年息优惠外(见附表),更可以特价换取手表 一只。先不论以低价换表是否真的超值,但这种宣传方法颇具心思。 手表与户口连在一起,正好意味着利息随时间递增的关系。 储蓄计划优惠年息一览表 每月存款(港币)$1,000 存期 (月) 9 每年复息 利率 6.625% 到期存款 (港 币) 9,000 利息(港 币) 252 到期本息金额 (港币) 9,252

12

7.125%

12,000

473

12,473

15

7.375%

15,000

759

15,759

18

7.75%

18,000

1,146

19,146

24

8.00%

24,000

2,106

26,106

传小册子更注明十一岁至十七岁小朋友已可开个人户口。这群 “准客户”大致是接受中学教育的适龄儿童。无论有兴趣参加与否, 总希望他们或早或迟懂得储蓄计划背后的数学原理。 这个储蓄计划是以每月存入定额存款来计算利息, 而存款期限愈 长,利率则愈高。为了更有效理解表中“到期本息金额”如何计算出 来,且让我们设 为每月存款的金额,而 则为月息利率。月息利

率是由“每年复息利率”除以 12 而来的。譬如说,存款期限为 9 个 月,从表中得知每年复息利率是 6.625%,因此月息利率为 6.625%÷ 12,即约是 0.5521%。 存款 1 个月后,到期本息金额: 存款 2 个月后,到期本息金额:

存款 3 个月后,到期本息金额:

余此类推,存款 个月后,到期本息金额

应为:

为了简化这数式,设



因此,

括 号 内 的 数 式 在 数 学 上 称 为 等 比 级 数 ( geometric progression):

首项(first term)是 ,公比(common ratio)亦是 。利用 公式,我们便可把 的数式写成:



现在就让我们运用这公式找出表中第一行的“到期本息金额”:



代入数式



(准确至最接近的整数) 表中其余的“到期本息金额”不如留给你算算,看看表中列的数 字是否有错误吧。 2.保险 保险是现代社会必不可少的一种生活、 生命和财产保护的金融事 业.例如,火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险,人寿保险是由 于人身意外伤害或养老的保险,等等.下面举两个简单的实例. 例 3 假设一个小城镇过去 10 年中,发生火灾情况如表 22.2 所示.

试问:(1)设想平均每年在 1000 家中烧掉几家? (2)如果保户投保 30 万元的火灾保险,最低限度要交多少保险费 保险公司才不亏本? 解 (1)因为 1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家), 365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4096(家). 11÷4096≈0.0026. (2)300000×0.0026=780(元). 答(1)每年在 1000 家中,大约烧掉 2.6 家. (2)投保 30 万元的保险费,至少需交 780 元的保险费. 例 4 财产保险是常见的保险. 假定 A 种财产保险是每投保 1000 元财产,要交 3 元保险费,保险期为 1 年,期满后不退保险费,续保 需重新交费.B 种财产保险是按储蓄方式,每 1000 元财产保险交储 蓄金 25 元, 保险一年. 期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金, 以利息作为保险费.今有兄弟二人,哥哥投保 8 万元 A 种保险一年, 弟弟投保 8 万元 B 种保险一年. 试问兄弟二人谁投的保险更合算些? (假定定期存款 1 年期利率为 5.22%) 解 哥哥投保 8 万元 A 种财产保险,需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240(元). 弟弟投保 8 万元 B 种财产保险,按每 1000 元交 25 元保险储蓄 金算,共交 80000÷1000×25=2000(元), 而 2000 元一年的利息为 2000×0.0522=104.4(元). 兄弟二人相比较,弟弟少花了保险费约 240-104.4=135.60(元). 因此,弟弟投的保险更合算些. 3.纳税 纳税是每个公民的义务,对于每个工作人员来说,除了工资部分 按国家规定纳税外,个人劳务增收也应纳税.现行劳务报酬纳税办法 有三种: (1)每次取得劳务报酬不超过 1000 元的(包括 1000 元),预扣率 为 3%,全额计税. (2)每次取得劳务报酬 1000 元以上、 4000 元以下, 减除费用 800 元后的余额,依照 20%的比例税率,计算应纳税额.

(3)每次取得劳务报酬 4000 元以上的,减除 20%的费用后,依 照 20%的比例税率,计算应纳税额. 每次取得劳务报酬超过 20000 元的(暂略). 由(1),(2),(3)的规定,我们如果设个人每次劳务报酬为 x 元, y 为相应的纳税金额(元),那么,我们可以写出关于劳务报酬纳税的 分段函数:

例 5 小王和小张两人一次共取得劳务报酬 10000 元,已知小王 的报酬是小张的 2 倍多,两人共缴纳个人所得税 1560 元,问小王和 小张各得劳务报酬多少元? 解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①),从已知条件分析 可知小王的收入超过 4000 元,而小张的收入在 1000~4000 之间, 如果设小王的收入为 x 元,小张的收入为 y 元,则有方程组:

由①得 y=10000-x,将之代入②得 x(1-20%)20%+(10000-x-800)20%=1560, 化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560, 所以 0.04x=280,x=7000(元). 则 y=10000-7000=3000(元). 所以

答 小王收入 7000 元,小张收入 3000 元. 例 6 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中 y(x)表示稿费为 x 元应缴纳的税额. 那么若小红的爸爸取得一笔稿费, 缴纳个人所得税后, 得到 6216 元,问这笔稿费是多少元? 解 设这笔稿费为 x 元,由于 x>4000,所以,根据相应的纳税 规定,有方程 x(1-20%)· 20%×(1-30%)=x-6216,

化简、整理得 0.112x=x-6216, 所以 0.888x=6216, 所以 x=7000(元). 答 这笔稿费是 7000 元. 练习八 1.按下列三种方法,将 100 元存入银行,10 年后的本利和各是 多少?(设 1 年期、3 年期、5 年期的年利率分别为 5.22%,6.21%, 6.66%保持不变) (1)定期 1 年,每存满 1 年,将本利和自动转存下一年,共续存 10 年; (2)先连续存三个 3 年期, 年后将本利和转存 1 年期, 9 合计共存 10 年; (3)连续存二个 5 年期. 2.李光购买了 25000 元某公司 5 年期的债券,5 年后得到本利 和为 40000 元,问这种债券的年利率是多少?

3.王芳取得一笔稿费,缴纳个人所得税后,得到 2580 元,问 这笔稿费是多少元? 4.把本金 5000 元存入银行,年利率为 0.0522,几年后本利和 为 6566 元(单利法)?

第二节:导航的双曲线 我们小时侯都曾梦想,长大以后要当上船长就好了。 在茫茫 的大海上,惊涛骇浪,你能顺利地指挥着船队驶向前方吗?好,让 我们的双曲线来帮助你吧。它是大海的导航员。

先来看一看原理。假如你站在广场上,广场的东西两侧各装有一 只喇叭,并且放着欢快的音乐: 北京的京山上光芒照四方,毛主席就是那金色的太阳,多么温 暖?? 我站在广场上,听见第一只喇叭把“金色的太阳”传到耳朵后 的半秒钟,又听到了第二声“金色的太阳”。由于两个喇叭离耳朵 的远近不同,所以产生了听觉上的时间差。再换一个地方,是否还 有这样歌声相差半秒的情形呢?实际上,只要人站的位置与两只喇 叭的距离差与第一次一样就可以了 。因此可以找到很多这样的点。 这些点就构成了双曲线的一支。

轮船航行在海上时,它就处于人的位置。岸上有两个无线电发射 台,用电波代替了喇叭里传出的音乐。轮船行驶在某一位置时,就可 以从接收的电波的相位差,测出轮船与电台的距离差,由此确定了一 条以两个电台为焦点的双曲线。若再和另一对电台联系,可以确定出 另一条双曲线,两条双曲线有一个交点,船就处于这一点上。这一切 都是在一瞬间完成的,因为有很多现代化的工具来帮助我们,你明白 了吗?船长们就是这样来导航的。

