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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学9-6


基础巩固强化 一、选择题 1.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂 直,则 k 值是( A.1 3 C.5 [答案] D [解析] ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), 2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), 7 ∵两向量垂直,∴3(k-1)+2k-2×2=0,∴k=5. → 3→ 1→ 1→ 2.对空间任意一点 O,若OP=4OA+8OB+8OC,则 A、B、C、 P 四点( ) B.一定共面 D.与 O 点的位置有关 ) 1 B.5 7 D.5

A.一定不共面 C.不一定共面 [答案] B 3 1 1 [解析] ∵4+8+8=1, ∴P、A、B、C 共面.

3.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 的夹角余弦 8 值为9,则 λ 等于( )

A.2 2 C.-2 或55 [答案] C [解析] ∵cos〈a,b〉= 2 解得 λ=-2 或55.

B.-2 2 D.2 或-55

6-λ a· b 8 = = . |a|· |b| 3 λ2+5 9

4.(2013· 山东济宁)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M → 1→ → 在 AC1 上且AM=2MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN|为( 21 A. 6 a 15 C. 6 a [答案] A → → → [解析] 设AB=a,AD=b,AA1=c, → 1→ → 1→ 1 → → → ∵AM=2MC1,∴AM=3AC1=3(AB+AD+AA1) 1 =3(a+b+c), → → → ∵N 为 BB1 的中点,∴AN=AB+BN → 1→ 1 =AB+2AA1=a+2c, → → → 1 1 ∴MN=AN-AM=(a+2c)-3(a+b+c) 2 1 1 =3a-3b+6c, 6 B. 6 a 15 D. 3 a )

→ → 2 1 1 2 4 2 1 2 1 2 21 2 21 2 ∴|MN| =(3a-3b+6c) =9a +9a +36a =36a ,∴|MN|= 6 a. 5.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a、b、 c 三向量共面,则实数 λ 等于( 62 A. 7 64 C. 7 [答案] D [解析] ∵a、b、c 三向量共面,a,b 不共线, ∴存在实数 m、n 使 c=ma+nb, 即(7,5,λ)=(2m-n,-m+4n,3m-2n), 2m-n=7, ? ? ∴?-m+4n=5, ? ?λ=3m-2n. 65 ∴λ= 7 . ) 63 B. 7 65 D. 7

6.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 → → → → 的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量 是( )

1 1 A.-2a+2b+c

1 1 B.2a+2b+c

1 1 C.-2a-2b+c [答案] A

1 1 D.2a-2b+c

→ → → → 1 → → [解析] BM=BB1+B1M=AA1+2(B1A1+B1C1) → 1 → → 1 1 =AA1+2(-AB+AD)=c-2a+2b,故选 A. 二、填空题 7.

(2013· 琼海一模)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G, H,M 分别是棱 AD,DD1,D1A1,A1B,AB 的中点,点 N 在正方形 EFGH 的四边及其内部运动, 则当 N 只需满足条件________时, 就有 MN⊥A1C1;当 N 只需满足条件________时,就有 MN∥平面 B1D1C. [答案] 点 N 在 EG 上 点 N 在 EH 上 [解析] (1)∵EM∥BD∥B1D1,A1C1⊥B1D1, ∴EM⊥A1C1, ∵EG∥AA1,A1C1⊥AA1,∴GE⊥A1C1. ∴A1C1⊥平面 GEM.故当 N 在 EG 上时,MN⊥A1C1; (2)∵EH∥A1D∥B1C,EM∥B1D1,EH∩EM=E, ∴平面 HEM∥平面 B1D1C,

∴当 N 在 EH 上时,MN∥平面 B1D1C. 自己用向量法验证结论成立. 8.△ABC 的顶点分别为 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,- 1),则 AC 边上的高 BD 等于________. [答案] 5 → → [解析] 设AD=λAC,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4, -3),∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ. → ∴BD=(-4,4λ+5,-3λ), → → → 又AC=(0,4,-3),AC⊥BD, ∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0, → ? 9 12? 4 ∴λ=-5,∴BD=?-4,5, 5 ?, ? ? → ∴|BD|= 9.
?9? ?12? ?-4?2+?5?2+? 5 ?2=5. ? ? ? ?

