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2013-2014学年广东省珠海一中等六校高三(上)第一次联考数学试卷(理科)


2013-2014 学年广东省珠海一中等六校高三(上)第一次联考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 分)“|x|≥1”是“x>2”的( (5 ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 求出绝对值不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断即可. 解答: 解:因为“|x|≥1”的解为 x≤﹣1 或 x≥1,所以“x>2”?“|x|≥1”; 但是“|x|≥1”得不到“x>2”.所以“|x|≥1”是“x>2”的必要不充分条件.故选 B.
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点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,注意绝对值不等式的解法,是基础题.

2. 分)已知 (5 A.﹣1 B.1

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=( C.2

) D.3

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数相等的条件可得 a,b. 解答: 解:因为
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所以,a=1,b=2,a+b=3, 故选 D. 点评: 本题考查复数代数形式的运算、复数相等的条件,属基础题. 3. 分) (5 (2010?河东区一模)若 x∈(0,1) ,则下列结论正确的是( A. B. C.

) D.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用;指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 分析: x 0 由 x∈(0,1) ,知 lgx<lg1=0, ,2 >2 =1,故 解答: 解:∵ x∈(0,1) , ∴ lgx<lg1=0, , 2 >2 =1, ∴ ,
x 0

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故选 D. 点评: 本题考查对数函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 4. 分)下列四个命题中,正确的是( (5 ) 2 A.已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ ) ,且 P(﹣2≤ξ≤2)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2 B. 已知命题 p:?x∈R,使 tanx=1;命题 q:?x∈R,x2﹣x+1>0,则命题“p∧¬q”是假命题

C. 设回归直线方程为 y=2﹣2.5x,当变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 2.5 个单位 D. 已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥ 的充要条件是 l2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: A 画出正态分布 N(0,σ2)的密度函数的图象,由图象的对称性可得结果;B、判断命题 p 和 q 是否正确, 然后根据交集的定义进行判断;C、根据回归直线方程的 x 的系数是﹣2.5,得到变量 x 增加一个单位时, 函数值要平均增加﹣2.5 个单位,即可求解;D、注意斜率不存在的情况即可判定正误; 2 解答: 解:A、由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ )可知正态密度曲线关于 y 轴对称, 而 P(﹣2≤x≤2)=0.4,
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则 P(ξ>2)= (1﹣P(﹣2≤x≤2) )=0.3,故 A 错. B、命题 p:?x∈R,使 tanx=1,可以取 x=45°得 tan45°=1,故命题 p 正确; 2 2 2 命题 q:?x,x ﹣x+1>0,令 f(x)=x ﹣x+1,可得△ =(﹣1) ﹣4=﹣3<0,图象开口向上,与 x 轴无交 2 点,∴ :?x∈R,x ﹣x+1>0,恒成立, ∴ 命题 q 为真命题,则﹣q 为假命题,∴ “p∧﹣q”是假命题,故 B 正确; C、回归方程 y=2﹣2.5x,变量 x 增加一个单位时, 变量 y 平均变化[2﹣2.5(x+1)]﹣(2﹣2.5x)=﹣2.5 ∴ 变量 y 平均减少 2.5 个单位,故 C 错误; D、已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥ 的 l2 充要条件是 =﹣3 或 a=0 且 b=0,所以 D 不正确. 故选 B;

点评: 本题考查线性回归方程和两条直线垂直的判定,考查线性回归方程系数的意义,考查变量 y 增加或减少的 是一个平均值,注意题目的叙述,还有充分必要条件的定义,是一道综合题;

5. 分)已知单位向量 , ,满足(2 ﹣ )⊥ ,则 , 夹角为( (5 A. B. C.

) D.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量垂直得其数量积等于 0,展开整理后即可得到答案. 解答: 解:因为(2 ﹣ )⊥ ,所以(2 ﹣ )? =0,即
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=0, .

所以,

,即 cos

,则 , 夹角为

故选 C. 点评: 本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系,考查了数量积公式,是基础的计算题.

