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湖北省襄阳市2013届高三第一次调研考试理科数学试题详细解析


湖北省襄阳市 2013 届高三第一次调研考试 理科数学试题详细解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 )
[来源:学科网]

1.复数

3?i 3?i ? 的虚部为 2?i 2?i A. 2i B.— 2i
2

C. 2

D. ?2

2.若集合 A ? {x || x |? 1, x ? R}, B ? { y | y ? x , x ? R}, 则A ? B ? A. {x | ?1 ? x ? 1}
2

B. {x | x ? 0}
m

C. {x | 0 ? x ? 1}

D. ?

3.函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x 是幂函数,且在 x ? (0, ??) 上为增函数,则实数 m 的值是 A. ?1 B. 2 C. 3 D. ?1 或 2 4 . 在 ?ABC 中 , M 是 BC 的 中 点 , AM ? 3 , 点 P 在 AM 上 , 且 满 足

??? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? AP ? 2PM , 则PA ? ( PB ? PC) 的值为
A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4 5.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千 克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶 乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不 超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的 最大利润是 A. 1800 元 B. 2400 元 C. 2800 元 D. 3100 元 6.如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的 较短边长为 2.向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率为

1 13 2 B. 13 3 C. 13 4 D. 13
A. 7.若函数 f ( x ) 在 ?1, 2 ? 内有一个零点,要使零点的近似值满足精确度为 0.01,则对区间

?1, 2? 至少二等分

A. 6 次

B. 7 次

C. 8 次

D. 9 次

8.已知 x, y ? R* 满足 x2 ? y 2 ? 1, 则

1 1 ? 的最小值为 x y
C. 5 D. 2 2

A.

3 5 7

B. 2

9.已知函数 f ( x ) 是 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 {an } 是等差数列, a3 ? 0, 则

f (a1 ) ? f (a3 ) ? f (a5 ) 的值
A.恒为正数 C.恒为 0 B.恒为负数 D.可以为正数也可以为负数

10.如右图,函数 y ? f ( x) 的图象为折线 ABC,设

f1 ( x) ? f ( x), fn?1 ( x) ? f [ fn ( x)], n ? N * ,则
函数 y ? f 4 ( x) 的图象为

二、填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分。请将答案填 在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,横棱两可均不得分。 ) 11.设函数 f ( x) ? x ? c, 若
2

?

1

0

f ( x)dx ? 1 ,则 c ?
? ? ? ?



12.已知 a ? b,| a |? 2,| b |? 3, 且 3a ? 2b 与 ? a ? b 垂直,则实数 ? 的值为 13 . 已 知 某 算 法 的 流 程 图 如 图 所 示 , 输 出 的 ( x, y ) 值 依 次 记 为

?

? ?

?

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?. 若程序运行中输出的一个数组是 ? t, ?8? ,则 t ?



14.已知函数 y ? g ? x ? 图象由 f ? x ? ? sin 2x 的图象向右平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位得到, 这两个函数的部分图象如图所示,则 ? = .

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序 号后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图, P 是圆 O 外的一点, PD 为切线,

D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O . PF ? 6, PD ? 2 3 ,则
. 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并 在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为 ? ?

?DPF ?

?

4

( ? ? R ) ,它与曲线

? x ? 1 ? 2 cos? (? 为参数)相交于两点 A 和 B ,则 AB ? ? ? y ? 2 ? 2sin?



三、解答题 (本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本大题满分 12 分) 已知函数 a ? (cos 2 x, ?1), b ? (1, cos(2 x ?

?

?

?
3

? ? )), 设 f ( x) ? a ? b ? 1.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间;

(2) x 为三角形的内角, 设 且函数 y ? 2 f ? x ? ? k 恰有两个零点, 求实数 k 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an }满足an?1 ? an ? 9 ? 2n?1 , n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若不等式 Sn ? kan ? 2对一切n ? N * 恒成立,求实 数 k 的取值范围. 19. (本大题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2x在x ? ?1 处取得极值,且在点 (1, f (1)) 的切线斜率为 2 .