已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD, M、 N 分别为 PC、 PD 上的点, 且 PM MC= , N 为 PD 的中点. 若

→ → → → MN=xAB+yAD+zAP, 则 x=________, y=________, z=________.

2 1 1 [答案] -3 -6 6 → → → 2→ 1→ [解析] MN=MP+PN=3CP+2PD 2 → → 1 → → =3(CA+AP)+2(AD-AP) 2 → → → 1 → → =3(-AB-AD+AP)+2(AD-AP) 2→ 1 → 1→ =-3AB-6AD+6AP, 2 1 1 ∴x=-3,y=-6,z=6. 三、解答题 10.四棱锥 P-ABCD 中,AB、AD、AP 两两垂直,AB=1,AD =2,AP=3,F 为 PC 的中点,E 为 PD 上,且 PD=3PE,用 → → → → (1)AB、AD、AP表示EF; → (2)求EF的模. → → → 1 → → → [解析] (1)EF=AF-AE=2(AP+AB+AD) → 1 → → 1→ 1 → 1→ -[AP+3(AD-AP)]=-6AP+6AD+2AB.

→ → → (2)由条件知,|AB|=1,|AD|=2,|AP|=3, → 1→ 1 → 1→ 2 2 ∴|EF| =(-6AP+6AD+2AB) 1 → 2 1 → 2 1 → 2 11 =36|AP| +36|AD| +4|AB| =18, → 22 ∴|EF|= 6 . 能力拓展提升 一、选择题 11.

(2013· 晋中调研)如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC, → → π 且∠AOB=∠AOC=3,则 cos〈OA,BC〉的值为( A.0 3 C. 2 [答案] A [解析] → → → → → 设 OA=a, OB= OC=b,则OA· BC=OA· (OC-OB )= 1 B.2 2 D. 2 )

→ → → → → → π → → π 1 1 OA· OC-OA· OB=|OA|· |OC|· cos3-|OA|· |OB|· cos3=2ab-2ab=0,

→ → → → OA· BC ∴cos〈OA,BC〉= =0. → → |OA||BC| → 12.(2013· 舟山月考)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量AB、 → → → → → → AD、AA1两两的夹角均为 60° ,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1 |等于( A.5 C.4 [答案] A → → → → [解析] 设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a+b+c, → AC1 2 = a2 + b2 + c2 + 2a· c + 2b· c + 2c· a = 12 + 22 + 32 + 2×1×3cos60° +2×2×3cos60° +2×1×2cos60° =25, → 因此|AC1|=5. 13.底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.如图,在平行六 面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,N 为 BB1 的靠近 → → → → B 的三等分点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则向量MN等于( ) ) B.6 D.8

1 1 1 A.-2a+2b+3c 1 1 1 B.2a+2b-3c 1 1 1 C.2a-2b-3c 1 1 2 D.-2a-2b+3c [答案] C → → → 1 → 1→ [解析] MN=MB+BN=2D1B1+3BB1 → 1 → 1→ =2(A1B1-A1D1)-3A1A 1 1 1 =2a-2b-3c. 二、填空题 14.(2013· 河北五校联盟调研)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直 线 BD1 与平面 A1B1CD 所成角的正切值为________. [答案] [解析] 2

连接 B1C 交 BC1 于 O,则 B1C⊥BC1.又 A1B1⊥BC1,所以 BC1⊥ 平面 A1B1CD.设矩形 BDD1B1 两对角线 BD1 与 B1D 交点为 M, 则M为 BD1 的中点,即直线 BD1 与平面 A1B1CD 的交点,∴∠BMO 就是直线

BD1 与平面 A1B1CD 所成的角. 不妨设正方体的棱长为 1, 则 BD1= 3, 3 2 1 BM= 2 ,BO= 2 ,OM=2, BO 在 Rt△BMO 中,tan∠BMO=OM= 2. 15.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,∠BAC=30° ,BC =1,AA1= 6,M 是 CC1 的中点,则异面直线 AB1 与 A1M 所成角为 ________. π [答案] 2 [解析]

由条件知 AC、BC、CC1 两两垂直,以 C 为原点,CB,CA,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),A(0, 3, 6 0),B1(1,0, 6),M(0,0, 2 ),A1(0, 3, 6), → → 6 ∴AB1=(1,- 3, 6),A1M=(0,- 3,- 2 ), → → → → AB1· A1M cos〈AB1,A1M〉= =0, → → |AB1|· |A1M|

→ → π ∴〈AB1,A1M〉=2, π 即直线 AB1 与 A1M 所成角为2. 三、解答题 16.如图,在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E、F 分 别是棱 AB、BC 上的动点,且 AE=BF=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原 点建立空间直角坐标系 O-xyz.

