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等差数列和等比数列知识点


等差数列和等比数列——GTW 专版
基础知识

1.数列的概念
定义 1: 按照某一法则,给定了第 1 个数 ,于是得到一列有次序的数 数列的项,第 项 ,第 2 个数 ,???,对于正整数 有一个确定的数 表示。数列中的每项称为

我们称它为数列,用符号 的通项。

称为数列的一般项,又称为数列

r />
定义 2:当一个数列的项数为有限个时,称这个数列为有限数列;当一个数列的项数为无限时,则称 这个数列为无限数列。 定义 3:对于一个数列,如果从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项,即 称为递增数列;如果从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项,即 定义 4:如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数,即 这样的数列为有界数列,否则就称为是无界数列。 定义 5.如果在数列 为数列 的通项公式。 中,项数 与 具有如下的函数关系: ,则称这个关系 ,这样的数列

,这样的数列称为递减数列。 ,其中 是某一个正数,则称

2.等差数列
定义 6.一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母 表示(若 an-a(n-1)=d,则{an}为等差数列)

等差中项:任意两个数 a , b 有且只有一个等差中项,即 A ?

a?b a?b ;A? 是 a、A、b 成等差数 2 2

列的充要条件。因此,两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。 等差数列具有以下几种性质: (1)等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d ,其中( n ? m ) ;也可以 n ? m , 但 an、am 必须是数列中的项,也可得 d=

an ? a1 a ? am (n ? 1) 或 d= n ( n ? m) n ?1 n?m

由于 an ? a1 ? (n ?1)d 可整理为 an ? dn ? (a1 ? d ) 。如果 d ? 0 , an 是常数;如果 d ? 0 , an 是 n 的 一次函数式,那么公差不为 0 的等差数列的图像是直线 y ? dx ? (a1 ? d ) 上的均匀排开的一群孤立点。 (2)等差数列的前 项和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d; 或 Sn ? na1 ? 2 2
1

由于 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d d d d d ,可整理 S n ? n 2 ? (a1 ? )n ;设 A= , B= a1 ? ,该式看写成 2 2 2 2 2

,那么 (n, Sn ) 在二次 Sn ? An2 ? Bn , 当 A ? 0(即d ? 0) 时, Sn 是关于 n 的二次函数(其中常数项为 0) 函数 y ? Ax2 ? Bx 的图像上。因此,当 d ? 0 时,数列 S1、S2、S3、、 ... Sn 的图像为抛物线 y ? Ax2 ? Bx 上的一群孤立的点。

Sn 的最值求法:
若 ?an ? 是等差数列,求前 n 项和的最值时: ①若 a1 ? 0, d ? 0 ,且满足 ?

? an ? 0 ;前 n 项和 Sn 最大; ? an ?1 ? 0

? an ? 0 ②若 a1 ? 0, d ? 0 ,且满足 ? ;前 n 项和 Sn 最小; ? an ?1 ? 0

③除上面方法外,还可以将 ?an ? 的前 n 项和的最值问题看做 Sn 关于 n 的二次函数问题, 利用二次函数的图像或配方法求解; ④还可以利用 Sn 与 n 的函数关系,进行求导求最值。
(3)公差非零的等差数列的通项公式为 的一次函数; (4)公差非零的等差数列的前 项和公式是关于 不含有常数项的二次函数; (5)设 ?an ? 是等差数列,则 ??an ? b? ( ?、b 是常数)是公差为 ? d 的等差数列; (6)设 ?an ? , ?bn ? 是等差数列,则 ??1an ? ?2bn ? ( ?1、?2 是常数)也是等差数列; (7)设 ?an ? , ?bn ? 是等差数列,且 bn ? N ? ,则 abn 也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的 子数列仍为等差数列) ; (8)有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等,并且等于首末两项的和;特别地,若项数 为奇数,还等于中间项的 2 倍。即

? ?

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ... ? 2a中
? ( 9 ) 若 m, n, p, q ? N , 且 m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? ap ? aq; 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 ,

am ? an ? 2 ap;
(10)在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列,但 是剩下的项按原来顺序排列构成的数列不一定是等差数列。 (11)等差数列中连续几项的和构成的新数列仍然是等差数列。
2

(12)若数列 ?an ? 为等差数列,若 Sn 为其前 n 项和,则 Sm、S2m?m、S3m?2m、S4m?3m、 ... 成等差数列。 (13) 项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ? , 有 S2n ?na (1 ? a 2 n ) na ? ( 2 a? 2 为中间的两项)。 ( 14 ) 设 ; (15)对于项数为 2 n 的等差数列 ?an ? ,记 S奇、S偶 分别表示前 则 S偶 ? S奇 =nd , 项中的奇数项的和与偶数项的和, , , ,则有

1 n ?

) .? na (? a ? ) n n 1

?

( an与an?1

S奇 an ; = S偶 an?1 S奇 n ; = S偶 n ? 1

(16)对于项数为 2n ? 1 的等差数列 ?an ? ,有 S奇 ? S偶 =an , (17) Sn 是等差数列的前 n 项和,则 S2n?1 ? (2n ?1)an ; (18)其他衍生等差数列: 若已知等差数列 ?an ? ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,则 ①. ②. 公差 ; 为等差数列,公差为 ; (即

)为等差数列,

③.

(即

)为等差数列,公差为

等差数列的判定方法:
①.定义法: an?1 ? an ? d (常数) ? ?an ? 是等差数列。 ②.中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ) ? ?an ? 是等差数列。
?