(l)求 a , b 的值 (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? m ? 0在区间[ , 2] 上恰有两个不相等的实
3 2

1 2

数根,求 实数 m 的取值范围, 20. (本大题满分 12 分) 某校高二年级共有学生 1000 名,其中走读生 750 名, 住宿生 250 名,现从该年级采用分层抽样的方法从 该年级抽取 n 名学生进行问卷调查,根据问卷取得 了这 n 名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟) 的数据,按照以下区间分为八组:

[0,30) 30, 60),60,90) 90, 120) ,[ [ ,[ , [120,150)150,180),180, 210) 210, 240) ,[ [ ,[ ,
得到频率分布直方图如右图,已知抽 取的学生中每天晚上有效学习时间少于 60 分钟的 人数为 5 人. (1)求 n 的值并求有效学习时间在 ?90,120? 内的频率;
[来源:Zxxk.Com]

(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的 n 名学生,下列 2 ? 2 列联表,问:是否有 95% 的把握认为 学生利用时间是否充分与走 读、住宿有关?

(3) 若在第①组、 第②组、 第⑦组、 第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因, 记抽到“有效学习时间少于 60 分钟”的学生人数为 X ,求 X 的分布列及期望.

n(ad ? bc)2 参考公式: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

参考列表:

21. (本大题满分 13 分) 已知 {an } 为递增的等比数列,且 {a1 , a3 , a5 } ? {?10, ?6, ?2,0,1,3, 4,16}. (l)求数列 {an } 的通项公式; (2)是否存在等差数列 {bn } ,使得 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn? 2 ? ? ? an b1 ? 2n?1 ? n ? 2 对 一切 n ? N 都成立?若存在,求出 bn ;若不存在,说明理由.
*

22. (本大题满分 14 分) 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e
2 3? x

( x ? R) 的一个极值点.

(l)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ,并求 f ? x ? 的单调区间; (2) a ? 0, g ( x) ? (a ? 设
2

25 x )e . 若存在 x1 , x2 ?[0, 4] 使得 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 1 成立, 求 4

a 的取值范围.

【参考答案】
1.C【解析】

3 ? i 3 ? i ? 3 ? i ?? 2 ? i ? ? ? 3 ? i ?? 2 ? i ? 10i ? ? ? ? 2i. 2?i 2?i 5 ? 2 ? i ?? 2 ? i ?
2

2.C 【解析】A ? {x || x |? 1, x ? R} ? ??1,1?, B ? {y | y ? x , x ? R} ? ?0, ??? , A ? B ? ?0,1?.
2 3.B【解析】 m ? m ?1 ? 1, m ? 2 或 m ? ?1, 因 f ( x ) 在 ? 0,??? 上为增函数,则 m ? 2.

4.A【解析】 PA ? ( PB ? PC ) ? PA ? 2PM ? ? PA ? ?4. 5.C 【解析】设每天生产甲种产品 x 桶、乙种产品 y 桶,依题意可得

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

???? ?

??? 2 ?

? x?0 ? y?0 ? ,针对 z ? 300 x ? 400 y 求得最优解为 ? 4, 4 ? ,所以 zmax ? 2800. ? x ? 2 y ? 12 ? ? 2 x ? y ? 12 ? 6. A【解析】由勾股定理可得直角三角形较长直角边为 3 ,则正方形边长为 1 ,所以向大正 1 方形内投一飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率为 . 13
7. B【解析】由 a ? b ? ? 得 ? ? ?

?1? ?2?

7

1 ? 0.007503125 ? 0.01,所以至二等分 7 次. 128
? ?? ? , 则问题转化为判断函数 ? 2?

8.D 【解析】由 x 2 ? y 2 ? 1可设 x ? cos ? , y ? sin ? ,? ? ? 0,

f ?? ? ?

1 1 ? 的值域问题. cos ? sin ?

?? ? 2 sin ?? ? ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ? 1 1 4? ? , ? ? 为极值点, f ' ?? ? ? ? ? 2 4 cos ? sin ? ? sin ? cos? ?
可 得 f ?? ? ?

1 1 ?? ? ? ? ?? ? 在 ? 0, ? 单 调 递 增 , 在 ? , ? 单 调 递 减 , 因 此 cos ? sin ? ?4 2? ? 4?

f ?? ?m i ? n

1 1 ? ? 2 2. 2 2 2 2

9. A 【 解 析 】 a1 ? a5 ? 2a3 ? 0, 所 以 a1 , a5 至 多 有 一 项 为 负 , 且 f (a1 ) ? f (a5 ) ? 0, 而

f (a3 ) ? f ? 0? ? 0, 所以 f (a1 ) ? f (a3 ) ? f (a5 ) ? 0.
10. D【解析】可依次罗列 f1 ( x), f 2 ( x), f3 ( x), f 4 ( x) 均为分段函数且段数分别为 2, 4,8,16. 因此选 D. 11.

