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北京10年至12年初三一模几何综合题试题


北京市初三一模几何综合试题(10 年---12 年) 姓名:——————
25. 年昌平一模) 如图, (12 在四边形 ABCD 中, 对角线 AC、 相交于点 O, BD 直线 MN 经过点 O, 设锐角∠DOC=∠ ? , 将△DOC 以直线 MN 为对称轴翻折得到△D’OC’,直线 A D’、B C’相交于点 P. (1)当四边形 ABCD 是矩形时,如图 1,请猜想 A D’、B C’的数量关系以及∠APB 与∠α 的大小关系; (2)当四边形 ABCD 是平行四边形时,如图 2, (1)中的结论还成立吗? (3)当四边形 ABCD 是等腰梯形时,如图 3,∠APB 与∠α 有怎样的等量关系?请证明.

C' D' P A O B M
图1

N D C B

C' A P O

D' N D C

C'
P

A

D' N D O C

B

M
图2

M
图3

24. (12 年西城一模)已知:在如图 1 所示的锐角三角形 ABC 中,CH⊥AB 于点 H,点 B 关于直线 CH 的对称点为 D, AC 边上一点 E 满足∠EDA=∠A,直线 DE 交直线 CH 于点 F. (1) 求证:BF∥AC; (2) 若 AC 边的中点为 M,求证: DF ? 2EM ; (3) 当 AB=BC 时(如图 2) ,在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图 2 中所有与 BE 相等的线段,并证明你 的结论.

图1

图2

1

24、 (12 年海淀一模)在□ABCD 中,∠A=∠DBC,过点 D 作 DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接 EF、EC, N、P 分别为 EC、BC 的中点,连接 NP. (1)如图 1,若点 E 在 DP 上,EF 与 DC 交于点 M,试探究线段 NP 与线段 NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足 的等量关系,请直接写出你的结论; (2)如图 2,若点 M 在线段 EF 上,当点 M 在何位置时,你在(1)中得到的结论仍然成立,写出你确定的点 M 的位 置,并证明(1)中的结论.
A D F E B P M E N C B P N C A D F

图1

图2

24.(12 年东城一模)已知∠ABC=90°,点 P 为射线 BC 上任意一点(点 P 与点 B 不重合) ,分别以 AB、AP 为边在∠ ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ,连结 QE 并延长交 BP 于点 F. (1)如图 1,若 AB= 2 3 ,点 A、E、P 恰好在一条直线上时,求此时 EF 的长(直接写出结果) ; (2)如图 2,当点 P 为射线 BC 上任意一点时,猜想 EF 与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段) , 并加以证明; (3)若 AB= 2 3 ,设 BP= x ,以 QF 为边的等边三角形的面积 y,求 y 关于 x 的函数关系式.

2

23.(13 年朝阳一模) 阅读下面材料: 问题:如图①,在△ABC 中, D 是 BC 边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=2.求 BD 的长. 小明同学的解题思路是:利用轴对称,把△ADC 进行翻折,再经过推理、计算使问题 得到解决. (1)请你回答:图中 BD 的长为 DC=2,求 BD 和 AB 的长. ; (2) 参考小明的思路,探究并解答问题:如图②, 在△ABC 中, 是 BC 边上的一点, D 若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°,

A

A

B

D

C

B

D

C

25.(12 年朝阳一模) 在矩形 ABCD 中,点 P 在 AD 上,AB=2,AP=1,将三角板的直角顶点放在点 P 处,三角板的两 直角边分别能与 AB、BC 边相交于点 E、F,连接 EF. (1)如图,当点 E 与点 B 重合时,点 F 恰好与点 C 重合,求此时 PC 的长; (2)将三角板从(1)中的位置开始,绕点 P 顺时针旋转,当点 E 与点 A 重合时停止,在这个过程中,请你观察、 探究并解答: ① ∠PEF 的大小是否发生变化?请说明理由; ② 直接写出从开始到停止,线段 EF 的中点所经过的路线长.

A

P

D

A E

P

D

B(E)

C(F)

B
备用图

F

C

3

24(12 年石景山一模) .在△ ABC 中, AB ? AC , D 是底边 BC 上一点, E 是线段 AD 上一点,且 ∠ BED ? 2?CED ? ?BAC . (1) 如图 1,若∠ BAC ? 90? ,猜想 DB 与 DC 的数量关系为 ; (2) 如图 2,若∠ BAC ? 60? , 猜想 DB 与 DC 的数量关系,并证明你的结论; (3)若∠ BAC ? ? ? ,请直接写出 DB 与 DC 的数量关系. A A

E

E B
图1

D

C

B

D
图2

C

24. (12 年丰台一模)已知:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中 BA=BC,DA=DE,联结 EC,取 EC 的中点 M,联结 BM 和 DM. (1) 如图 1, 如果点 D、 分别在边 AC、 上, E AB 那么 BM、 DM 的数量关系与位置关系是 (2)将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由. ;

B E M A D C
A

B

C M

D

E

4

24. (11 年昌平一模)已知, 点 P 是∠MON 的平分线上的一动点, 射线 PA 交射线 OM 于点 A,将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B,且使∠APB+ ∠MON=180°.
(1)利用图 1,求证:PA=PB; (2)如图 2,若点 C 是 AB 与 OP 的交点,当

M

S?POB ? 3S?PCB 时,求 PB 与 PC 的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射线 AP 交 ON 于点 D ,且满足且 ?PBD ? ?ABO , 请借助图 3 补全图形,并求 OP 的长.

图1

T P A O B N

M

图2

T A C O B N P

M

图3

A P C O B

T

N

5

25.(11 年昌平一模)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴
的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D,连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC,交 OA 于点 E.