第三节:电冰箱温控器的调节——如何使电冰箱使用时间更长 中国自从 1978 年改革开放之后,人民生活水平日益提高,许多家 庭都购买了电冰箱等家用电器。 但是有许多家庭并不了解电冰箱的工 作原理,更不了解电冰箱温控器的工作原理及其调节方法。人民生活 水平固然提高了许多,但是现在也并不是都十分富裕。不正确的使用 电冰箱势必会缩短其使用寿命,带来了不必要的麻烦,同时也浪费了 自然资源和财力。

有一次,我们家中的一台电冰箱工作了很长时间,却一直不停机。 我们吓了一跳,以为电冰箱坏了。我们给维修单位打电话咨询,但是 上上下下仔细查看了整个电冰箱后,才发现只是温控器调节的不正 确。这使我们认识到了冰箱温控器对于电冰箱的重要性。因此,我们

来研究一下电冰箱温控器的正确使用方法, 即如何使电冰箱的使用寿 命更长。

问题:如何正确调节电冰箱温控器,使电冰箱使用寿命更长。

电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化 为低温低压的气态制冷剂, 达到蒸发器周围降温使冰箱内部冷却的目 的。压缩机、冷凝器、干燥过滤器、毛细管则是帮助并保证在蒸发器 中已使用过的制冷剂回复到中温低压的液体, 能再一次送回蒸发器吸 热汽化, 实现单向连续循环制冷。 蒸发器是电冰箱中唯一制冷的器件。 压缩机把蒸发器出来的低温低压的汽态制冷剂经回气管由压缩机吸 入气缸,被压缩为高温高压的气态进入冷凝器,把蒸发器中吸收的热 量和压缩机在压缩做功时转换的热量, 利用制冷剂与周围介质之间有 较大的温差,通过冷凝器全部散发到空气中。制冷剂在冷凝器中因放 热而被液化。这高压中温液态制冷剂经干燥过滤器吸收其中的水分, 滤除其中的杂质,进入毛细管节流降压,使高压液态制冷剂降为低压 而能回到蒸发器重复使用。电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质,在 封闭系统中作单向连续循环, 把冰箱内热量不断的转移到箱外而达到 制冷目的。

电冰箱压缩机是开开停停间歇工作的。电冰箱达到箱内的设定温 度是通过温度控制器控制压缩机的开、停机来完成的。压缩机运转时 间长,即制冷时间长,则箱内温低;反之箱温就高。温度控制器二个 触点串联在压缩机电路中, 当箱内温度低到某一设定温度时则温控器 触点跳开,压缩机停转,暂停制冷,随后箱内温度逐渐提高,在箱内 温度高到另一设定温度时则温控器触点闭合, 压缩机又运转制冷?? 如此循环。使箱内温度保持在一定范围内。

电冰箱温控器中的感温包感受蒸发器的温度,当温度升高或降低 时,感温元件中感温剂膨胀或收缩,使非刚性元件感温腔(波纹管或 膜盒)推进或退缩,从而改变感温元件与弹簧片之间的作用力通过温 控器中机械传力放大,使感温腔微小形变产生的微小位移放大,控制

电触点,使其闭合或断开电路。温控器指向的数字,并不表示确切的 温度,而是表示控制温度高低的程度趋向,数字小表示控制在较高温 度,数字大则表示控制在较低温度。

我们认为,压缩机的使用寿命在很大程度上决定了电冰箱的使用 寿命。 而影响压缩机工作时间的因素主要有: 外界温度、 温控器档位、 冷冻室食品量、开关冰箱门习惯。当电冰箱工作稳定后,冷冻室食品 量对其影响十分微小,但不可以忽略不计。无论是在寒冷的冬季,还 是在炎热的夏季,冰箱中的食品都是在不断的吸热和放热。当冰箱内 冷汽散失时,食品吸热;当电冰箱制冷吸热时,食品放热。这在夏季 时最为明显:当电冰箱停机时,冰箱内食品越多其停机时间越长,因 为如果假设食品的平均比热容不变, 那么根据物理学关于热能的公式 Q=M×C×Δ T 可知食品量与停机时间成反比。其中 Q 为食品热量变 化,C 为食品平均比热,Δ T 食品温度变化量。因此,冰箱内食品量 的多少也是十分重要的。实际上,外界温度随季节变化而变化,温控 器档位靠人工调节, 冰箱内的食品量和如何开关门对于一个家庭来节 变化不会很大,因为已经形成了习惯。但是,使用时如果压缩机长时 间连续工作,压缩机温度就会升高,就会造成热冲击。过多的热冲击 会缩短压缩机的使用寿命。因此,我们只要调节温控器档位,使电冰 箱冷冻室温度不低于某一温度, 而且压缩机在非长时间连续工作的条 件下(不超过一个小时),工作时间与工作、停机的时间和的比值最 小(如工作 10 分钟,停机 10 分钟,则比值为 0.5),即压缩机的使

用寿命更长,就可以使电冰箱的使用寿命更长。同时,电冰箱的耗电 量也降低了。这样,一台电冰箱在使用过程中既省电,又可以延长使 用寿命,当然十分经济。通过电冰箱生产厂家的电话咨询,专业技术 人员肯定了我们的上述看法。于是我们就此进行了一些实验,并通过 电话咨询得到了一些准确的数据。

在北京等中国北方城市,冬季的供暖由市区县的各供暖单位负责 保证。政府规定,冬季居民室内的温度不得低于 16 摄氏度。北京市 的供暖单位现在一般能够保证这个温度在 18 摄氏度左右,最高温可 达 20 摄氏度,最低温绝不低于 16 摄氏度。因此,可以认为我国北方 冬季家庭室内温度在 18 摄氏度左右。又因为,我国北方春秋季节家 庭室内温度也在 18 摄氏度左右,偏冷的地区依然有暖汽等供暖,甚 至常年不断。所以,可以认为,我国北方春秋冬三季的家庭室内温度 均在 18 摄氏度左右。就一般家庭而言,熟食一般现吃现买,生食一 般只放几个星期。 电冰箱冷冻室的食品量一般占冷冻室容积的五分之 三左右,且一般变化不是很大。就是说,一般家庭的食品量对冰箱的 影响基本相同。

综上所述,我们理想化的实验条件是我国北方春秋冬三季一般家 庭的电冰箱。 在研究这个问题时可以把食品量和室内温度作为常数来 考虑。由于每次开冰箱门时都会使冰箱内食品吸热升温,所以不同人 的开门习惯和速度会影响到冰箱的制冷效果。比如说:老人可能手脚

不是很利落,而且拿一件东西要想一下;年轻人可能一只手开门,另 一只手就把东西拿出来了。为了简便计算,我们可以认为,在一个家 庭中不考虑老人与青年人的分别, 只考虑平均到每个家庭成员的使用 效果,那么各个家庭的情况基本相同。结果是,我们在计算过程中可 以忽略这一因素的影响。我们想利用家用电冰箱来进行一次实验。于 是我们选用了长岭阿里斯顿 ——BCD 208 型电冰箱,在保持室温为 18 摄氏度且食品量始终占冷冻室有效容积五分之三不变的情况下, 测定了一些数据。这种电冰箱属于中等档次的家用电器,制冷效果属 于一般水平。 目前许多家庭使用的电冰箱的制冷效果和保温能力都与 其相差无几。这些满足了本论文前面交代的实验条件,可以作为该条 件下的一个例子,来解决这个问题。于是我们开始了实验。实验进行 了一个多星期,每组数据(既一个档位)间间隔二个小时,让电冰箱 进行调节,以保证数据的准确性。

这台冰箱的温控器旋钮有六个档位,分别是从零到五。第零档为 停机档,既电冰箱压缩机停止工作,不会启动;第五档为速冻档,即 压缩机一直启动,不会停机。因此,我们不能选第零档,因为冰箱不 会制冷;不能选第五档,因为冰箱持续工作,即浪费电能,又会造成 热冲击,还有可能冻坏食品。我们设工作时间与工作、停机的时间和 的比值为 y ,设电冰箱温控器档位为 x 。则自变量 x 的取值范围为 (0,5)。在平面直角坐标系中描点作图,为了便于计算,且不影响 结果的正确,我们在计算时把原y值扩大了 100 倍。这样可以方便计

