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高中数学教学案例


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课题 作者及 工作单位

☆教学基本信息 新课标 A 版必修1第三章3.1.1方程的根与函数零点 河北省威县第二中学 ☆指导思想与理论依据 冯慧颖

由教师的教向学生的学转化是现代教学观现代教学观要求使用发展的观点看 待学生,着眼于调动学生学习的积极性和主动性,教给学生学习的方法,培养学 生学习能力,即着眼于培养学生不断学习、不断探索、不断创新的能力,以适应 不断变化的世界;由特殊到一般的认知过程 ☆教材分析 函数零点是研究当函数 的值为零时, 相应的自变量 的取值, 反映在函数

图象上,也就是函数图象与 轴的交点横坐标。 由于函数 的值为零即 , 若方程 有解, 则函数 存在零点,

且方程的根就是相应函数的零点,也是函数图象与 轴的交点横坐标.顺理成章 的,方程的求解问题,可以转化为求函数零点的问题。 零点存在性定理,是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且满足 f(a)·f(b)<0, 则函数 在区间(a,b)内至少有一个零点,但零点的个数,需结合函数的单 调性等性质进行判断.定理的逆命题不成立。 方程的根与函数零点的研究方法,符合从特殊到一般的认识规律,从特殊的、 具体的二次函数入手,建立二次函数的零点与相应二次方程的联系,然后将其推 广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形;零点存在性的研究,也同样采用了 类似的方法,同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。 方程的根与函数零点的关系研究,不仅为“用二分法求方程的近似解”的学 习做好准备,而且揭示了方程与函数之间的本质联系,这种联系正是中学数学重 要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础.可见,函数零点概念在中学数 学中具有核心地位。

☆学情分析 学生已有的认知基础是,初中学习过二次函数图象和二次方程,并且解过“当函 数值为 0 时,求相应自变量的值”的问题,初步认识到二次方程与二次函数的联 系,对二次函数图象与 轴是否相交,也有一些直观的认识与体会。在高中阶段,

已经学习了函数概念与性质,掌握了部分基本初等函数的图象与性质。 以二次方程及相应的二次函数为例,引入函数零点的概念,说明方程的根与 函数零点的关系,学生并不会觉得困难。学生学习的难点是准确理解零点存在性 定理,并针对具体函数(或方程),能求出存在零点(或根)的区间。 教学过程中,通过引导学生通过探究,发现方程的根与函数零点的关系;而 零点存在性定理的教学,则应引导学生观察函数图象与 轴的交点的情况,来研 究函数零点的情况,加深学生对零点存在性定理的理解。

☆教学目标 通过本课教学,要求学生:理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系,在 此基础上,学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题;理解零点存 在性定理,并能初步确定具体函数存在零点的区间。 1.能够结合具体方程(如二次方程),说明方程的根、相应函数图象与 轴 的交点横坐标以及相应函数零点的关系; 2.正确理解函数零点存在性定理:了解图象连续不断的意义及作用;知道定 理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点只能不止一个; 3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数; 4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题,写出与方程对应的 函数;并会判断存在零点的区间(可使用计算器)。

☆教学重点和难点 教学重点:函数零点的概念及零点的求法 教学难点:方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。 ☆教学过程 1.方程的根与相应函数图象的关系 复习总结一元二次方程与相应函数与 轴的交点及其坐标的关系: ____________________ 一元二次方程根的情况判断:______________________ 图象与 轴交点个数:______________________ 图象与 轴交点坐标:______________________ 意图:回顾二次函数图象与 轴的交点和相应方程的根的关系,为一般函数及相 应方程关系作准备。

问题一、上述结论对其他函数成立吗?为什么? 画出函数的图象: 、 、 ,比较函数图象与 轴

的交点和相应方程的根的关系。 函数 的图象与 轴交点,即当 ,该方程有几个根, 的

图象与 轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标。 意图:通过各种函数,将结论推广到一般函数。 2.函数零点概念 对于函数 ,把使 的实数 叫做函数 的零点。

说明:函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值。 3.方程的根与函数零点的关系 方程 有实数根 函数 函数 的图象与 轴有交点 有零点