(1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 OC 交于点 G.如果
EF=2OG,求点G的坐标. (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构 成的△ PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y

A
E

D

B

O

C

x

25. (11 年海淀一模)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,tan∠BAC=

1 . 点 D 在边 AC 上(不与 A,C 重合) ,连结 BD,F 2

为 BD 中点. (1)若过点 D 作 DE⊥AB 于 E,连结 CF、EF、CE,如图 1. 设 CF ? kEF ,则 k = ; (2)若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转,使得 D、E、B 三点共线,点 F 仍为 BD 中点,如图 2 所示. 求证:BE-DE=2CF; (3)若 BC=6,点 D 在边 AC 的三等分点处,将线段 AD 绕点 A 旋转,点 F 始终为 BD 中点,求线段 CF 长度的最 大值.

A D E D E

A

A

F F
C
图1

B
6

C
图2

B

C
备图

B

25. (11 年西城一模)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 CB,CA 延长线上的点,BE 与 AD 的交点为 P. (1)若 BD=AC,AE=CD,在图 1 中画出符合题意的图形,并直接写出∠APE 的度数; (2)若 AC ? 3BD , CD ? 3 AE ,求∠APE 的度数.

24. (11 年东城一模)等边△ ABC 边长为 6,P 为 BC 边上一点,∠MPN=60° ,且 PM、PN 分别于边 AB、AC 交于点 E、 F. (1)如图 1,当点 P 为 BC 的三等分点,且 PE⊥AB 时,判断△ EPF 的形状; (2)如图 2,若点 P 在 BC 边上运动,且保持 PE⊥AB,设 BP=x,四边形 AEPF 面积的 y,求 y 与 x 的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围; (3)如图 3,若点 P 在 BC 边上运动,且∠MPN 绕点 P 旋转,当 CF=AE=2 时,求 PE 的长.

7

图1

图2

图3

25. (11 年朝阳一模)已知:△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90° ,点 M 是 CE 的中点,连接 BM. (1) 如图①, D 在 AB 上, 点 连接 DM, 并延长 DM 交 BC 于点 N, 可探究得出 BD 与 BM 的数量关系为 ; (2)如图②,点 D 不在 AB 上, (1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
B E D A M
图①

B D M
C

N

E

A

图②

C

25.已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: (1)如图 1,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则 CD= ; (2)如图 2,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则 CD= ; (3)如图 3,当∠ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
C
C
D

A

B

C

A

B

D

A

B

D

8

图1

图2

图3

25.(10 年海淀一模)已知:△AOB 中, AB ? OB ? 2 ,△COD 中, CD ? OC ? 3 ,∠ABO ? ∠DCO . 连接 AD 、 BC ,点 M 、 N 、 P 分别为 OA 、 OD 、 BC 的中点.

B M O P N C
图1

B

A M O

A

P

N D

D
图2

C

(1) 如图 1,若 A 、 O 、 C 三点在同一直线上,且 ∠ABO ? 60 ,则 △PMN 的形状是________________,此时
?

AD ? ________; BC
(2) 如图 2,若 A 、 O 、 C 三点在同一直线上,且∠ABO ? 2? ,证明 △PMN∽△BAO ,并计算 的式子表示) ; (3) 在图 2 中,固定 △AOB ,将 △COD 绕点 O 旋转,直接写出 PM 的最大值.
9

AD 的值(用含 ? BC

24. (10 年朝阳一模)如图,在平面直角坐标系中,A( 2 3 ,0) ,B( 2 3 ,2).把矩形 OABC 逆时针旋转 30? 得 到矩形 OA 1 B1C 1 . (1)求 B1 点的坐标; (2)求过点(2,0)且平分矩形 OA 1 B1C 1 面积的直线 l 方程; (3)设(2)中直线 l 交 y 轴于点 P,直接写出 ?PC1O 与 ?PB1 A1 的面积和的值及 ?POA1 与 ?PB1C1 的面积差的值.

备用图 10

25.(10 年朝阳一模)如图,正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 M,正方形 MNPQ 与正方形 ABCD 全等, 射线 MN 与 MQ 不过 A、B、C、D 四点且分别交 ABCD 的边于 E、F 两点. (1)求证:ME=MF; (2)若将原题中的正方形改为矩形,且 BC ? 2 AB ? 4 ,其他条件不变,探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系.

A M

D

A
F Q

D M

B N

E

C

B

C

P

11

24. (10 年西城一模)如图 1,在□ABCD 中,AE⊥BC 于 E,E 恰为 BC 的中点, tan B ? 2 . (1)求证:AD=AE; (2)如图 2,点 P 在 BE 上,作 EF⊥DP 于点 F,连结 AF. 求证: DF ? EF ? 2 AF ; (3)请你在图 3 中画图探究:当 P 为射线 EC 上任意一点(P 不与点 E 重合)时,作 EF⊥DP 于点 F,连结 AF, 线段 DF、EF 与 AF 之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论. A D A D A D

F B E
图1

C

B P

E
图2

C

B

E
图3

C

24. 年昌平一模) (10 (1)已知: 如图 1, ABC 中, △ 分别以 AB 、AC 为一边向△ ABC 外作正方形 ABGE 和 ACHF , 直线 AN ? BC 于 N ,若 EP ? AN 于 P , FQ ? AN 于 Q . 判断线段 EP、FQ 的数量关系,并证明; (2)如图 2,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , 分别以两腰 AB 、 CD 为一边向梯形 ABCD 外作正方形 ABGE 和 线段 AD 的垂直平分线交线段 AD 于点 M , BC 于点 N , E ? 交 若 P M DCHF , N 中结论还成立吗?请说明理由.
E Q G A H B N 图1 C B N 图2 C P F G Q A D M H F E P

于P, (1) FQ ? MN 于 Q .

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