算,也能方便作图。观察散点的分布,我们认为这些点极有可能是在 一条抛物线上,因此设 y 关于 x 的函数为 。我们

在后面附有实验数据列表和用绘图工具 《几何画板》 作出的函数图象。 其中, 表格包含五组数据, 在测定时每组数据之间至少间隔两个小时, 因为电冰箱需要约一个小时来调整。函数图象有一个大致的轮廓。图 中的空心圆点表示描点,实心圆点表示当 x 为 4.5 时函数图象上的 点。

我们分别以三组数据为一组,把五组数据分成了十组。设五组数 据对应函数图象上的点从左至右依次为 A、B、C、D、E,则将五组数 据分组为:ABC、ABD、ABE、ACD??BDE、CDE。每组可分别解出一个 函数,但都有一定误差。其中,凡是包含数据组 E 的组误差都十分 大,且不太正常。我们认为是由于压缩机升温且冷凝器温度升高散热 变慢,导致电冰箱工作异常。这种可能性十分大,属于正常现象。通 过电话咨询,冰箱厂家的技术人员肯定了我们的想法,并告诉我们: 目前一些高级的冷凝管可以大大提高散热效率,但造价颇高,且调节 温控器就可解决问题,没必要多花钱去生产。于是把数据组 E 舍去, 只计算前四组,又可以分为四组:ABC、ABD、ACD、BCD。以这四组数 据分别解出一个函数,这四组函数中也存在误差,但是应该保留数据 组 A 存在误差的那一分组。因为,温控器调得过低后也会造成冰箱 本身的问题。由于档位越低,要求达到的温度越高(不一定始终在设 定温度以下) 所以要工作的时间就比较短, , 但停机时间缩短得更多。

就是说,冰箱内的食品在较长时间内放出了热量,在较短的时间内又 吸入了大致相同的热量。冰箱在这时需要适度调低要求达到的温度。 这就是为什么要注意温控器的调节。就是说,由 BCD 解得的函数对 于点 A、D 的误差属于合理误差。最后,只有 BCD 这一组的不合理误 差最小(此时 A 点误差为-0.36),最后解得的函数即为所求的函数 y=f(x)。

由数据组 BCD 解函数:

当 x = 2.574 时,函数有最小值 y = 35.846;

所以,温控器旋钮应指在 2.574 的位置。

可是由于实验中不可能消除误差,所以应指在 2、3 之间的一个 位置,室温稍低时就调低一点儿,反之就高一点儿,一般家庭不用经 常调,温度差 2 到 3 度不会有大影响。但是不同的电冰箱性能不同, 具体的食品量在变化,外界温度也会上下浮动,每个人每一次开门造 成的影响都不相同,不同品牌电冰箱温控器控制面板也不相同。所以

忽略绝大多数家庭相同的因素,只须再考虑不同的电冰箱性能不同、 电冰箱温控器控制面板也不相同。尽管不同的电冰箱性能不同,但是 它们的工作原理相同,都是在不断的吸热、放热。就是说,它们在那 个档位基本上都是最佳的。虽然电冰箱温控器控制面板不相同,但是 内部旋转多少角度能调节多少温度,却是同样基本相同的。目前市场 上比较多的样式主要有:“0”到“5”,“1”到“7”和“弱”、 “中”、“强”。由于我们实验用的电冰箱配备的是第一种样式的温 控器,所以对应到其它两种样式分别是“3”、“4”档之间和“中” 略偏“弱”。

问题解决了,是在中国北方春秋冬三季,一般家庭家用电冰箱温 控器的调节。目的是如何更经济的使用好电冰箱。答案就是上一段最 后的几句话。问题虽然很小,而且用的就是解方程的方法,但却能培 养我们从生活中寻找数学问题、运用数学知识的好习惯。这对于推行 素质教育是一个极佳的方法,它使学生因为自己的兴趣而学习,知识 也就更加牢固。另外,这个问题可以扩展到其它方面。如下水道的清 理问题,你必须知道什么时候清理最合理:时间早了浪费物资,晚了 又极难工作。当然牵扯的量也是相当多的。我们相信,通过我们不断 的学习,我们将解决更多的生活中的问题。

第四节:赌马中的数学问题

随着中国的改革开放, 境外许多事物渐渐被生活在大陆的人知晓 诸如赌马、六合彩等常在媒体中提及。对我们来说,了解一些原来不 熟悉的东西也是必要的。其实,一些博彩游戏和古老的赌博有许多相 似之处,我们可以用初等概率知识对其中的现象作一定的分析。

我们以赌马问题为例。为简便起见,假设只有两匹马参加比赛。 通过对决定马匹胜负的各因素的研究以及对以往赛事胜负情况的统 计分析,我们可得出两匹马各自胜出的实际概率。不失一般性,设其 中一匹马胜出的实际概率为 ,则另一匹马胜出的实际概率为 那么,参赌者该如何下注以最大的限度确保他们能赢得钱呢? 。

要解决这个问题必须先弄明白庄家的赔率是如何设定的。 所谓赔 率,是指押注一元钱于胜方所获得的总金额。举例来说,若赔率为 1.65 元,则如押注一元的一方恰好胜出,可得收益 0.65 元,加上本 金,一共可得 1.65 元。若押注负方,则会失去所押注的 1 元,但不 须另外再输钱。现在,我们知道了马匹胜出的实际概率,知道了庄家 设定的赔率, 就可以分析参赌者该如何下注。 这里, 设总金额为 1 元, 并设在第一匹马上押注 元,则在第二匹马上押注 。至于具体押

注多少,参赌者可以将总金额按该比例分配给这两匹马。于是,可得 下表: 马匹 胜出的实际概 第一匹 第二匹

率 庄家设定赔率 (元) 押注(元) 如果第一匹马赢,参赌者可得到 赌者的收益为 元,再减去付出的 1 元,参

元;同理,如果第二匹马赢,参赌者收益为 ,参赌 为 , 其 中

元。考虑到两匹马胜出的实际概率分别为 和 者 的 期 望 收 益

。另外,若参赌者把所有钱都押注于第一匹马时期望收益为 ;若参赌者把所有的钱都押注于第二匹马时,期望收益为 。

自然,参赌者希望收益 赢利。所以要求:

,这样,他们才能以一个正的概率 。

1)当

,且

,即当



时,不论 取何值, 恒大于 0,且当 趋向 1 时, 趋向于 极大值 时, 有收益 上。 。实际上,当 ,即参赌者把钱全押注于第一匹马上

, 所以参赌者应当把钱全部押注于第一匹马

2)当



,即当



时,收益 随着 的变大而变小,且当 趋于 0 时, 趋于极 大值 上时,有收益 二匹马上。 。实际上,当 ,即参赌者把钱全押注于第二匹马 。所以参赌者应当把钱全押在第

3)当



时,为使

,应满足:

。又∵ 且 时,参赌者按

,∴

,即

。即当



分配赌注可期望赢利。且当 。同 1)情况可知,这时,参赌 。

趋向于 1 时,收益 趋于极大值

者应把钱全押注于第一匹马上,有收益

4)当

,且

时。

这时不论赌注如何分配, 参赌者的期望收益恒为负。 在这情况下, 参赌者介入其中是不理智的行为。

以上是参赌者在已知胜出概率及赔率时选择的策略。同样,庄家 在设置赔率时,一定会对实际各匹马胜出的概率作一番认真研究,由

此设定相应赔率。这样,他才有可能不赔本。由此当庄家设置一个赔 率时,我们也可以反推庄家所估计的各匹马胜出的概率。例如,庄家 赔率设定为 15, 则我们大致可以知道该马匹胜出概率大致应小于 。

其实,在其它涉及赔率、押注的简单模型中,我们也可以用相应 的方法进行分析。当然,这只是对实际情况的一种简化。现实生活中 的赌马不会仅有两匹, 并且要求出各马匹实际胜出的概率是件非常困 难的事,在一般情况下,只能求得近似解。