2 【解析】 3

?

1

0

1 2 ?1 ?1 f ( x)dx ? ? x3 ? cx ? ? 1, ? c ? 1, c ? . 3 3 ?3 ?0

12.

?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 3 【 解 析 】 由 3a ? 2b ? ? a ? b ? 0 得 3? a ? 2b ? ? 2? ? 3? a ? b ? 0, 所 以 2

?

??

?

3 12? ? 18, ? ? . 2
13. 81 【解析】依程序运行依次输出 ?1,0? , ?3, ?2? , ?9, ?4? , ? 27, ?6? , ?81, ?8?.

14.

?
3

【解析】由图可知 f ? x ? ? sin 2x 与 x 轴的一个交点坐标为 ?

?? ? , 0 ? ,所以 ?2 ?

??
15.

?

? 17? ? ? ? ?? ? ?? . 8 ? 24 2 ? 3

2 ? ? 【解析】 PE ? 6 ? 2 3 , PE ? 2, PO ? 4, r ? 2, ?DPF ? . 6 6

?

?

16.

14【解析】 分别化为普通方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1, y ? x. 弦心距 d ?
2 2

1? 2 2

?

1 , 2

? 1 ? 所以 AB ? 2 2 ? ? ? ? 14. ? 2?
2

2

17.(1)解: f ( x) ? a ? b +1 ? cos 2 x ? cos(2 x ?

?
3

) ?1 ?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2

? cos(2 x ?

?
3

) ?1

∴最小正周期为 ? 由 2k? ≤ 2 x ?

?
3

≤ 2k? ? ? ,得 k? ?

?
6

≤ x ≤ k? ?

?
3

? k ?Z?

∴ 函数 f ? x ? 的单调递减区间是 (k? ? (2)解: y ? 2 f ( x) ? k ? 2cos(2 x ?

?
6

,? ? k

?
3

) ? k ?Z?

?
3

) ?2 ? k

因为 x 是三角形的内角,所以 由 2 cos(2 x ?

?
3

? 2x ?

?
3

?
?
3

7? 3
)?? 2?k k ? ?1 ? 2 2


?
3

) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2 x ?

函数 y ? 2 f ? x ? ? k 恰有两个零点,即①在 ? 0, ? ? 有 两个根 ∴ ?1 ? ?1 ?

1 k k 1 ? 或 ? ?1 ? ? 1 2 2 2 2

即 ?3 ? k ? 0 或 ?4 ? k ? ?3. ∴实数 k 的取值范围是 k k | -3 ? k ? 0或-4 ? k ? -3 . 18.(1)解:设等比数列 {an } 的公比为 q , ∵ an ?1 ∴ a2 ∴q ?

?

?

? an ? 9 ? 2n?1 , n ? N *
a3 ? a2 18 ? ?2 a2 ? a1 9

? a1 ? 9 , a3 ? a2 ? 18

又 2a1 ? a1 ? 9 ,∴ a1 ∴ an

?3

? 3 ? 2n?1 , n ? N * .

a1 (1 ? q n ) 3(1 ? 2 n ) ? ? 3(2 n ? 1) (2)解: Sn ? 1? q 1? 2
∴ 3(2 ∴k
n

? 1) ? k ? 3 ? 2n?1 ? 2 ,
1 3 ? 2n?1


? 2?



f (n) ? 2 ?

1 3 ? 2n ?1

, f (n) 随 n 的增大而增大,



f (n)min ? f (1) ? 2 ?
? 5 . 3

1 5 ? 3 3

∴k

即实数 k 的取值范围为 (??, ) . 19.(1)解:

5 3

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 2

? f ?(?1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 ∴ ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 2 ?
解得: a ? ?

1 1 , ? . b 3 2

(2)解:由(1)知, f ( x) ? ? ∴ 即

1 3 1 2 x ? x ? 2x 3 2

f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? m ? 0
2 3 3 2 x ? x ? x?m?0 3 2

设 g ( x) ?

