2012高三数学一轮复习单元练习题：函数与数列(Ⅰ)

高三数学一轮复习单元练习题： 函数与数列（ 2012 高三数学一轮复习单元练习题： 函数与数列（Ⅰ）
填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相 应位置上。 1、函数 y =

? x 2 ? 3 x + 4 的定义域为 x

▲ ▲

。 条件。 ▲ 。 ▲ 。

2、 “a＋c＞b＋d”是“a＞b 且 c＞d”的

3、在等比数列 {an } 中， a2 = 8 ， a1 = 64 ，则公比 q 为

a 4、在等差数列 { a n } 中， a 5 = 3， 6 = ?2 ，则 a 3 + a 4 + L + a8 =

5、设函数 f ( x ) = g ( x ) + x 2 ，曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x + 1 ，则曲线 y = f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
a

▲
b

。

6、设 a > 0, b > 0. 若 3是3 与3 的等比中项，则

1 4 + 的最小值为 a b

▲

。 ▲ 。

7、等差数列 {an } 的公差不为零， a1 = 2 ，若 a1 , a2 , a4 成等比数列，则 an ＝

8、一个等差数列的前 12 项的和为 354，在这 12 项中，若“偶数项的和”与“奇数项的和”的比为 32:27， 则公差 d＝ ▲ 。 9、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log 2 (1 ? x), x ≤ 0 ，则 f（2009）的值为＝ ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0

▲ 。 10、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要 用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业 在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ▲ B 。 11、已知 {an } 为等差数列， a1 + a3 + a5 =105， a2 + a4 + a6 =99，以 Sn 表示 {an } 的前 n 项和，则使得 Sn 达 到最大值的 n 是 ▲ 。 ▲ 。 12、等差数列 {a n } 中，若 s20 = 50 , s50 = 20 ，则 s70 ＝

= 13、已知函数 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的偶函数，若对于 x ≥ 0 ，都有 f ( x + 2） f ( x ) ，且当 x ∈ [0, 2) 时， f ( x) = log 2 ( x + 1） ，则 f ( ?2008) + f (2009) 的值为
14、设 a1 = 2 ， an +1 = ▲ 。

2 an + 2 ， bn = ， n ∈ N * ，则数列 {bn } 的通项公式 bn = an + 1 an ? 1

▲

。

第1页

二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15、设 sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和，已知 S3 , S4 的等比中项是 S5 ； S3 , S4 的等差中项是 1,求数列
1 3 1 4 1 5 1 3 1 4

{an } 的通项公式。
16、设函数 f ( x) =

ex x

（1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 k > 0 ，求不等式 f ' ( x ) + k (1 ? x ) f ( x ) > 0 的解集．

1a 17、已知数列 {an } 满足， a1＝ ’ 2 = 2, an＋2＝

an + an +1 ,n∈ N*. 2

（1）令 bn = an +1 ? an ，证明： {bn } 是等比数列； （2）求 {an } 的通项公式。 x米

18、围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围 墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的 造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地的总费用为 y(单位：元)。 （Ⅰ）将 y 表示为 x 的函数： （Ⅱ）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用 y 最小，并求出最小总费用。 19、 已知点 （1， ） 是函数 f ( x ) = a x ( a > 0, 且 a ≠ 1 ） 的图象上一点， 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f ( n) ? c , 数列 {bn } (bn > 0) 的首项为 c ，且前 n 项和 S n 满足 S n － S n?1 = S n + S n ?1 （ n ≥ 2 ）.（1）求数列 {an } 和

1 3

{bn } 的通项公式；
（2）若数列{

1 } 前 n 项和为 Tn ，问 Tn > 1000 的最小正整数 n 是多少? . bn bn+1 2009 1 3 x + x 2 + (m 2 ? 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 3

20、设函数 f ( x ) = ?

1 1 处的切线斜率 （1）当 m = 1时， 曲线 y = f ( x)在点（ ，f（ ））
（2）求函数的单调区间与极值； 且 若对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] ， f ( x ) > f (1) （3） 已知函数 f (x ) 有三个互不相同的零点 0，x1 , x 2 ， x1 < x 2 。 恒成立，求 m 的取值范围。

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参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题 卷相应位置上。 1、函数 y =

? x 2 ? 3 x + 4 的定义域为 x

▲ ▲

。 [ ?4, 0) U (0, 1] 条件。必要不充分 ▲ 。

2、 “a＋c＞b＋d”是“a＞b 且 c＞d”的

3、在等比数列 {an } 中， a2 = 8 ， a1 = 64 ，则公比 q 为

1 8
▲ 。3

a 4、在等差数列 { a n } 中， a 5 = 3， 6 = ?2 ，则 a 3 + a 4 + L + a8 =

5、设函数 f ( x ) = g ( x ) + x 2 ，曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x + 1 ，则曲线 y = f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
a

