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用样本的数字特征估计总体的数字特征第一课时课件-数学高一必修3第二章统计2.2 用样本估计总体2.2.2人教A版


第二章 统计 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

[问题情境] 美国 NBA 在 2012——2013 年度赛季中,甲、 乙 两名篮球运动员在随机抽取的 12 场比赛中的得分情况如 下 : 甲运动员得分 :12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49; 乙 运动员得分 :8

,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39. 如果要求 我们根据上面的数据,估计、比较甲,乙两名运动员哪一位 发挥得比较稳定,就应有相应的数据作为比较依据,即通过 样本数字特征对总体的数字特征进行研究.所以今天我们 开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征.

x1+x2+?+xn n 如果有 n 个数 x1,x2,?,xn,那么 x= , 叫
做这 n 个数的平均数.

【问题导思】 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命 中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5; - 1. 甲、 乙两战士命中环数平均数- x 甲, x 乙各是多少?
【提示】 - x 甲=7 环,- x 乙=7 环.

2.由- x 甲,- x 乙能否判断两人的射击水平?

【提示】 由于- x 甲=7 环,- x 乙=7 环,所以不能判 断.
3.观察上述两组数据,你认为哪个人的射击水平更稳
定? 【提示】 从数字分布来看,甲命中的环数较分散,乙

命中的环数较集中,故乙的射击水平更稳定.

方差或标准差 来 (1)数据的离散程度可以用极差、________________ 描述.样本方差描述了一组数据围绕 平均数 波动 的大小.一般地,设样本的元素为x1,x2,?xn,样本的平均 数为x,定义

s2=_____________________________________.s2表示
样本方差.

(2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要 求出样本方差的算术平方根.

s=_________________________________________, s表示样本的标准差.

(3)计算样本数据x1,x2,?,xn的标准差的算法步骤为:

某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下: 职务 人数

董事 长
1

副董事 长
1 5 000

董事 2

总经 理
1

经理 5

管理 员
3

职员 20 1 500

工资 5 500

3 500 3 000 2 500 2 000

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;

(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事
长的工资从5 500提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、 众数又是什么?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平? 结合此问题谈一谈你的看法. 【思路探究】 解答本题先用公式求出平均数,再写出

中位数和众数,然后根据平均数与个别特殊值的关系解决第 (3)问.

(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的 工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额 差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数 不能反映这个公司员工的工资水平.

1.在用样本平均数估计总体平均数的时候,样本中的 每一个数据都会影响到平均数的大小,因此,在实际操作的 过程中,一定要注意个别“离群”的数据对平均数的影响. 2.深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本

数据上的特点,是解决此类问题的关键.平均数对极端值敏
感,而中位数对极端值不敏感.因此两者结合,可较好地分 析总体的情况.

个体户王某经营一家餐馆,下面是餐馆所有工作人员个 月的工资: 王某 厨师甲 厨师乙 杂工 招待甲 招待乙 会计

3 000元

450元

400元

320元

350元

320元

410元

(1)计算所有工作人员工资的平均数、众数、中位数; (2)计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一 般水平? (3)去掉王某的工资后,再计算工资的平均数、众数、中 位数;

(4)后一个平均工资能代表帮工人员的收入吗?
(5)根据以上计算,从统计的观点看,你对(1)、(3)的结果 有什么看法?

(4)后一个平均工资接近帮工人员月工资收入,它能代表 帮工人员的收入. (5)从本题计算可见,由于个别人的工资额与其他人的工 资额差别较大,致使平均数与中位数偏差较大,所以平均数 不能反映全部工作人员的工资水平.

因此在选择样本时,尽量不要选择特殊数据.

甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质

量,各从中抽取6件测量,数据为:
甲:99 100 乙:99 100 98 102 100 99 100 100 103 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

【思路探究】 求方差s2 → 结论

求平均数 → 求(xi-x)2 →

1 s甲= [(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100- 6
2

7 100) +(100-100) +(103-100) ]= , 3
2 2 2

1 s乙= [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99- 6
2

100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又 s2 甲 >s2 乙,所以乙机床加工零件的质量更稳定.