第五节: 对称——自然美的基础 在丰富多彩的物质世界中,对于各式各样的物体的外形,我们经 常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意,令人赏心悦目。 每一朵花,每一只蝴蝶,每一枚贝壳都使人着迷;蜂房的建筑艺术, 向日葵上种子的排列,以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。 仔细的观察表明,对称性蕴含在上述各种事例之中,它从最简单到最 复杂的表现形式,是大自然形式的基础。

花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置,每一花瓣 会占据它相邻花瓣原来的位置,花朵就自相重合。旋转时达到自相重 合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为 72°, 水仙花为 60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相 同的构造,分两侧对称(如蝴蝶),辐射对称(放射虫,太阳虫等)。 我国最早记载了雪花是六角星形。其实,雪花形状千奇百怪,但又万 变不离其宗(六角星)。既是中心对称,又是轴对称。

很多植物是螺旋对称的,即旋转某一个角度后,沿轴平移可以和 自己的初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列,向四面八方伸 展,不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向 日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。

“晶体闪烁对称的光辉”,这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪 乎在古典童话故事中,奇妙的宝石交织着温馨的幻境,精美绝伦,雍 容华贵。 在王冠上, 以其熠熠光彩向世人炫耀, 保持永久不衰的魅力。

第六节:对数螺线与蜘蛛网 曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮,稳坐军中帐。摆下八卦阵, 只等飞来将。”动一动脑筋,这说的是什么呢?原来是蜘蛛,后两 句节的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。我们知道,蜘蛛网既是它栖 息的地方,也是它赖以谋生的工具。而且,结网是它的本能,并不 需要学习。

你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的 呢?你心中是不是有一连串的疑问,好,下面就让我来慢慢告诉你 吧。在结网的过程中,功勋最卓著的要属它的腿了。首先,它用腿 从吐丝器中抽出一些丝, 把它固定在墙角的一侧或者树枝上。 然后, 再吐出一些丝,把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来,用一根特别的丝把 这个轮廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝, 沿着脚手架,小心翼翼地向前走,走到中心时,把丝拉紧,多余的

部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中,在合适的地方加 几根辐线, 为了保持蜘蛛网的平衡, 再到对面去加几根对称的辐线。 一般来说,不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多,42 条;有带的蜘蛛次之,也有 32 条;角蛛最少,也达到 21 条。同一 种蜘蛛一般不会改变辐线数。

到目前为止,蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分,相临的辐 线间的圆周角也是大体 相同的。现在,整个蜘蛛网看起来是一些 半径等分的圆周,画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从中心开始,用 一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的 丝。然后,它又从外圈盘旋着走向中心,同时在半径上安上最后成 网的螺旋线。在这个过程中,它的脚就落在辅助线上,每到一处, 就用脚把辅助线抓起来,聚成一个小球,放在半径上。这样半径上 就有许多小球。从外面看上去,就是许多个小点。好了,一个完美 的蜘蛛网就结成了。

让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心 的那根螺旋线,越接近中心,每周间的距离越密,直到中断。只有

中心部分的辅助线一圈密似一圈,向中心绕去。小精灵所画出的曲 线,在几何中称之为对数螺线。

对数螺线又叫等角螺线, 因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上 这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工 业生产中,把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数;螺线的形状,抽水 就均匀;在农业生产中,把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状,它就 会按特定的角度来切割草料,又快又好。

第七节: 斐波那契数列 斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁,人们深信这不是 偶然的。

(1)细察下列各种花,它们的花瓣的数目具有斐波那契数:延龄 草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴 蝶花。

(2) 细察以下花的类似花瓣部分, 它们也具有斐波那契数: 紫宛、 大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合:

3?????????百合和蝴蝶花

5?????????蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草

8?????????翠雀花

13?????????金盏草

21?????????紫宛

34,55,84?????雏菊

(3) 斐波那契数还可以在植物的叶、 枝、 茎等排列中发现。 例如, 在树木的枝干上选一片叶子,记其为数 0,然后依序点数叶子(假定 没有折损),直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半 是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循 回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶 子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列) 比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

(4)斐波那契数有时也称松果数,因为连续的斐波那契数会出现 在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。 这种情况在向日葵的 种子盘中也会看到。此外,你能发现一些连续的鲁卡斯数吗?

(5)菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝,我们 可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。

斐波那契数列与黄金比值

相继的斐波那契数的比的数列:

它们交错地或大于或小于黄金比 的值。该数列的极限为 。这 种联系暗示了无论(尤其在自然现象中)在哪里出现黄金比、黄金矩 形或等角螺线,那里也就会出现斐波那契数,反之亦然。

第八节: 分数维的山峰与植物

大厅的灯光暗下来,帐幕徐徐打开,银幕上出现了根据 J.R.R.Tolkien 的三部曲“Lord of the Rings”所改编的电影。 Frodo 在一个开阔的峡谷里溜达着。远处,锯齿状的冰雪覆盖着的山 峰耸入云端。近处有些不知是什么种类的奇花异木在阳光下闪烁。转 眼,屏幕上的奇景变成了一个男巫凝视着一只水晶球,在这球体的中 央出现了一个堡垒,火焰正从它的城垛里窜出来。

虽然现在还很难说 Frodo 是否会在这样的电影里出现, 但我肯定 那些山峰、树木、水晶球以及火焰都会奇妙地出现在银幕上。这个成 就主要将归功于 Pixar 公司(即从前的 Lucasfilm 计算机绘图实验室) 所开发的软件和硬件。 有家用计算机的读者都能够在计算机上作出基 本类似于这些东西的图形来。由于本文篇幅所限,不能在此对水晶球 和火焰作一个广泛深入的论述,但还是能够揭示产生它们的基本原 理。

在上面描述的假想的电影中, 我们可以把摄像机移向 Frodo 身后 的那些山峰上。 人们可能从来没有见过比这些山峰更令人生畏的大片 陆地了。每一个大的山峰都由一些较小的山峰构成,而这些较小的山 峰又由比它们更小的山峰组成, 如此下去就形成了一种小山峰的无穷 回归。 即使一个有皮质脚的滴水嘴一样的海怪站在这样一个犬牙般的 地方也会感到难受(见彩图 11)。

原则上,这样的一种山的图形是容易作出来的。为简便起见,我 假定这山覆盖了一个三角形的地面。找出每条边的中点,用三条线段 把这三个中点连起来。就把这三角形分成了四个较小三角形。用同样 的办法再分这四个小三角形。这一过程不断进行,直到达到分辨率极 限或计算时间极限为止。 结果是得到一大堆令人感到枯燥无味的三角 形。如果要使这图形变得生动一些,可以在作图过程中加进一条有关 垂直方向上的规则:每当新的中点画在图上时,就使其向上或向下移 动某一随机量。通常这个随机数必须随三角形的逐渐变小而减少。这 一规则把那些三角形变成弄皱了的山峰和褶皱(见图)。

为什么这一种方法会作出那样逼真的山峰图案呢?答案在于这个 过程中产生了一个分数维图形, 即当图案不断放大时会显露出更多的 细节的图形。分数维形态在自然界似乎是随处可见。我们可以用一个 关于海岸线的例子解释分数维图形的基本概念。假设我们要用一根 l000 米长的测量杆测量出法国海岸线的长度,那么就得沿着海滩向 前一杆一杆地进行艰难的测量,同时数出有多少个 l000 米。然而这 样会把许多小的海湾和海岬遗漏掉, 所以用这种办法测出的最后得数 是不那么准确的。用一根 l 米长的测量杆重复这一过程,会得出一个 更精确、数字更大的结果。但即使如此,也有大量的小海湾和岬地被 遗漏掉了。无疑,用一根 l 厘米长的测量杆结果就会更为精确。

一般规律是,当测量杆变小时,测出的海岸线长度会增大。测出 的长度与测量杆杆长之比率为一个专门值,这个值称为分数维。分数 维与通常说的维不同,它往往被表达成一个分数,而不是一个整数。 例如我们讨论的海岸线的维数可能就是一个 3/2 的分数维。 可以把这 样的一种形状想象成一个介于一维形状(直线)和二维形状(平面)之 间的中间形状。如果海岸线比较直,其分数维就接近于 1。如果海岸 线很曲折,其分数维就接近于 2,此时它几乎填满一个二维平面。