▲
b

。4

6、设 a > 0, b > 0. 若 3是3 与3 的等比中项，则

1 4 + 的最小值为 a b

▲

。9 ▲ 。2n

7、等差数列 {an } 的公差不为零， a1 = 2 ，若 a1 , a2 , a4 成等比数列，则 an ＝

8、一个等差数列的前 12 项的和为 354，在这 12 项中，若“偶数项的和”与“奇数项的和”的比为 32:27， 则公差 d＝ ▲ 。5 9、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log 2 (1 ? x), x ≤ 0 ，则 f（2009）的值为＝ ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x > 0

▲

。1

10、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要 用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业 在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ▲ B 。 27 11、已知 {an } 为等差数列， a1 + a3 + a5 =105， a2 + a4 + a6 =99，以 Sn 表示 {an } 的前 n 项和，则使得 Sn 达 到最大值的 n 是 ▲ 。 n = 20 ▲ 。－70 12、等差数列 {a n } 中，若 s20 = 50 , s50 = 20 ，则 s70 ＝

= 13、已知函数 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的偶函数，若对于 x ≥ 0 ，都有 f ( x + 2） f ( x ) ，且当 x ∈ [0, 2) 时， f ( x) = log 2 ( x + 1） ，则 f ( ?2008) + f (2009) 的值为
▲ 。1

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14 、 设 a1 = 2 ， an +1 =

2 an + 2 ， bn = ， n ∈ N * ， 则 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 bn = an + 1 an ? 1

▲

。

bn = 4 ? 2n ?1 = 2n +1
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15、设 sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和，已知 S3 , S4 的等比中项是 S5 ； S3 , S4 的等差中项是 1,求数列
1 3 1 4 1 5 1 3 1 4

{an } 的通项公式。
16、 （2009 江西卷理） （本小题满分 12 分）

ex 设函数 f ( x ) = x
求函数 f ( x ) 的单调区间； 若 k > 0 ，求不等式 f ' ( x ) + k (1 ? x ) f ( x ) > 0 的解集． 解： (1)

f ' ( x) = ?

1 x 1 x x ?1 x e + e = 2 e , 由 f ' ( x) = 0 ,得 x = 1 . x2 x x

因为 当 x < 0 时, f ' ( x ) < 0 ； 当 0 < x < 1 时, f ' ( x ) < 0 ； 当 x > 1 时, f ' ( x ) > 0 ；

(0,1] 所以 f ( x ) 的单调增区间是: [1, +∞ ) ； 单调减区间是: ( ?∞, 0)， .
由

f ' ( x) + k (1 ? x) f ( x) =

x ? 1 + kx ? kx 2 x ( x ? 1)(?kx + 1) x e >0, e = x2 x2

得： ( x ? 1)( kx ? 1) < 0 . 故：当 0 < k < 1 时, 解集是： {x 1 < x < } ； 当 k = 1 时，解集是： ? ； 当 k > 1 时, 解集是： {x

1 k

1 < x < 1} . 21 世纪 k an + an +1 ,n∈ N*. 2

17、 （2009 陕西卷文） （本小题满分 12 分）

1a 已知数列 {an } 满足， a1＝ ’ 2 = 2, an＋2＝

( Ι ) 令 bn = an+1 ? an ，证明： {bn } 是等比数列；

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(Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 （1）证 b1 = a2 ? a1 = 1, 当 n ≥ 2 时， bn = an +1 ? an = 所以 {bn } 是以 1 为首项， ?

an ?1 + an 1 1 ? an = ? (an ? an ?1 ) = ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 （2）解由（1）知 bn = an +1 ? an = ( ? ) , 2
n? 2 当 n ≥ 2 时， an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + L + ( an ? an ?1 ) = 1 + 1 + ( ? ) + L + ( ? )

1 2

1 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 = 1+ = 1 + [1 ? (? ) n? 2 ] = ? (? ) n?1 , 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n = 1 时， ? ( ? ) = 1 = a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an = ? ( ? ) ( n ∈ N ) 。 3 3 2
18、围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修） ，其它三面围 墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的 造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地的总费用为 y(单位：元)。 （Ⅰ）将 y 表示为 x 的函数： （Ⅱ）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用 y 最小，并求出最小总费用。 x米 解： （1）设矩形的另一边长为 a m 则 y 2 -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=

360 , x
.

所以 y=225x+

360 2 ? 360( x f 0) x

(II)Q x f 0,∴ 225 x +

360 2 ≥ 2 225 × 360 2 = 10800 4、已知函数 f ( x) 是 (?∞, +∞) 上的偶函数，若 x

= ） 对于 x ≥ 0 ，都有 f ( x + 2） f ( x ) ，且当 x ∈ [0, 2) 时， f ( x ) = log 2 ( x + 1 ，则 f ( ?2008) + f (2009) 的
值为 ▲ 。1

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∴ y = 225 x +

360 2 360 2 时，等号成立. ? 360 ≥ 10440 .当且仅当 225x= x x

即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元. . 19、 已知点 （1， ） 是函数 f ( x) = a x ( a > 0, 且 a ≠ 1 ） 的图象上一点， 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f ( n) ? c , 数列 {bn } (bn > 0) 的首项为 c ，且前 n 项和 S n 满足 S n － S n?1 = S n + S n ?1 （ n ≥ 2 ）. （1）求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式； （2）若数列{