1.平均数描述了数值的平均水平,方差描述了一组数

据围绕平均数波动的大小.方差越大,说明这组数据的波动
越大,即这组数据越分散;方差越小,说明这组数据越集 中. 2.对于常用的平均数、方差、标准差的公式要能够熟 练记忆,不能记错公式,造成计算上的失误,使得统计的结 果失去真实的意义.

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参
加5次预赛,成绩记录如下: 甲:78 76 74 90 82

乙:90 70

75

85

80

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考 虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.

【解】

(1)用茎叶图表示如下:

(2)- x 甲=80,- x 乙=80, 1 而 s甲= ×[(78-80)2+(76-80)2+(74-80)2+(74- 5
2

80)2+(90-80)2+(82-80)2]=32,

1 s 乙 = × [(90 - 80)2 + (70 - 80)2 + (75 - 80)2 + (85 - 5
2

80)2+(80-80)2]=50.
2 ∵- x 甲=- x 乙,s2 甲<s乙,

∴从统计学的角度考虑,选甲参加更合适.

某市有210名初中生参加数学竞赛预赛,随机调阅了60

名学生的答卷,成绩列于下表:
成 绩 人 数

1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
0 0 0 6 15 21 12 3 3 0

(1)求样本的数学平均成绩和标准差(精确到0.01); (2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试 估计有多少个学生可以进行复赛? 【思路探究】 (1)从表中可以看出4分的有6人,5分的

有15人,6分的有21人,7分的有12人,8分的有3人,9分的
有3人,根据每个分数的人数,求出总分数,除以60,得到 平均分,再求出方差,开方以后得到标准差.(2)先求出在60

人中不低于7分的人数,用不低于7分的人数除以60,得到不
低于7分的频率,用210乘以频率,得到相应参加复赛的人 数.

【自主解答】

1 - (1) x = ×(4×6+5×15+6×21+ 60

7×12+8×3+9×3)=6, 1 s = × [6×(4 - 6)2 + 15×(5 - 6)2 + 21×(6 - 6)2 + 60
2

12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5, ∴s≈1.22,样本的数学平均成绩为 6 分,标准差为 1.22 分.

(2)∴在 60 名选手中有 12+3+3=18(个)人预赛成绩 在 7 分或 7 分以上, 18 ∴210 人中有 ×210=63(个)人的预赛成绩在 7 分 60 或 7 分以上, ∴大约有 63 名学生可以参加复赛.

(1)根据有关统计图表求数字特征时,首先要会识图,从

图表中找出中位数、众数等,而计算平均数则用到频数(率)
法. (2)总体的平均数和标准差往往很难求,通常用样本的平 均数与方差去估计总体的平均数与方差,只要样本的代表性 好,这种做法就合理.

从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图
2-2-12所示的频率分布直方图.

由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这50名学生成绩的众数与中位数; (2)这50名学生的平均成绩. 【解】 (1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的

数.在直方图中高度最高的小长方形框中间值的横坐标即为

所求,所以众数应为75.

由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方 图中体现的是中位数的左右两边频数应相等,即频率也相等, 从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将 频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应 的成绩即为所求.

∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=
0.3, ∴前三个小矩形面积的和为0.3.

而第四个小矩形面积0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内. 设其底边为x,高为0.03, ∴令0.03x=0.2,得x≈6.7, 故中位数应为70+6.7=76.7.

(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有 数据的平均值,取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形 的面积即可. ∴平均成绩为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+ 65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+

95×(0.016×10)≈74.
综上(1)众数是75,中位数约为76.7; (2)平均成绩约为74.

例4.从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的 株高如下(单位:cm):

甲:25 41
乙:27 16

40
44

37
27

22
44

14
16

19
40

39
40

21
16

42
40

问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?

1 【自主解答】 (1) 甲= (25+41+40+37+22+14 10 1 +19+39+21+42)= ×300=30(cm), 10 1 (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40) 乙= 10 1 = ×310=31(cm). 10





<

乙.