(1)写出点 E、F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E; → 1 → → (3)若 A1、E、F、C1 四点共面,求证:A1F=2A1C1+A1E. [解析] (1)解:E(a,x,0),F(a-x,a,0).

(2)证明:∵A1(a,0,a)、C1(0,a,a), → → ∴A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a), → → ∴A1F· C1E=-ax+a(x-a)+a2=0, → → ∴A1F⊥C1E,

∴A1F⊥C1E. (3)证明:∵A1、E、F、C1 四点共面, → → → ∴A1E、A1C1、A1F共面. → → 选A1E与A1C1为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2), → → → 使A1F=λ1A1C1+λ2A1E, 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a) =(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2), -x=-aλ1, ? ? ∴?a=aλ1+xλ2, ? ?-a=-aλ2, 1 解得 λ1=2,λ2=1.

→ 1 → → 于是A1F=2A1C1+A1E.

考纲要求 1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义,掌握 空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积 判断向量的共线与垂直. 补充说明 1.与平面向量对比学习 空间向量是平面向量的拓展,空间向量的概念、性质、运算及运

算律与平面向量大多相同或相似,故在学习空间向量时,应注意与平 面向量的类比以提高效率. 2.平行、共线、共面问题 利用向量共线可以解决两直线平行的问题, 也可以解决三点共线 的问题,解题时表述一定要完整准确;利用空间向量基本定理判断四 → → → → 点共面的问题,用OP=xOA+yOB+zOC时,关键证明 x+y+z=1. 3.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量: l 是空间一直线, A, B 是直线 l 上任意两点, → → 则AB为直线 l 的方向向量, 与AB平行的任意非零向量也是直线 l 的方 向向量. (2)平面的法向量:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面
? a=0, ?n· ? α 的法向量,则求法向量可通过解方程组 求出. ?n· b=0. ?

备选习题 1.已知空间中三点 A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),则点 C 到直线 AB 的距离为________. [答案] 6 3

→ → [解析] AB=(1,1,-1),AC=(-1,-1,2), → → → → -4 AB· AC 2 2 cos〈AB,AC〉= = =- 3 , → → 3· 6 |AB|· |AC| → → 1 ∴sin〈AB,AC〉=3,

→ → → 6 ∴点 C 到直线 AB 的距离 d=|AC|· sin〈AB,AC〉= 3 . 2.

如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ ABC=90° ,PD⊥平面 ABCD,AD=1,AB= 3,BC=4. (1)求证:BD⊥PC; → → (2)设点 E 在棱 PC 上,PE=λPC,若 DE∥平面 PAB,求 λ 的值. [解析] (1)证明: 如图, 在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DF∥AB, 交 BC 于点 F,以 D 为坐标原点,DA、DF、DP 所在的直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(1,0,0), B(1, 3, 0), D(0,0,0), C(-3, 3,0).

→ → (1)设 PD=a,则 P(0,0,a),BD=(-1,- 3,0),PC=(-3, 3,-a), → → ∵BD· PC=3-3=0,∴BD⊥PC.

→ → → (2)由题意知,AB=(0, 3,0),DP=(0,0,a),PA=(1,0,-a), → PC=(-3, 3,-a), → → → ∵PE=λPC,∴PE=(-3λ, 3λ,-aλ), → → → DE=DP+PE=(0,0,a)+(-3λ, 3λ,-aλ) =(-3λ, 3λ,a-aλ). 设 n=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量,则 → ?AB · n=0, ?→ ?PA· n=0,
? 3y=0, ? 即? ?x-az=0. ?

令 z=1,得 x=a,∴n=(a,0,1), → ∵DE∥平面 PAB,∴DE· n=0, ∴-3aλ+a-aλ=0,即 a(1-4λ)=0, 1 ∵a≠0,∴λ=4.


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