2

6. 分) (5 (2007?惠州模拟)若动圆的圆心在抛物线 x =12y 上,且与直线 y+3=0 相切,则此动圆恒过定点( A.(0,2) B.(0,﹣3) C.(0,3) D.(0,6)

2



考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据动圆的圆心在抛物线 x2=12y 上,且与直线 y+3=0 相切,所以动圆圆心到抛物线准线的距离等于到抛物 线焦点的距离,所以动圆恒过抛物线的焦点. 解答: 解:直线 y+3=0,即 y=﹣3 是抛物线 x2=12y 的准线, 抛物线是到它的焦点和准线距离相等的点的轨迹, 所以动圆恒过抛物线的焦点(0,3) . 故选 C. 点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的定义,考查了抛物线的定义和几何性质,是基础的概念题.
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7. 分)设实数 x,y 满足约束条件 (5

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,则 ab

的取值范围是( A.(0,+∞)

) B. C. D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据条件画出可行域,设 z=ax+by,再利用几何意义求最值,将最大值转化为 y 轴上的截距,只需求出直 线 z=ax+by,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于 a,b 的等式,最后利用基本不等 式求 ab 的取值范围即可. 解答: 解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,
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而 6=2a+3b≥2 又 ab>0,

?ab≤ ,当且仅当 2a=3b 时取等号.

则 ab 的取值范围是 故选 D.



点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础 题.

3

8. 分)记集合 T={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},M= (5 将 M 中的元素按从大到小排列,则第 2013 个数是( A. C. ) B. D.



考点: 进行简单的合情推理. 专题: 规律型;探究型. 分析: 将 M 中的元素按从大到小排列,求第 2013 个数所对应的 ai,首先要搞清楚,M 集合中元素的特征,同样 要分析求第 2011 个数所对应的十进制数,并根据十进制转换为八进行的方法,将它转换为八进制数,即得 答案. 解答: 3 2 因为 = (a1×10 +a2×10 +a3×10+a4) ,
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括号内表示的 10 进制数,其最大值为 9999; 从大到小排列,第 2013 个数为 9999﹣2013+1=7987 所以 a1=7,a2=9,a3=8,a4=7 则第 2011 个数是 故选 A. 点评: 对十进制的排序,关键是要找到对应的数是几,如果从大到小排序,要找到最大数(即第一个数) ,再找出 第 n 个数对应的十进制的数即可. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分(一)必做题(9~13 题) 7 4 9. 分)在(a+x) 展开式中 x 的系数为 35,则实数 a 的值为 1 . (5 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 7 4 3 分析: 在 (a+x) 展开式的通项公式中, x 的幂指数等于零, 令 求出 r 的值, 即可求得展开式中 x 的系数为 35 a =35, 由此求得实数 a 的值. 解答: 7 7﹣r r 4 3 解:在(a+x) 展开式的通项公式为 Tr+1= ?a ?x ,令 r=4 可得 展开式中 x 的系数为 35 a =35,
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∴ a=1, 故答案为 1. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.

10. 分)计算定积分 (5

=



考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出. 解答:
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解:

=

= .

4

故答案为 . 点评: 熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键.

11. 分)已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 (5 4x±3y=0 .

=1 的长轴端点、焦点,则双曲线 C 的渐近线方程是

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的性质可得其长轴的端点、焦点,进而得到双曲线的 c,a,b,即可得到双曲线的标准方程和渐近 线方程. 解答: 解:椭圆长轴端点为(﹣5,0)(5,0) , ,焦点为(﹣3,0)(3,0) , ,
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∴ 对于双曲线中,c=5,a=3,得 b=

=4,

∴ 双曲线方程为:

=1,

∴ 渐过线方程为:4x±3y=0. 故答案为 4x±3y=0. 点评: 熟练掌握椭圆与双曲线的标准方程及其性质是解题的关键.

12. 分)在△ (5 ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a=5,



,则 cosB=



考点: 正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由 a,b 及 sinA 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,由 a 大于 b,利用大边对大角得到 B 小于 A,利用同 角三角函数间的基本关系即可求出 cosB 的值. 解答: 解:∵ a=5, , ,
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∴ 由正弦定理 ∵ a>b,∴ B<A= 则 cosB= 故答案为:

= , =

得:sinB=

=

= ,



点评: 此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本 题的关键. 13. 分)将石子摆成如图的梯形形状.称数列 5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,数列第 6 项 a6= (5 35 ;第 n 项 an= .

5

考点: 数列的应用. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 本题考查的知识点归纳推理,及等差数列的前 n 项和公式,我们可以根据前面图形中,编号与图中石子的 个数之间的关系,分析他们之间存在的关系,并进行归纳,用得到一般性规律,即可求出结果. 解答: 解:由已知的图形我们可以得出: 图形的编号与图中石子的个数之间的关系为:
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n=1 时,a1=5=2+3= ×(2+3)×2; n=2 时,a2=9=2+3+4= ×(2+4)×3; n=3 时,a2=14=2+3+4+5= ×(2+5)×4; … 由此我们可以推断: an= ×[2+(n+2)]×(n+1)= ∴6= a 故答案为:35, =35. . .