自然界的分数维模型实际上隐含了细节的无穷回归。 从计算机绘 图的角度来看,无穷回归是无关紧要的问题;只要景物看来是具有各 级放大水平上的细节就行了。在达到屏幕分辨率的极限之前,计算机 上生成的山的特征就与上述分割过程中最终所得的三角形的特征一 样精细。完整的山峰绘制算法太长太复杂,无法在此作足够详细的介 绍。但有一个简单的程度可以绘出 Mandelbrot 峰的断面,它称为 MOUNTAIN。该程序体现了沿垂直轴随机移动中点这一基本早想。开始 时是一条水平线段。确定其中点,使其向上或向下移动一段随机地确 定的距离,然后把由此产生的两个线段再分,并使其各自中点也按此 规则移动。用类似于再分三角形的方法可把这一过程不断地进行下 去。

程序 MOUNTAIN 有两个数组,叫做 points 和 lines。其作用是保 持计算机屏幕上的山的轮廓。每个数组分别有两列和足够多的行(比

如说 2048 行)以方便地调整屏幕分辨率;points 的两列是坐标值, 而 lines 的两列则是下标。每条线段定义为数组 points 中表明该线 段终点坐标的一对位置。 观察一个普通的多边形通过一连串的再分后 形成山的轮廓这一过程是非常有趣的,所以程序 MOUNTAIN 使每一次 图案的形成都处于用户的控制下。在—次主循环结束时,程序询问用 户是否需要另一次迭代,如果回答是肯定的,那么执行会再返回此程 序的开头。

主循环的作用是把当前的点与线段的集合变成大 1 倍的新集合。 为实现这一点,它一次一行地对数组 lines 进行扫描,查寻其对应点 的下标并从数组 poinlts 中检索出它们的坐标。 在已知某一给定线段 的两个端点坐标后,程序就可以计算出该线段的中点坐标,同时随机 地改变 y 坐标的值。 下面所列出的算法过程为程序的编制提供了充分 的基础,其中变量 j 和 k 是指数组 points 和 lines 中当前正保持着 再分的最新结果的那些“行”。变量 pts 和 lns 记录在进入主循环之 前构成山的点和线段的数目。开始时 j 等于 pts,k 等于 lns。下标 i 从 1 到 lns。

MOUNTAIN 程序的这一部分在很大程度上是不言自明的。当第 j 点的坐标计算出来后, 下标 j 就被存贮起来作为第 i 条线段的第二个 点和第 k 条线段的第一个点。 i 条线段的第一个点与其原来的一样, 第 而第 k 条线段的第二个点与第 i 条线段原来的第二个点, 即带有下标 b 的那个点相同。当循环最终计算后,pts 和 lns 必须分别复置为 j 和 k 的最新值。 变量 range 是在程序的开头由用户确定各再分点在垂 直方向上随机移动量的最大值。 每次循环结束时, 该变量就要除以 2, 使得这一随机移动量与线段尺寸成比例地减小。函数 random(range) 用于表示在 0 和变量 range 的当前值之间所选择一个随机数。

如果 Frodo 身后的那些山峰是令人难忘的,那么,他周围的村木 和植物就更是令人难忘。它们既逼真又奇特。之所以逼真,是因为它

们有与真实植物一样的分枝, 而之所以奇特是因为它们不是常见的物 种。大概是图形设计者有太多的参数可以任他使用,因此他禁不住要 创造一些新的植物种类。

这些新的植物种类被叫做“嫁接”(graftal)植物,因为它们是在 图形(graph)的基础上形成的,且有内在的的分数维性质。这里所谓 的“内在分数维性质”,指的是用于生成植物图案的基本拓扑特征的 规规则可以(但实际上没有)应用于屏幕分辨率的极限。简言之,植物 的细枝条不会无限地回归成更小的枝条。 一旦作为植物的基础的图形 发展起来, 计算机就能用大小、 颜色、 厚度、 质地等解释植物的图形, 从而把它变换成无数的令人信服的植物种类。

某一给定植物所据以形成的图形是由 L 系统产生, 这种系统是丹 麦生物学家和数学家 Aristid Lindenmeyer 在 1968 年提出的一种语 法类别。 一个 L 系统实际就是一套用于从旧的字符串中推导新的字符 串的规则。例如,根据下列规则,用数字 0 和 1 以及符号[和]能够生 成一系列复杂的植物:

0→l[0]1[0]0

l→11

[→[

]→]

为了弄清如何应用这些规则, 我们从由单个的符号 0 组成的字符 串开始。将箭头左边的每一个符号都用与其对应的右边的符号来代 替,就可以一个接一个地得到下列的字符串:

01[0]1 [0]011[1[0]l[0]0]ll[1[0]1[0]0]1[0]l

[0]0

把每个数字(0 或 1)当作一条线段,每个括号当作一个分支点, 就可把这样的字符串变换成树一样的图形。0 和 1 所代表线段的长度 相等,其区别在于 0 线段的外端上要加一片叶子,而 1 线段上则什么 也不加。

例如字符串 1[0]1[0]0 的茎是由三个不在括号内的符号组成的。 最下面的是 1 线段, 中间也是 1 线段, 顶部则是 0 线段。 两根枝条(每

根均是一条 0 线段)从茎上长出来。 第一根枝条长在第一条 1 线段上, 第二根枝条则长在第二条 1 线段上。 读者可以试画一下树茎最初几次 生成的图案。为了使植物更逼真,对这个模型可以加上另外一些解释 性的规则;例如,对于任何给定的茎(不管它是否主茎),都可以使枝 条轮流地从左右两侧长出。

一个叫 PLANT 的由两部分组成的程序产生上述序列中的第 n 个字 符串,然后把它表示成一个线段图。在该程序的第一阶段,PLANT 将 它所生成的字符串保存在被称为 String A 及 string B 的两个符号数 组中。每一代植物图形轮流地占据两个数组中的一个,即某一数组中 所存贮的那一代是由另一数组中所存贮的上;代得来的。也不一定非 要在数组中存贮符号。只要程序的代换过程是正确的,数字 0,l,2 和 3 也完全可以。

L 系统规则在条件语句中体现出来;例如可以采用下面这段算 法编码把 StringA 的第 i 位上的 1 个 0 变成 string B 中的九个新的 符号:

如果 stringA(i)=0,那么

stringB(j)←1

stringB(j+1)←2

stringB(j+2)←0

stringB(j+3)←3

stringB(j+4)←1

stringB(j+5)←2

stringB(j+6)←0

stringB(j+7)←3

stringB(j+8)←0

j←j+9

这里 0 和 1 代表它们自己, 2 和 3 分别代表[和], 而 如果 string A 的第 i 个符号是 0,那么,程序把序列 l,2,0,3,l,2,0,3, 0 插入数组 string B 中以下标 j(即数组 string B 的尚未填入符号的 第;个年置)开头的九个连续位置上。程序 PLANT 的第一阶段中的一

个单循环就含有四个上述的条件语句, 每个语句相应于可能遇到的一 个符号。循环用下标 j 来指出当前这一代中正被处理的那个符号。循 环执行的次数依用户的愿望而定。在每一次生成后,程序 PLANT 会询 问用户是否希望另一个更长的字符串。

PIANT 的第二个阶段(即绘图阶段)把第一个阶段产生的字符串变 换成一个图形。 它循环地执行这一过程: 只要左括号(或 2)没有出现, 它就在一个给定方向上绘出一系列线段。 当碰到某一对括号中的左括 号时。程序就在一个新的方向(从前一个方向反时针转 45°)上绘出 后面的线段。当对应的右括号出现后,这一过程就终止。这时画出一 片叶子,它的形状和颜色都留给读者去想象。第二个左括号的出现使 该程序又重复进行。只是现在的方向是顺时针 45°。其他的工作都 是自动进行的。