1 (2)s 甲 = [(25 - 30)2 + (41 - 30)2 + (40 - 30)2 + (37 - 10
2

30)2+ (22- 30)2+ (14- 30)2+ (19- 30)2+ (39- 30)2+ (21 -30)2+(42-30)2] 1 = (25+121+100+49+64+256+121+81+81+ 10 1 144)= ×1 042=104.2(cm)2, 10

1 s乙= [(2×272+3×162+3×402+2×442)-10×312] 10
2

1 = ×1 288=128.8(cm)2. 10
2 ∴s2 甲<s乙.

答:乙种玉米的苗长得高,甲种玉米的苗长得整 齐.

特别要注意本题两问中说法的不同,这就意味着计算方 式不一样.平均数和方差是样本的两个重要数字特征,方差 越大,表明数据越分散;相反地,方差越小,数据越集中.

(2011·辽宁高考改编)某农场计划种植某种新作物,为 此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田 间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n

小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品
种乙.试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得 到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)

如下表:

品种甲 403

397

390

404

388

400

412

406

品种乙 419

403

412

418

408

423

400

413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样
本方差,根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

1 附:样本数据 x1,x2,?,xn 的样本方差 s = [(x1 n
2

-- x )2+(x2-- x )2+?+(xn-- x )2],其中- x 为样本平均数

【解】

品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本

1 - 方差分别为 x 甲 = (403 + 397 + 390 + 404 + 388 + 400 + 8 412+406)=400. 1 2 s 甲= [3 + (- 3)2+ (- 10)2+ 42+ (- 12)2+ 02+ 122 + 8
2

62]=57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 1 - x 乙= (419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 8

1 2 s乙= [7 +(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12] 8
2

=56. 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品 种甲的样本平均数,且品种乙的样本方差小于品种甲的 样本方差,故应该选择种植品种乙.

1.标准差的平方 s2 称为方差,有时用方差代替标准差测量样 本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的,在 实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中的总体所包含的个体数往往很多 , 总体的平均数与 标准差是未知的,我们通常用样本的平均数和标准差去估 计总体的平均数与标准差,但要求样本有较好的代表性. 3.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的数 字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特 征,是一种统计思想,没有唯一答案.

1.下列说法正确的是(

)

A.样本中所有个体的总和是总体 B.方差的平方根叫做标准差

C.样本平均数与总体平均数相等
D.在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据 的众数

【解析】

A指的是样本容量而不是总体;

B.方差的正的平方根叫标准差; C.样本平均数与总体平均数不一定相等; D.符合众数定义,故选D. 【答案】 D

2.(2013·重庆高考)右面茎叶图 2-2-13记录了甲、乙两组各五 名学生在一次英语听力测试中的 成绩(单位:分).已知甲组数据的 中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分 别为( ) B.5,5 D.8,8

A.2,5 C.5,8

【解析】 由于甲组数据的中位数为 15=10+x, ∴x =5. 又 ∵ 乙 组 数 据 的 平 均 数 为

9+15+(10+y)+18+24 =16.8, 5 ∴y=8.∴x,y 的值分别为 5,8.
【答案】 C

3.甲、乙两人在同样条件下练习射击,每人打5发子弹, 命中环数如下:甲:6,8,9,9,8,乙:10,7,7,7,9, 则两人射击的稳定程度是( A.甲比乙稳定 C.甲、乙的稳定程度相同 ) B.乙比甲稳定 D.无法比较

1 ∴ s 甲= [(6 - 8)2 + (8 - 8)2 + (9 - 8)2 + (9 - 8)2 + (8 - 5
2

6 8 2 8) ]= ,同理 s乙= , 5 5
2 2 ∴s2 甲<s乙,∴甲的射击成绩比乙稳定,故选 A.

【答案】

A

4.计算数据5,7,7,8,10,11的标准差和方差.

∴方差 s2=(9+1+1+0+4+9)÷ 6=4, 标准差 s= 4 =2.


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