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明 确表达的一般性命题(猜想) .

14. 分)在极坐标系中,直线 (5

(ρ∈R)截圆

所得弦长是 2 .

考点: 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: 先利用直角坐标与极坐标间的关系,将直线 (ρ∈R) ,圆
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的极坐标方程所化成

直角坐标方程,最后利用直角坐标方程的形式,结合直线与圆的位置关系求解即得. 解答: 解:由直线 由圆 化为直角坐标方程为(x﹣ 其圆心是 C( 化为普通方程为 x﹣ 得:
)2

y=0,
2

ρcosθ+ρsinθ=ρ ,
)2

+(y﹣

=1, y=0 上,

, ) ,半径为 1.且圆心在直线 x﹣

由故 l 被曲线 C 所截得的弦长为 2r=2. 故答案为:2. 点评: 本小题主要考查圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计算弦 长等基本方法.

6

15.如图 AB 是圆 O 的直径,过 A、B 的两条弦 AD 和 BE 相交于点 C,若圆 O 的半径是 3,那么 AC?AD+BC?BE 的值等于 36 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 连接 AE,BD,过 C 作 CF⊥ AB,与 AB 交于 F,得出 A,F,C,E 四点共圆,BC?BE=BF?BA,同理可证 F, B,D,C 四点共圆,AC?AD=AF?AB,两式相加,转化为直径 BA 表达式求解即可. 解答: 解:连接 AE,BD,过 C 作 CF⊥ AB,与 AB 交于 F,
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∵ 是圆的直径, AB ∴AEB=∠ ∠ ADB=90°, ∵AFC=90°,∴ ∠ A,F,C,E 四点共圆. ∴ BC?BE=BF?BA(1) 同理可证 F,B,D,C 四点共圆 ∴ AC?AD=AF?AB(2) (1)+(2)得 AC?AD+BC?BE=(BF+AF)?BA=BA2 圆 O 的半径是 3,直径 BA=6 所以 AC?AD+BC?BE=62=36 故答案为:36 点评: 本题考查与圆有关的线段,割线定理的应用,根据所求的不等式,构造四点共圆是本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)甲乙丙三人商量周末去玩,甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意.最终,商定以抛 硬币的方式决定结果.规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一分乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得 零分,先得 4 分者获胜,三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为 ξ. (1)求 ξ=6 的概率; (2)求 ξ 的分布列和期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先确定 ξ=6 的意义,首先可以分析得到甲赢或乙赢的概率均为 ,若第 6 次甲赢意味着“第 6 次甲赢,
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解答

前 5 次赢 3 次,但根据规则,前 4 次中必输 1 次”.若乙赢同样.故可根据二项分布列出式子求解即可. (2)确定 ξ 的所有可能取值,求出相应的概率,即可求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 解: (1)当 ξ=6 时,若甲赢意味着“第 6 次甲赢,前 5 次赢 3 次, 但根据规则,前 4 次中必输 1 次”,由规则,每次甲赢或乙赢的概率均为 , 因此 P(ξ=6)=2 (2)分布列为: ξ 4 × × × = …4 分

5

6

7

7

P …10 分 ∴ Eξ=4× +5× +6× +7× = …12 分

点评: 本小题主要考查离散型随机变量及其分布列,古典概型,独立重复试验,数学期望等知识,考查随机思想 以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识.

17. (12 分)已知函数

(a∈R,a 为常数) .

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后,得到函数 g(x)的图象关于 y 轴对称,求实数 m 的最 小值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)将函数 f(x)用和角与差角的正弦公式展开,合并同类项后再用辅助角公式,可得 f(x) =

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,再结合函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,可得最小正周期和单调增区间; ,当 . ﹣cos2x+a 时,

(2)按题中方法平移后,得到 g(x)= g(x)为偶函数且图象关于 y 轴对称,再 k=0,得 m 的最小正值为 解答: 解: (1) = ∴ f(x)的最小正周期为 令 ∴ 函数 f(x)单调递增区间为 (2)函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后得 = 要使 g(x)的图象关于 y 轴对称,只需 即 ∴ 的最小值为 m ,取 k=0,得 m 的值为 .…(12 分) 为最小正值 …(4 分) ,得 .…(3 分)

=2sin2xcos

, .…(7 分)

, …(9 分)