以上关系说明:函数与方程有着密切的联系,从而有些方程问题可以转化为 函数问题来求解,同样,函数问题有时也可转化为方程问题.这正是函数与方程 思想的基础。 4.零点存在性定理 问题二、观察图象(气温变化图)片段,根据该图象片段,将其补充成完整 函数图象,并问:是否有某时刻的温度为 0℃?为什么?(假设气温是连续变化 的) 意图:通过类比得出零点存在性定理。 给出零点存在性定理:如果函数 曲线,并且有 ,使得 ,那么,函数 在区间 上的图象是连续不断一条 内有零点.即存在 的根。

在区间

,这个 c 也就是方程

问题三、不是连续函数结论还成立吗?请举例说明。

结合函数

的图象说明。

问题四、若 问题五、若

,函数 ,函数

在区间在 在区间在

上一定没有零点吗? 上只有一个零点吗?可能

有几个? 问题六、 时,增加什么条件可确定函数 有一个零点? 意图:通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。 5.例题:求函数 的零点的个数。 在区间在 上只

问题七、能否确定一个区间,使函数在该区间内有零点。 问题八、该函数有几个零点?为什么? 意图:通过例题分析,学会用零点存在性定理确定零点存在区间,并且结合 函数性质,判断零点个数的方法。 六.目标检测设计 1.函数 在区间[-5,6]上是否存在零点?若存在, 有几个? 2.利用函数图象判断下列方程有几个根 (1) (2) ; 。

3.指出下列函数零点所在的大致区间 (1) (2) 最后,师生共同小结(略)。 思考题:函数 的零点在区间 内有零点,如何求出这个 ; 。

零点?设计意图:为下一节“二分法”的学习做准备。

教 学环节

教师活动

预设学 生行为 学生独 立思考完成 解答,观察、 思考、总结、 概括得出结 论,并进行 交流 认真理 解函数零点 的意义,并 根据函数零 点的意义探 索其求法 分析函 数,按提示 探索,完成 解答,并认 真思考;结 合函数图 像,思考、 讨论、总结、 归纳得出函 数零点存在 的条件,并 进行交流、 评析

设计意图

创设情 境

给出几个具体 的一元二次方程 的根及其相应的 二次函数的图像

由具体的一元二次方程和二次 函数到一般的一元二次方程和二次 函数,既有利于学生掌握知识,又有 助于学生抽象思维能力的形成

引导学生仔细 体会函数零点的 组织探 概念、函数零点的 究(1) 意义、函数零点的 求法

让学生观察二次函数在区间端 点上的函数值之积的特点, 引导学生 发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法

引导学生结合 函数图像,分析函 数在区间端点上 组织探 的函数值的符号 究(2) 情况,与函数零点 是否存在之间的 关系

让学生认识到函数图像及基本 性质在确定函数零点中的重要作用, 提高学生综合运用数学知识解决问 题的能力

☆板书设计 方程的根与函数的零 点 一.复习引导 二.新课讲授 1.一元二次方程与二次函 数的关系

2.零点的定义 3.零点存在性定理 4.应用 三.例题

例1 四.小结 五.作业

☆学生学习活动评价设计 评价表 自我评价 同学互评

父母评价 老师评价 由学生自评、同学评议、家长评议,综合以上评价老师才做出评定,这改变了以 往老师单一的“一刀切”,同时调动了被评价者——学生的积极性、主动性,使学 生在主动参与,自我反思,自我教育的过程中不断进步,获得更好的发展。

☆教学反思 良好教学效果的达成,优秀的教学设计是基础,有合理生成的教学过程是保 证。 纵观本节课的教学,本人个人认为,教学的预设目标特别是知识目标基本达 成,学生较好的掌握了相关知识,对零点概念、零点存在性定理能较好理解,并 学会初步运用这些知识解决简单的零点判断问题。 不足之处是其他方面如探究发现的目标,未能很好的落实,有关数学思想与 方法的落实也有所欠缺。 出现上述种种问题,归根到底是教师本身的不足,教材挖掘不到位,没有把 握教材编写者的意图;自身学习不够,教学理念未能完全适合新课程的要求等等。


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