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复数加、减运算的平行四边形法则3


复数加、减运算的平行四边形 法则

复习:
1.复数加、减运算的代数法则

若z1 ? a1 ? b1i

z2 ? a2 ? b2i

?

则z1 ? z 2 ? (a1 ? a 2 ) ? (b1 ? b2 )i

z1 ? z2 ? (a1

? a2 ) ? (b1 ? b2 )i

两个复数相加、减等于实部和虚部分别相加、减

2.复数与复向量的关系
复数z ? a ? bi与复向量oz ? (a, b)一一对应。
y

b

Z(a ,b)

o

a x

3.向量加、减运算法则
? a ? ( x1 , y )
1

? b ? ( x2, y )
2

? ? a ? b ? ( x1 ?

x y
2,

1

?

y)
2

b

a?b

b

a?b

a
加法运算法则

a
减法运算法则

引入新课
? ? ? a ? (3 ,?1) b ? (2,4) ? ? ? a ? b ?(3+2,-1+4)=(5,3) ? ? ? a ? b ?(3-2,-1-4)=(1,-5)
?

y
? b

Z

2

? ? z1 ? z2 a ?b

图形表示

o

z1 ? 3 ? i z 2 ? 2 ? 4i z1 ? z 2 ? (3 ? 2) ? (?1 ? 4)i ? 5 ? 3i z1 ? z 2 ? (3 ? 2) ? (?1 ? 4)i ? 1 ? 5i
Z
3

? a ? ? a ?b

Z

x
1

z1 ? z 2

新课:复数加、减运算的平行四边形法则
复数z1 ? a1 ? b1i

z2 ? a2 ? b2i

复向量oz1 ? (a1 , b1 )oz2 ? (a 2 , b2 )

oz1 ? oz2 ? (a1 ? a 2 , b1 ? b2 )
z1 ? z 2 ? (a1 ? a 2 ) ? (b1 ? b2 )i

y
z1 ? z 2
o

Z1

z1 ? z 2
Z2

z1 ? z 2 ? (a1 ? a2 ) ? (b1 ? b2 )i
复数和、差

z1 ? z 2 , z1 ? z 2

所对应

x

的复向量也可以通过对

用平行四边形法则得到。

oz1 , oz2 使

例题1 已知: z1 ? 3 ? 2i z 2 ? 1 ? 3i
并作出复向量运算图。 若z 3 ? 5 ? 2i 解:作出复向量运算图

求:

z1 ? z 2 , z1 ? z 2

求:z ? z1 ? z 2 ? z 3

y

z1 ? z2 ? (3 ? 2i) ? (1 ? 3i)
2

z
o

Z

? (3 ? 1) ? (?2 ? 3)i ? 4 ? i

z1 ? z2

x
Z
1

z1 ? z2 ? (3 ? 2i) ? (1 ? 3i) ? (3 ? 1) ? (?2 ? 3)i ? 2 ? 5i

z 3 z ? z1 ? z 2 ? z 3
? 4 ? i ? (5 ? 2i ) ? ?1 ? 3i

z1 ? z 2

练习1
? 计算下列各式,并作出复向量图

1. (2 ? 3i) ? (1 ? 4i) ? 2. (4 ? i ) ? (5 ? i ) ? 3. (3 ? 2i ) ? (6 ? 4i ) ? 4 (3 ? 2i ) ? (?6 ? 4i )
?

练习2
? 1.计算并作复向量图

(-1+3i)+(2-i)-(-2+3i)
? 2.用图示法验证复数加法的交换律和结合律

z1 ? z 2 ? z 2 ? z1
( z1 ? z 2 ) ? z 3 ? z1 ? ( z 2 ? z 3 )

例题2
已知 z1 ? 1, z 2 ? 1, z1 ? z 2 ?
解:记

3 , 求 z1 ? z 2 的值

z ? z1 ? z,如图,根据复数加减运算的平行四边形法则,在 2

等腰 ?OZ 1 Z 2 中

2 ? ?Z1OZ 2 ? ? 3

1 ? ?OZ 1 Z ? ? 3

Z2

Z

z1 ? z 2

从而 oz ? 1, 即 z1 ? z 2 ? 1

z1 ? z 2

o

Z1

思考题
已知 z1 ? 1, z 2 ? 1, z1 ? z 2 ? 3 , 求 z1 ? z 2 的值

思考

用图示法验证

z1 ? z 2 ? z1 ? (? z 2 )
z1 ? z 2

y

z
o

1

Z

2

?z

x

2

小结
复数加、减运算的平行四边形法则; ? 数形结合方法;
?

作业
P130 1.(1)、(2) 、(4) 2.

?

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