PIANT 用了一个随被绘出的植物的复杂性而定的比例因数。 例如, 第 n 代植物的高度大约为 2n 条线段, 如果屏幕的高是 200 个像元, 那 么每根线段就必须短于 200/2n 雄心勃勃的读者们无疑会尝试生成语 法、枝条角度及叶片形状等方面的新花样。如果具有这些新花样的图 案在同一屏幕上生成,植物和树木的风景就会出现了(当然不是很逼 真的)。

Pixar 绘图计算机的心脏是一个有 24 兆字节,2000×2000 像元 的存贮器,其分辨率对大多数应用是足够的。此外,每个像元由 48 个存贮位表示,足够存贮色采和透明度方面的信息。Pixar 绘图计算 机的大容量存贮器由四个高速并行完全可编程序的处理机操纵。 它们 每秒钟能执行约 4000 万条指令,其速度比普通的计算机大几个数量 级。显示装置与存贮器问的数据交换速度可达每秒 4.8 亿个字节。

Pixar 绘图计算机预定用于医学成像、遥感、工程设计及动画片 制作这些领域中。也许还会用来制作我在本文开头所描述的假想电 影。

第九节: 蜂房中的数学 蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的,它们会分 工合作,还会用舞蹈的形式告诉同伴:哪里有花源,数量怎么样。实际 上,不仅如此,蜜蜂还是出色的建筑师。 它们建筑的蜂房就是自然界诸 多奇迹中的一个。

蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成的。 达尔 文称赞蜜蜂的建筑艺术, 说它是:天才的工程师。法国的学者马拉尔 狄曾经观察过蜂房的结构,在 1712 年,他写出了一篇关于蜂房结构的 论文。他测量后发现,每个蜂房的体积几乎都是 0。25 立方厘米。底 部菱形的锐角是 70 度 32 分,钝角是 109 度 28 分,蜜蜂的工作竟然是 这样的精细。物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题,它想推导出: 底部的菱形的两个互补的角是多大时,才能使得蜂房的容量达到最大, 他没有把这项工作进行下去。 苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出 了与前面观察完全吻合的数据。

公元 4 世纪,数学家巴普士就告诉我们:正六棱柱的蜂房是一种最 经济的形状,在其他条件相同的情况下,这种结构的容积最大,所用的 材料最少。他给出了严格的证明。看来,我们不得不为蜜蜂的高超的 建筑艺术所折服了。马克思也高度地评价它:蜜蜂建筑蜂房的本领使 人间的许多建筑师感到惭愧。现在,许多建筑师开始模仿蜂房的结构, 并把它们应用到建筑的实践中去。

第十节: 龟背上的学问 传说大禹治水时,在一次疏通河道中,挖出了一只大龟,人们很 是惊讶,争相观看,只见龟背上清晰刻着图 1 所示的一个数字方阵。

这个方阵,按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制:“凡算之 法,先识其位。一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。六不积 算,五不单张。”可译成现代的数字,如图 2 所示。

方阵包括了九个数字,每一行一与列的数字和均为 15,两条对角 线上的数也有相同的性质。 当时, 人们以为是天神相助, 治水有望了。 后来,人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”(国外称为“拉丁方”), 属于组合数学范畴。使用整数 1—9 构成的 3×3 阶“拉丁方”唯一可 能的和数是 15,这一点只要把这“拉丁方”中所有数加起来便可证 明,1 十 2 十 3 十 4 十 5 十 6 十 7 十 8 十 9=45,要把这几个数分配 到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和,那么,每行(或列)的和应 为 45/3=150

组合数学是数学中的一个分支,在实际生活中应用很广泛,请看 下面的例子。

5 名待业青年,有 7 项可供他们挑选的工作,他们是否能找到自 己合适的工作呢?由于每个人的文化水平、兴趣爱好及性别等原因,

每个人只能从七项工作中挑选某些工种, 也就是说每个人都有一张志 愿表,最后根据需求和志愿找到一个合适的工作。

组合数学把每一种分配方案叫一种安排。当然第一个问题是考虑 安排的存在性,这就是存在问题;第二个问题是有多少种安排方法, 这就是计数问题。接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好的方 案,这就是所谓的“最优化问题”。 存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合 数学的内容。如果你想了解更多的组合数学问题,那就要博览有关书 籍,你会得到许多非常有趣的知识,会给你许多的启发和教益。 第十一节: Music 与数学 动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云:余音绕梁,三日不 绝,这说的是唱得好,也有的人五音不全,唱不成调,这就是唱得 不好了。同样是唱歌,甚至是唱同样的歌,给人的感觉却是迥然不 同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。

人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受,但对谐和音的 比较深入的了解只是在弦乐器出现以后,这是因为弦振动频率和弦 的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经得出弦振动的频率公

式是 W =

,这里,P 是弦的材料的线密度;T 是弦的张力,也就

是张紧程度;L 是弦长;W 是频率,通常以每秒一次即赫兹为单位。

那么,决定音乐和谐的因素又是什么呢?人类经过长期的研 究,发现它决定于两音的频率之比。两音频率之比越简单,两音的 感觉效果越纯净、愉快与和谐。

首先,最简单之比是2:1。例如,一个音的频率是 160、7 赫兹,那么,与它相邻的协和音的频率应该是 2×260、7 赫兹,这 就是高八度音。而与频率为 2×260、7 赫兹的音和谐的次一个音是 4×260、7 赫兹。这样推导下去,我们可以得到下面一列和谐的音 乐:

260、7,2×260、7,22×260、7??

我们把它简记为 C0,C1,C2,??,称为音名。

由于我们讨论的是音的比较, 可暂时不管音的绝对高度 (频率) , 因此又可将音乐简写为:

C0

C1

C2

C3

? ?

20

21

22

23

? ?

需要说明的是,在上面的音列中,不仅相邻的音是和谐的,而且 C 与 C2,C 与 C3 等等也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是 2M。(其中 M 是自然数)

第十二节: e 和银行业 跟我们日常的事情有什么关系呢?事实上它在我们日常生活 中, 跟任何一个特定的整数一样, 尽管人们并不总能察觉到它的出现。 只有人知道 是一个实际的数,如果问大家,可能多数人会说 是英 语字母表里的第 5 个字母。大家知道它是一个奇怪的数,这是我们通 过数学课了解到的。只有少数人知道它是一个无理数和一个超越数。

在今天的银行业里, 是对银行家最有帮助的一个数。人们可能 会问,像 这样的数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢?要知 道后者是专门跟“元”和“分”打交道的!

假如没有 的发现,银行家要计算今天的利息就要花费极其大量 的时间,无论是逐日逐日地算复利,还是持续地算复利都无法避免。 有幸的是, 的出现助了一臂之力。

的定义是作为数列

的极限。我们通常写为

。在利息计算中怎样借助于这个公式呢?实际的计算公 式是:本利和 , 。

这里 的年数。

本金,

年利率,

一年之内计算利息的次数,

存钱

上述公式可以变形为对于 的公式。当人们投资 1 美元年利率为 100%时, 一年的本利和可达 美元。 开头可能会有人以为总计会是一 个天文数字,但看了下面的估计后就会知道它接近于 的值。

于是,我们看到:如果我们投资 1 美元,年利率为 100%,那么 收益决不会超过 2.72 美元。事实上 的小数点后头 22 位数是 = 2.7182818284590452353602。

下一个问题是怎样对

进行工作。最好先通过尝试来确

定看。比如说我们从 1000 美元开始以年利 8%存入银行,让我们看 看当按一年期计算,然后按每半年期计算,再按每三个月期计算复利 时会出现什么。

如果逐日计算复利,可用公式

。这个公式如果用手

算则要花好多时间, 但今天用电子计算器和专门的计算机顷刻间便能 得出结果。

第十三节:几何就在你的身边 初学几何时,你往往会感到这门学科枯燥乏味,有的知识似曾相 识,似懂非懂;有的知识则似乎很“玄”,离我们很远!其实,日常 生活中有几何,几何就在你的身边。 当你骑自行车时,想过自行车的轮子为什么是圆形的,而不能是 “鸡蛋形”的呢?因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进;自 行车的轮于有大有小,可供人们选择;两个 轮子装的位置必须装得

恰当,骑时会感到方便。这说明:物体的形状、大小、位置关系与日 常生活有着紧密的联系,这也正是几何这门学科所要研究的。 当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时, 你想过这里面有几何 知识吗?