2 3 3 2 x ? x ? x ? m, 3 2
2

则 g ?( x) ? 2 x

? 3x ? 1 ? ( x ? 1)(2 x ? 1)
1 2

(1 ? ∴ g ? x ? 在 (?? , ) , , ?) 上递增,在 (
∴ g ( x)min ? g (1) ? m ?

1 , 上递减, 1) 2

1 , 6

1 5 g ( x)max ? g ( ) ? m ? , 2 24

g (2) ? m ?
为使方程

4 3

f ( x) ? x3 ? 2x2 ? x ? m ? 0 在区间 [ ,2] 上恰有两个不相等的

1 2

实数根,则

5 ? 1 ? g ( 2 ) ? m ? 24 ≥ 0 ? 1 ? ? g (1) ? m ? ? 0 6 ? ? g (2) ? m ? 4 ≥ 0 ? 3 ?
解得: ?

5 1 ≤m ? ? . 24 6

20.(1)解:设第 i 组的频率为 P ?i ? 1,2,...,8? i 由由频率分布直方图知: P ? 1

1 1 1 4 ? 30 ? ,2 ? P ? 30 ? 3000 100 750 100

∴有效学习时间少于 60 分钟的频率为 P 1 故n?

? P2 ?

5 , 100

5 ? 5 ,∴ n ? 100 。 100
1 10 1 30 15 10 5 ? 30 ? ,5 ? P ? 30 ? ,6 ? P ,7 ? P ,8 ? P 300 100 100 100 100 100 100

又P ? 3 ∴P 4

?1? (

1 4 10 30 15 10 5 1 ? ? ? ? ? ? )? 100 100 100 100 100 100 100 4

∴有效学习时间在 [90, ) 内的频率为 120

1 4



(2)解:抽取的 100 人中,走读生有 750 ? ∴ a ? 25,b ? 10.

1 ? 75 人,住读生 25 人, 10

K2 ?

100(50 ? 15 ? 25 ? 10) 2 ? 5.556 。 75 ? 25 ? 40 ? 60
2

由于 K ? 3.841 ,所以有 95% 的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关. (3)解:由(1)知:第①组 1 人,第②组 4 人,第⑦组 10 人,第⑧组 5 人,共 20 人

P( X ? i ) ?

i 3 C5 C15?i 3 C20

(i ? 0 , , , 1 2 3)

∴ P( X ? 0) ?

91 5 5 1 , ( X ? 1) ? P , ( X ? 2) ? P , ( X ? 3) ? P 。 228 76 38 114

∴ X 的分布列为 P 0 1 2 3

X

91 228

35 76

5 38

1 114

EX ? 0 ?

91 35 5 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 228 76 38 114 4

.

21.(1)解:∵ {an } 为递增的等比数 列,∴其公比为正数 又 {a1 , a3 , a5 } ? {?10, ?6, ?2,0,1,3, 4,16}.

?a1 ? 1 a3 ? 4,a5 ? 16 , ,

2 故q ?

a3 ?4 ? q?2 a1

∴ {an } 的通项公式为 an

? 2n?1

(2)解:假设存在满足条件的等差数列 {bn } ,其公差为 d . 当 n ? 1 时, a1b1 ? 1 ,又 a1 ? 1 ?b1 ? 1 , 当 n ? 2 时, a1b2 ? a2b1 ? 4 , 即 b2 ? 2b1 ? 4, b2 ? 2 , ? 故 d ? b2-b1 ? 1 bn ? b1 ? (n- )d ? n , 1 下 面 证 明 当 bn ? n 时 ,

a1 b ? a2 b 1 ? a3 b 2? ? a b ? 2 ?1- - 2对 一 切 + n 1 n n n n - n -

n ? N * 都成立.
设 Sn ? a1bn ? a2bn-1 ? a3bn-2 ? ?+anb1 ① Sn ? 1? n ? 2 ? (n- ) ? 22 ? (n-2) ? 23 ? (n-3) ? ? ? 2n-2 ? 2 ? 2n-1 ?1  1
n n ② 2Sn ? 2 ? n ? 22 ? (n- ) ? 23 ? (n-2) ? 24 ? (n-3) ? ?? 2-1 ? 2 ? 2 ?1  1

2 3 n ?1 ? 2 n ? ?n ? ② 得: S n ? ? n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 -①

2(1 ? 2 n ) ? 2 n ?1 ? n ? 2 1? 2

∴存在等差数列 {bn } ,使得

a1bn ? a2bn-1 ? a3bn-2 ??+anb1 ? 2n?1 ? n ? 2 对一切 n ? N * 都成立.
另解:假设存在满足条件的等差数列 {bn } ,其公差为 d ,则