1 3

1 } 前 n 项和为 Tn ，问 Tn > 1000 的最小正整数 n 是多少? . bn bn+1 2009 1 ?1? ,∴ f ( x ) = ? ? 3 ? 3?
x

【解析】 （1） Q f (1) = a =

1 2 a1 = f (1) ? c = ? c , a2 = ? f ( 2 ) ? c ? ? ? f (1) ? c ? = ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 = ? f ( 3) ? c ? ? ? f ( 2 ) ? c ? = ? . ? ? ? ? 27 4 2 a 81 = ? 2 = 1 ? c ，所以 c = 1 ； 又数列 {an } 成等比数列， a1 = 2 = a3 ? 2 3 3 27
又公比 q =
n ?1 n a2 1 = ，所以 an = ? 2 ? 1 ? = ?2 ? 1 ? ? ? ? ? a1 3 3?3? ?3?

n∈ N*

；

Q S n ? S n ?1 =

(

S n ? S n ?1

)(

S n + S n ?1 = S n + S n ?1

)

( n ≥ 2)

又 bn > 0 , S n > 0 , ∴ S n ? S n ?1 = 1 ； 数列

{ S } 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，
n
2

Sn =1+ ( n ?1) ×1 = n ， S n = n 2

当 n ≥ 2 ， bn = S n ? S n ?1 = n 2 ? ( n ? 1) = 2n ? 1 ；

∴ bn = 2n ? 1 ( n ∈ N * )；
（2） Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 = + + +K + + + +L + (2n ? 1) × ( 2n + 1) b1b2 b2b3 b3b4 bn bn +1 1× 3 3 × 5 5 × 7

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1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n = ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + K + ? ? ； ? = ?1 ? ?= 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n + 1 ? 2 ? 2n + 1 ? 2n + 1
由 Tn =

n 1000 1000 1000 > 得n > ，满足 Tn > 的最小正整数为 112. 2n + 1 2009 9 2009

20、 （2009 天津卷文） （本小题满分 12 分） 设函数 f ( x ) = ?

1 3 x + x 2 + (m 2 ? 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 3

1 1 处的切线斜率 （Ⅰ）当 m = 1时， 曲线 y = f ( x)在点（ ，f（ ））
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值； （Ⅲ） 已知函数 f (x ) 有三个互不相同的零点 0，x1 , x 2 ， x1 < x 2 。 且 若对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] ， f ( x ) > f (1) 恒成立，求 m 的取值范围。 【答案】 （1）1（2） f (x ) 在 ( ?∞,1 ? m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数，在 (1 ? m,1 + m) 内增函数。函数 f (x ) 在

2 1 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ，且 f (1 + m) = m 3 + m 2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x ) 在 x = 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ，且 f (1 ? m) = ? m + m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 【解析】解：当 m = 1时，f ( x ) = x + x , f ( x ) = x + 2 x, 故f (1) = 1 3

1 1 处的切线斜率为 1. 所以曲线 y = f ( x)在点（ ，f（ ））
（2）解： f ' ( x) = ? x 2 + 2 x + m 2 ? 1 ，令 f ' ( x) = 0 ，得到 x = 1 ? m, x = 1 + m 因为 m > 0, 所以1 + m > 1 ? m 当 x 变化时， f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表：

x
f ' ( x) f (x)

(?∞,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 + m)
-

1+ m
0 极大值

(1 + m,+∞)
+

f (x) 在 (?∞,1 ? m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数，在 (1 ? m,1 + m) 内增函数。
函数 f (x) 在 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ，且 f (1 + m) =

2 3 1 m + m2 ? 3 3

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函数 f (x ) 在 x = 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ，且 f (1 ? m) = ? （3）解：由题设， f ( x ) = x ( ? 所以方程 ?

2 3 1 m + m2 ? 3 3

1 2 1 x + x + m 2 ? 1) = ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

1 2 4 x + x + m 2 ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ，故 x1 + x 2 = 3 ，且 ? = 1 + (m 2 ? 1) > 0 ，解 3 3 1 1 得 m < ? (舍)，m > 2 2 3 因为 x1 < x 2 , 所以2 x 2 > x1 + x 2 = 3, 故x 2 > > 1 2 1 若 x1 ≤ 1 < x 2 , 则f (1) = ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ≥ 0 ，而 f ( x1 ) = 0 ，不合题意 3
若 1 < x1 < x2 , 则对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] 有 x ? x1 ≥ 0, x ? x 2 ≤ 0, 则 f ( x ) == ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ≥ 0 又 f ( x1 ) = 0 ，所以函数 f (x) 在 x ∈ [ x1 , x 2 ] 的最小值为 0，于是对 3 1 3 3 < 0 ,解得 ? <m< 3 3 3

2 任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] ， f ( x ) > f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) = m ?

综上，m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

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