图 1图 2 图 3 何中叫“比较线段的大小;把阴影部分裁去,可以看成在 “长”上截取一段, 使它等于“宽”, 这就是几何中的“线段作图”; 长方形的长与宽相等时, 就是正方形, 这更是几何中的一个重要结论。 如果把正方形折成相等的两部分,除了图 2 中所示的四种折法 外,你还能想到其他的折法吗?不妨试试:过四条折痕相交的那个点 “· ”,任意地折一条线,看看这样把正方形分成的两部分也一样 吗? 当你走进用砖块铺地的房间时, 你注意到这些砖块的形状吗?有 的是等边三角形的,有的是长方形或正方形的。 其实,任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙,请看图 3 。

这又将告诉我们几何中的一个重要结论(四边形的四个角的大小 之和恰好等于 360 度),这个结论,与小学数学里学过的“三角形的 三个角之和等于 180 度°又有着紧密的联系。 如果有兴趣的话,请你剪两块同样的直角三角形纸片,然后把两 块纸片拼合成一个图形, 你能拼出 6 种不同的图形吗?这里又包含了 许许多多的几何知识。比如,当你拼成一个等腰三角形时,就不难知 道:等腰三角形可以分成两个同样的直角三角形,中间的那条线位置 很特殊,今后研究等腰三角形时常常要用到它! 第十四节:“压岁钱”与“赈灾小银行” 在正月里,长辈们每年都会给我们压岁钱。而大多数同学都把压 岁钱存入了银行。为了能帮助失学獐,我建议我们景山中学办一个 “赈灾小银行”,要求同学们有多少钱存多少钱,存入学校里“赈灾 小银行”,学校统一将同学们的压岁钱存入银行。毕业时本金还给同 学们,利息捐给经济有困难的同学或灾区。 从小到现在,我们收了十来年的压岁钱大概有 2000 元,假如平 均每年按照 200 元存入银行, 初中三年每个学生总共存入 600 元计算, 我们景山中学高中不算,初中 24 个班级,初一、初二、初三各 8 个 班,每班按 60 人计算,初三的存一年,初二的存两年,初一的存三 年,年利率分别按 2.25%、2.40%、2.60%(人民银行利率)计算,则: 初一段学生存三年的利息和:

(200×2.60%×3)×(60×8)=7488(元); 初二段学生存二年的利息和: (200×2.40%×2)×(60×8)=4688(元); 初二段学生存二年的利息和: (200×2.25%×1)×(60×8)=2700(元); 一年全校利息合计: 7488+4608+2700=14796(元)。 假设学校第年招生班级以及人数都不变,则学校每年都有 14796 元利息,温州市有那么多所中学,假如每所中学都建立小银行,或许 他们利息和还会超过我校,假如小学也建立小银行,那么,每个学生 五六年下来,每年全校利息和将比中学利息和要高上好几倍。所以在 小学成立“赈灾小银行”更有意义与必要。 为了灾区儿童有良好的读 书环境,为了国家更繁荣,昌盛,同学们行动起来吧,拿出你们的压 岁钱,奉献我们的一片爱心。 第十五节:建议班级购买一台饮水机 在炎炎夏日里,同学们遇到的难事就是饮水问题,为了使同学们 过一个卫生清洁的夏季,班级决定出钱买一台饮水机,而每人又应出 多少钱呢?即使买了饮水机, 是否比过去每个学生每天买矿泉水更节

省、更实惠?下面就来解答这个问题。

一、学生矿泉水费用支出 温州市景山中学共有 37 个班级,假设每班学生平均为 60 人,那 么全校就有 60×37=2220(人)。一年中,学生在校的时间(除去寒 暑假双休日)大约为 240 天,设春季、夏季、秋季、冬季、各为 60 天,在班级没有购买饮水机时,学生解渴一般买矿泉水,设矿泉水每 瓶为一元,学生春秋季每人二天 1 瓶矿泉水,则总共为 60 瓶。夏季 每人每天 1 瓶,则总共也为 60 瓶,冬季每人每 4 天 1 瓶,总共为 15 瓶,则全年平均每名学生矿泉水费支出: 60+60+(60÷4)×1=135(元); 全班学生矿泉水费用 135×60=8100(元); 全校学生矿泉水费用 8100×37=299700(元); 二、使用饮水机费用 一台冷热饮水机的价格约为 750 元, 字牌大桶矿泉水为每桶 10 1 元,现每班都配备饮水机。设每班春、季两季、每 2 天 1 桶,则需

60 桶,夏季每天 2 桶,则需 120 桶,冬季每 6 天 1 桶,则每班需 20 桶,则一学年每班需要“60+120+20=200(桶),一学生每班水费为 200×10=2000 元。 电费折合为每学年每班为 300 元。 则一学年配置饮水机每班水电费 2300 元。所以,一学年每班饮 水机等合计约为 2300+750÷3=2550 元; 每个学生平均一学年的水电费为 2500÷60=42.5 元; 景山中学全校全年饮水机等费用约为 37×2550=94350 元; 显然,通过计算,比较两项开支费用,各班购买一台饮水机要经 济实惠得多,一学年每个学生可以节省:135-42.5=92.5 元; 每个班一学年可节省: 92.5×60=5550 元; 全校一学年可节省: 5550×37=205350 元。

205350 元,一个了不起的数据,而我们每天又可以喝上卫生清 洁、冷暖皆宜的饮水机的矿泉水,等我们毕业时还可以把饮水机赠给 下届同学,何乐而不为呢?我向温州小学提出倡议:在每个教室里配 一台饮水机。 第十六节:巧用数学看现实 在现实生活中,人们的生活越来越趋向于经济化,合理化.但怎 样才能达到这样的目的呢?

在数学活动组里,我就遇到了这样一道实际生活中的问题:

某报纸上报道了两则广告,甲商厦实行有奖销售:特等奖 10000 元 1 名,一等奖 1000 元 2 名,二等奖 100 元 10 名,三等奖 5 元 200 名,乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想;哪一种销售方式更 吸引人?哪一家商厦提供给销费者的实惠大?

面对问题我们并不能一目了然。于是我们首先作了一个随机调 查。把全组的 16 名学员作为调查对象,其中 8 人愿意去甲家,6 人 喜欢去乙家,还有两人则认为去两家都可以。调查结果表明:甲商厦 的销售方式更吸引人,但事实是否如此呢?

在实际问题中, 甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数

都没有限制。所以我们认为这个问题应该有几种答案。

一、苦甲商厦确定每组设奖,当参加人数较少时,少于 213(1 十 2+10+200=213 人)人,人们会认为获奖机率较大,则甲商厦的 销售方式更吸引顾客。

二、若甲商厦的每组营业额较多时,它给顾客的优惠幅度就相应 的小。因为甲商厦提供的优惠金额是固定的,共 14000 元(10000+ 2000+ 1000+1000=14000)。假设两商厦提供的优惠都是 14000 元, 则可求乙商厦的营业额为 280000 元( 14000 ÷ 5%=280000)。

所以由此可得:

(l)当两商厦的营业额都为 280000 元时,两家商厦所提供的优 惠同样多。

(2)当两商厦的营业额都不足 280000 元时,乙商厦的优惠则 小于 14000 元,所以这时甲商厦提供的优惠仍是 14000 元,优惠较 大。

(3)当两家的营业额都超过 280000 元时,乙商厦的优惠则大于 14000 元,而甲商厦的优惠仍保持 14000 元时,乙商厦所提供的实惠

大。

像这样的问题,我们在日常生活中随处可见。例如,有两家液化 气站,已知每瓶液化气的质和量相同,开始定的价也相同。为了争取 更多的用户, 两站分别推出优惠政策。 甲站的办法是实行七五折错售, 乙站的办法是对客户自第二次换气以后以 7 折销售。 两站的优惠期限 都是一年。你作为用户,应该选哪家好?