点评: 本题将一个函数化简整理为 y=Asin(ωx+φ)+k,并求它的单调性和周期性,着重考查了三角函数中的恒等 变换应用和函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识点,属于中档题. 18. (14 分)设函数 (Ⅰ )若 f(x)在 x=2 时有极值,求实数 a 的值和 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若 f(x)在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.
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考点: 利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系. 专题: 计算题. 分析: (I)根据 f(x)在 x=2 时有极值可知 f′ (2)=0,求出 a 的值,然后根据导数符号确定函数的单调区间; (II)若 f(x)在定义域上是增函数,则 f'(x)≥0 在 x>0 时恒成立,然后将 a 分离出来,研究不等式另一 侧的最值,即可求出所求. 解答: 解: )∵ (Ⅰ f(x)在 x=2 时有极值, ∴ f′ 有 (2)=0,…(2 分)
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又 ∴ ∴ 有 由 f′ (x)=0 有 …(5 分)

,∴ 有



= ,…(7 分)



将 x,f′ ,f(x)关系列表如下,定义域为(0,+∞) (x) x x=2 f'(x) f(x) + 递增 0 ﹣ 递减 和[2,+∞) ,递减区间为 0

x>2 + 递增 …(9 分)

∴ f(x)的递增区间为

(Ⅱ )若 f(x)在定义域上是增函数,则 f'(x)≥0 在 x>0 时恒成立,…(10 分) ∵
2



∴ x>0 时 ax ﹣2x+a≥0 恒成立,…(11 分) 需 化为 ∵ 恒成立, ,

∴ a≥1,此为所求.…(14 分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数的单调区间,同时考查了分类讨论的数学思想和运算 求解的能力,属于中档题. 19. (14 分)已知几何体 A﹣BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正 视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ⊥ 并说明理由. BQ

9

考点: 异面直线及其所成的角;由三视图求面积、体积. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: (1)由该几何体的三视图知 AC⊥ BCED,且 EC=BC=AC=4,BD=1,则体积可以求得. 面 (2)求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计 算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求.还有一种方法是 向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几何法求解. (3)假设存在这样的点 Q,使得 AQ⊥ BQ. 解法一:通过假设的推断、计算可知以 O 为圆心、以 BC 为直径的圆与 DE 相切. 解法二:在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中,也可以建立空间直角坐标系,设定参 量求解.这种解法的好处就是:1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关 定理,因为这些可以用向量方法来解决.2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草 图以建立坐标系和观察有关点的位置即可. 以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设满足题设的点 Q 存在,其坐
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标为(0,m,n) ,点 Q 在 ED 上,∴ 存在 λ∈R(λ>0) ,使得 其坐标为(0, , ) .



,解得 λ=4,∴ 满足题设的点 Q 存在,

解答: 解: (1)由该几何体的三视图知 AC⊥ BCED,且 EC=BC=AC=4,BD=1, 面 ∴ 梯形 BCED= ×(4+1)×4=10 S ∴ V= ?S 梯形 BCED?AC= ×10×4= .

即该几何体的体积 V 为 16. 分) (3 (2)解法 1:过点 B 作 BF∥ 交 EC 于 F,连接 AF, ED 则∠ FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角. 分) (5 在△ BAF 中, ∵ AB=4 , BF=AF= =5. ∴ ABF= cos∠ = .

即异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

. 分) (7

解法 2:以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,1) ,E(0,0,4) ∴ =(0,﹣4,3) , =(﹣4,4,0) ,

10

∴ cos<



>=﹣ .

∴ 异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

(3)解法 1:在 DE 上存在点 Q,使得 AQ⊥ (8 分) BQ. 取 BC 中点 O,过点 O 作 OQ⊥ 于点 Q,则点 Q 满足题设. DE (10 分) 连接 EO、OD,在 Rt△ ECO 和 Rt△ OBD 中 ∵ ∴ ECO∽ OBD Rt△ Rt△ ∴EOC=∠ ∠ OBD ∵EOC+∠ ∠ CEO=90° ∴EOC+∠ ∠ DOB=90° ∴EOB=90°. ∠ (11 分) ∵ OE= ∴ OQ= = =2 ,OD= =

=2∴ O 为圆心、以 BC 为直径的圆与 DE 相切. 以

切点为 Q ∴ CQ BQ⊥ ∵ 面 BCED,BQ?面 CEDB AC⊥ ∴ AC BQ⊥ ∴ 面 ACQ(13 分) BQ⊥ ∵ AQ?面 ACQ ∴ AQ. BQ⊥ (14 分) 解法 2:以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 设满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0,m,n) , 则 =(﹣4,m,n) , =(0,m,n﹣4) ,
2