Tn ? bn ? 2bn?1 ? 22 bn?2 ? ? ? 2n?2 b2 ? 2n?1 b1
2Tn ? 2bn ? 22 bn?1 ? 23 bn?2 ? ? ? 2n?1 b2 ? 2n b1
② 得: Tn -①

① ②

? ?bn ? 2d ? 22 d ? ? ? 2n?1 d ? 2n b1
n ? 2n b1 ? b ? d( 2 ? 2 ) ? 1b ?d n) 2 ?n d 1? b ? d ( n

?b1 ? d ? 2 ? ∴ ?d ? 1 ,解得: b1 ? 1 d ? 1 ?bn ? n . , , ??b1 ? d ? ?2 ?
故 存 在 等 差 数 列 {bn } , 使 得

a1bn ? a2bn-1 ? a3bn-2 ??+anb1 ? 2n?1-n-2 对 一 切

n ? N * 都成立

22.(1)解:

f ?( x) ? ?[ x2 ? (a ? 2) x ? b ? 1]e3? x
2 3?3

由 f ?(3) ? 0 得: ?[3 ? (a ? 2) ? 3 ? b ? a]e 即 b ? -3-2a , 故

?0,

f ?( x) ? [ x2 ? (a ? 2) x ? 3 ? 3a]e3? x ? ?( x ? 3)( x ? a ? 1)e3? x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 3 或 x2 ?-a- ,由于 x ? 3 是极值点, 1 所以 x1

? x2 ,那么 a ? -4

当 a ? ?4 时, x2 ? 3 ? x1 ,则

3) 在区间 (-?, 上, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 为减函数;
在区间 (3, ?a ? 1) 上, f ?( x) ? 0 , 在区间 ? ?a ?1, ??? 上,

f ? x ? 为增函数;

f ?( x) ? 0 , f ? x ? 为减函数
f ? x ? 为减函数;

当 a ? ?4 时, x2 ? 3 ? x1 ,则 在区间 ? ?a ?1, ??? 上, f ?( x) ? 0 ,

, 在区间 (?a ? 1 3) 上,
在区间 ?3,??? 上,

f ?( x) ? 0 , f ? x ? 为增函数;

f ?( x) ? 0 , f ? x ? 为减函数.

(2)解:由(1)知,当 a ? 0 时, 减,那么

f ? x ? 在区间 (0, 上的单调递增,在区间 (3,) 上单调递 3) 4
- 1

f ? x ? 在区间 [0,] 上的值域是 [min{ f ? 0?,f ? 4? },f ?3?] , 4
3

而 f ? 0? ? -(2a ? 3)e ? 0,f ? 4? ? (2a ? 13)e 那么

? 0,f ?3? ? a ? 6,

f ? x ? 在区间 [0,] 上的值域是 [?(2a ? 3)e3,a ? 6] 4
2

又 g ( x) ? ( a

?

25 x )e 在区间 [0,] 上是增函数, 4 4
? ?
2

4 且它在区间 [0,] 上的值域是 ? a ?

25 ? 2 25 ? 4 ? ,? a ? ?e ? , 4 ? 4? ?
2

25 ? 1 ? 1? ? 2 由于 ? a 2 ? ? ? ? a ? 6? ? a ? a ? ? ? a ? ? ? 0, 4? 4 ? 2? ?
所以只须仅须 ? a ?
2

? ?

3 25 ? ? ? ? a ? 6 ? ? 1, 且 a ? 0 ,解得 0 ? a ? 2 , 4 ?

故 a 的取值范围是 ? 0,

? ?

3? ?. 2?


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机密★启用前 试卷类型 A 2013 年 3 月襄阳市普通高中调研统一测试 高三数学(理科)本试题卷共 6 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。...
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机密★启用前 试卷类型 A 2013 年 3 月襄阳市普通高中调研统一测试 高三数学(理科)本试题卷共 6 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。...
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湖北省襄阳市2013届高三元月第一次调研考试生物试题解析
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​高​三​第​一​次​调​研​考​试​英​语​试...20131襄阳市高三统一调研测试英语试题答案及录音稿 1--20 CACBA BC...
2013年3月调研测试高三理科数学试题
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