③. 通项公式法: an ? pn ? q ( p、q 为常数) ? ?an ? 是等差数列。 ④. 前 n 项和公式: Sn ? An2 ? Bn (A、B 为常数) ? ?an ? 是等差数列。

★几个常用结论及等差数列综合问题: (1)几个常用结论:

3

①.设 ?an ? , ?bn ? 是等差数列, Sn、S, n 分别是它们的前 n 项和,则有 ②.等差数列 ?an ? 中,若 an ? m, am ? n(n ? m) ,则有 am?n ? 0 。

am S2 m?1 。 ? bm S , 2 m?1

③.等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? m, Sm ? n(n ? m) ,则有 Sm?n ? ?(m ? n) 。 ④.等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? Sm (n ? m) ,则有 Sm? n ? 0

(2)等差数列综合问题:
①.等差数列定义、性质、通项公式、求和公式的综合问题,处理此问题时,要充分熟悉各类公式 及性质的灵活运用。 ②.等差数列与其他知识的综合问题 此类问题常将等差数列与三角、向量、函数等综合,要注意对多个知识点的准确把握。

3.等比数列
定义 7.一般地,如果有一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于现中一个常数,那么这 个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比;公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) ,即。 等比数列具有以下性质: (1)等比数列的通项公式: an ? a1qn?1 (a1q ? 0) 或 an ? amqn?m (a1q ? 0; n ? m) ;

an ? q(q ? 0) an?1

?na1 (q ? 1) ? (2)等比数列的前 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ; ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
(3)等比中项: an?1 ? ? an ? an?2 ; (4)无穷递缩等比数列各项公式:对于等比数列 的前 项和,当 无限增大时

的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项的和,记为 (5)设 (6)设 (7)设 是等比数列,则 , ( 是常数) ,

,即 仍成等比数列;

是等比数列,则

也是等比数列; 则 也是等比数列(即等比数列中等距离

是等比数列,

是等差数列,且

分离出的子数列仍为等比数列) ; (8)设 (9)若 是正项等比数列,则 ,则 是等差数列; ;特别地,当 时, ;

4

( 10 ) 设 ; (11)其他衍生等比数列: 若已知等比数列 ①. ②. 公比为 ; ,公比为





,则有

,前 项和为

,则 。 (即 )为等比数列,

为等比数列,公比为

数列的一般性质:
由于数列可以看做一个关于 n(n 为正整数)的函数,因此它具有函数的某些性质: (1)单调性:若 an?1 ? an ,则 ?an ? 为单调递增数列;若 an?1 ? an ,则 ?an ? 为单调递减数列;否则 为摆动数列或常数列。 可以用差值比较法,也可以用商之比较法。 利用数列的通项公式 an ,求数列的最大项与最小项。 ①若 an 为最大项,则 ?

? an ? an ?1 ; ? an ? an ?1

②若 an 为最小项,则 ?

? an ? an ?1 ? an ? an ?1

(2)周期性:若 an?k ? an (n为N ?,k为非零整数) ,则 ?an ? 为周期数列,k 为 ?an ? 的一个周期。

※数列通项的公式的求法: ※已知数列的递推关系求数列的通项公式: ※求数列通项公式的方法大致分为两类: 一类是根据前几项的特点归纳猜想出 an 的

表达式,然后用数学归纳法证明; 另一类是将已知递推关系式,用代数的一些变形技 巧整理变形,然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列(等差数列 或等比数列)等方法求得通项公式。

5

三种常用变换技巧和方法: ★ 已 知 首 项 a1 ? a , 递 推 关 系 an?1 ? qan ? b(n ? N ? ) , 求 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 的 关 键 是 将

an?1 ? qan ? b
转化为 an?1 ? a ? q(an ? a) 的形式,其中 a 的值可由待定系数法确定,即 qan ? b ? an?1 ? qan ? (q ?1)a

?a?

b (q ? 1) 。 q ?1

★已知 a1 ,且 an ? an?1 ? f (n) ,可以用“迭加法” ,即 an ? an?1 ? f (n) , an-1 ? an?2 ? f (n ?1) , 。 。 。 ,

a3 ? a2 ? f (3) , a2 ? a1 ? f (2) 。所有等式左右两边分别相加,得
。 。 + (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? f (n) ? f (n ? 1) ? ... ? f (3) ? f (2) , 即 : ? an? )2? 。 (an ? an?1 ) ? (an - 1 。) an ? a ?f n ( ? 1) ?f n ( 1 ? f( 2) ? f (3)? ...

★已知 a1 ,且

a an a a ,即: n ? f (n) , n-1 ? f (n ? 1) , 。 。 。 , 3 ? f (3) , ? f (n) ,可以用“迭乘法” an?1 an?1 a2 an?2

a a a2 a a 。 。 ? 3 ? 2 = f (2) ? f (3) ? 。 。 。 ? f (2) , 所 有 等 式 左 右 两 边 分 别 相 乘 , 得 n ? n - 1 ? 。 a1 an?1 an ?2 a2 a1
? f (n ? 1) ? f (n) ,即 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ...? f (n ? 1)? f (n )

★小结:
变换技巧: an ? (an ? an?1 ) ? (an-1 ? an? 2 ) ? 。 。 。+ (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 俗称迭加法; 变换技巧: an ?

a a an a 。 。 ? 3 ? 2 ?a1 俗称迭乘法; ? n-1 ? 。 an?1 an ?2 a2 a1

6


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