这个问题与前面的问题有很大相同之处。 只要通过你所需要的罐 数来分析讨论,这样,问题便可迎刃而解了。

随着市场经济的逐步完善, 人们日常生活中的经济活动越来越丰 富多彩。买与卖,存款与保险,股票与债券,??都已进入我们的生 活. 同时与这一系列经济活动相关的数学, 利比和比例, 利息与利率, 统计与概率。运筹与优化,以及系统分析和决策,都将成为数学课程 中的“座上客”。

作为跨世纪的中学生,我们不仅要学会数学知识,而且要会应用 数学知识去分析、解决生活中遇到的问题.这样才能更好地适应社会 的发展和需要。 第十七节:商品调价中的数学问题

若将某商品先涨价 10%后再降价 10%,所得的价格与原先的价 格相比有无变化?不少同学会不加思索脱口而出: 那还用问吗?肯定 不变。果真如此吗?

比如设这种商品原价为 100 元, 则涨价 10%后价格为 100+10=110 元,再降价 10%就是 110-11=99 元,可见比原先的价格便宜了。所 以很多事情不能想当然贸然下结论,还是动笔算一算为好,才能做到 心中有“数”。请研究下例:

某商品拟作两次调价,设 p>q>0,有下列六种方案供选择:

(A) 选涨价 p%,再降价 q%;

(B) 选涨价 q%,再降价 p%; (C) 选涨价%,再降价 %;

(D) 选涨价

%,再降价

%;

(E) 选涨价

%,再降价

%;

(F) 选涨价

%,再降价

%;

若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案。 请判断 其中哪一个是好方案? 分析 设某商品原价为 1,采用方案(A)、(B)、(C)、(D)、(E)、 (F)调价后的商品价格分别为 a,b,c,d,e,f,则

所以,方案(A)是好方案。

第十八节:煤商怎样进煤利润高 日常生活中,有许多事情可采取多种方法来完成.哪种方法最好 呢?比如:哪种方法最省时,或者最省钱等.如果开办加工厂,加工 某种东西,又怎样获得利润最高?这都需要精打细算. 比如开办一个煤厂吧!也就是把煤沫加工成蜂窝煤,它需要以下 几个步骤:1.购买煤沫;2.掺好煤土;3.加工成品;4.销售. 虽然仅有这么简单的四步,但也要仔细计算一下,然后再决定怎 样使煤厂利润更高. 然而, 使煤厂利润更高, 会受到多种因素的影响, 这里我们重点研究购买哪种煤沫利润更高, 但还要注意成品的销售情 况。 煤厂现在可以进购两种煤沫,一种好些,价钱当然贵了,可多掺 黄土;另一种次些,价钱也就便宜,但掺黄土不能过多。煤厂进哪一 种煤沫利润更高呢?这就要通过计算了,这里有三种方法。 第一种,进购好煤沫,好煤沫的进价是每吨 105 元,掺上占煤沫 的 40%,掺水占煤土的 8%,加工好的蜂窝煤售价是每吨 88 元,我 们来计算一下进购好煤沫 10 吨的利润是多少. 首先要得出 10 吨煤掺 黄土和水后,可加工多少吨蜂窝煤,再算出总价,减去成本,求出利 润. 10 吨煤沫掺上 40%的黄土共是 14 吨煤工, 用 再掺上占煤土的 8% 的水 1.12 吨.共是 15.12 吨煤,加工后可卖 88××15.12=1330.56

元.再来算一下成本,每吨煤沫 105 元,10 吨共 1050 元,黄土每吨 18 元,4 吨共 72 元,水每吨 0.6 元,1.12 吨共 0.672 元,这 15.12 吨煤的成本为 1050+72+0.672=1122.67 元.最后算一下利润,用 总价减去成本,得 1330.56-1122.672=207.888 元,平均每吨煤获利 润 13.7 元,这段话用式子表示为: {88×「10+10×40%1(10X40%)×8%]-(105X10+18X4+ 0.6XI.12)}÷15.12≈13.7 元. 第二种,进购次煤沫.次煤沫的进价是每吨 85 元,掺上占煤沫 20%的土和占煤土 8%的水,加工好的蜂窝煤的售价同样也是每吨 88 元.我们同样计算进购 10 吨次煤的利润是多少,方法与计算好煤利 润相同.用 10 吨煤沫掺上占它的 20%的黄土,共是 12 吨煤土,再 掺上煤土的 8%的水 0.96 吨,共是 12.96 吨煤,加工后可卖 88× 12.96=1140.48 元.我们同样也算一下它的成本,每吨煤沫 85 元, 10 吨共 850 元,每吨黄土 18 元,2 吨共 36 元,每吨水 0.6 元,0.96 吨为 0.576 元,这 12.96 吨煤的成本为 850+36+0。576=886.576 元, 它的利润为 1140.48-886.576=253.904 元,平均每吨煤的利润约为 17.2 元,这段话用武子表示为: {88×[10+10×2O%+(10+10×20%)×8%]-(85×IO+18×2+0.6× 0.96)}÷12.96 ≈17.2 元.

第三种,进购好次两种煤沫,为了使煤质好些,所以好煤与坏煤 的混合比例为 2:1.掺上占煤的百分之多少呢?掺水又占煤土的百 分之多少呢?让我们来计算一下. 我们设掺次煤 A 吨,掺好煤 2A 吨,我们算出 A 吨次煤和 2A 吨好 煤各掺多少土和水, 算出土共是多少, 占煤沫的多少; 算出水共多少, 又占煤土的百分之多少.好煤应掺它 40%的土,所以 2A 吨好煤应掺 2A×40%=80%A 吨的土,也就是 0.8A 吨,这种煤土应掺它 8%的水, 所以(2A 十 0.8A)吨煤士应掺水(2a+0.8A)×8%=22.4%A 吨,也 就是 0.224A 吨. 我们算完了 2A 吨好煤应掺的土和水,再来算一下 A 吨次煤应掺 多少土和水.次煤应掺的土占它的 20%,所以 A 吨次煤应掺 A×20% =20%A 的土,也就是 0.2A 吨,这种煤土应掺的水仍占它的 8%,所 以(A+20%A)吨的煤土应掺水(A+20%A)×8%=9.6%A 吨,也就 是 0.096A 吨. 我们现在可以算出好、次两种煤共应掺黄土(0.8A+0.2A)=A 吨, 占 3A 吨煤的 ,

再来算一下水占煤土的百分之几, 煤土的百分之比 与好次煤土所按的水一样,仍是 8%.

这种掺法,水和

我们知道了混合煤土所掺土和水的百分比之后,就来算一下 10 吨混合煤加工成煤后,它的利润又是多少.方法与求好次煤利润的方 法相同.10 吨混合煤应是 10× 吨的次煤和 10× 吨的好煤混合成 的,混合煤掺上它的 的土共是 吨,再掺

上煤土 8%的水 元,再算一下它的

吨, 共是 14.4 吨, 加工后可卖 88×14.4=1267.7

成本是 元, 吨水共

吨好煤共 700 元,

次煤共

元,

吨黄土共 60

元, 14.4 吨煤的成本是 这

元, 利润为

元,平均每吨煤获利润 15.5 元,这段话用式子表示为:

通过计算,我们很明显的可以看出,进购次煤利润会更高,但是 还要注意一下销售这个问题, 因为煤厂一个冬天就要卖几百上千吨的 煤。所以仅看每吨煤的利润是不行的,还要看一看哪种煤卖得快、卖 得多。

我们分析一下三种煤的销售情况,好煤沫加工成的煤,煤质好, 大家都愿意买这种煤,混合煤沫加工后的煤,因为好煤沫多一些,煤 质就不如那两种煤了,火苗又小烧得时间又短,大家都不愿意买这种 煤,如果厂家大量加工第三种煤,就卖不出去了。而另外两种煤,混 合煤的利润高一些, 且也很受大家欢迎, 所以煤厂就大批加工这种煤。


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