=(0,m﹣4,n) =(0,4﹣m,1﹣n)

∵ BQ∴ AQ⊥ m(m﹣4)+n =0① ∵ Q 在 ED 上,∴ 点 存在 λ∈R(λ>0) 使得 =λ ,n= ②

∴ (0,m,n﹣4)=λ(0,4,m,1﹣n)?m= ② 代入① 得( ) =?λ ﹣8λ+16=0,解得 λ=4 , ) .
2 2

∴ 满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0,

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点评: 本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与 转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

20. (14 分)如图,椭圆

的左顶点、右焦点分别为 A,F,直线 l 的方程为 x=9,N 为 l 上一点,且在

x 轴的上方,AN 与椭圆交于 M 点 (1)若 M 是 AN 的中点,求证:MA⊥ MF. (2)过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,求|PQ|的范围.

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 综合题. 分析: (1)欲证 MA⊥ MF,只需证明
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,分别求出



的坐标,再用向量的数量积的坐标运算计算即

可. (2)欲求|PQ|的范围,需先将|PQ|用某个参数表示,再求最值,可先找到圆心坐标和半径,再利用圆中半 径,半弦,弦心距组成的直角三角形,得到用参数表示的|PQ|,再用均值不等式求范围.
12

解答:

解: (1)由题意得 A(﹣6,0) ,F(4,0) N=9∴ ,x 又 M 点在椭圆上,且在 x 轴上方,得

(2)设 N(9,t) ,其中 t>0,∵ 圆过 A,F,N 三点,
2 2

∴ 设该圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,有

解得

∴ 圆心为

,半径 r=





∵ t>0∴

,当且仅当

,即

时取“=”

∴ ,∴ |PQ|的取值范围是 点评: 本题考查了椭圆与圆之间的关系,其中圆中弦长的求法必须掌握. 21. (14 分)设 M=10a +81a+207,P=a+2,Q=26﹣2a;若将 lgM,lgQ,lgP 适当排序后可构成公差为 1 的等差数列 {an}的前三项. (1)试比较 M、P、Q 的大小; (2)求 a 的值及{an}的通项; 2 (3)记函数 f(x)=anx +2an+1x+an+2(n∈N*)的图象在 x 轴上截得的线段长为 bn,设 Tn= ) (n≥2) ,求 Tn,并证明 T2T3T4…Tn> .
2

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 M>0,P>0,Q>0 可求得 a 的范围,作差后通过分类讨论可比较它们间的大小关系; (2)由(1)的结论及 lgM,lgQ,lgP 成公差为 1 的等差数列可得 a 值,根据等差数列的通项公式可得 an; (3)设 f(x)与 x 轴交点为(x1,0)(x2,0) , ,由 2an+1=an+an+2,知﹣1 为 f(x)的一个零点,从而 f(x) =(x+1) nx+an+2)=0,可得 x1,x2,进而可得 bn,利用裂项相消法可得 Tn,由 (a
2350853

,可对 T2T3T4…Tn 进行放缩得到结论; 解答: 解: (1)由 ,得﹣2<a<13,

∵ M﹣Q=10a +83a+181>0(∵1<0) △ ,M﹣P=10a +80a+205>0(∵2<0) M>Q,M>P, △ ,∴
13

2

2

又∵ 当﹣2<a<13 时,P﹣Q=﹣24+3a, 则当﹣2<a<8 时,P<Q,此时 P<Q<M, 当 a=8 时,P=Q,此时 P=Q<M, 当 8<a<13 时,P>Q,此时 Q<P<M; (2)由(1)知,当﹣2<a<8 时, 即 ,∴ ,

解得

,从而 an=lgP+(n﹣1)×1=n﹣2lg2;

当 8<a<13 时,



,∴

,a 无解.

综上,a= ,an=n﹣2lg2; (3)设 f(x)与 x 轴交点为(x1,0)(x2,0) , , ∵ n+1=an+an+2,∴ 为 f(x)的一个零点, 2a ﹣1 ∴ f(x)=0 时有(x+1) nx+an+2)=0,∴ 当 (a ,





又∵n=n﹣2lg2>0,∴ a ∴ ∴

, , =











点评: 本题考查数列与不等式的综合、等差数列的通项公式,考查不等式的证明,考查学生综合运用知识分析问 题解决问题的能力,综合性强,运算量大.

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