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2012年新课标版高考题库考点24 等比数列及其前n项和


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考点 24
一、选择题

等比数列及其前 n 项和
an ?

1.(2012·新课标全国高考理科·T5)已知 ? 则 a1 ? a10 ? ( (A)7 ) (B)5 (C)

-5

为等比数列,a4 ? a7 ? 2 ,a5a6 ? ?8 ,

(D)-7

【解题指南】 利用等比数列的性质将 a5 a6 替换为 a4 a7 , 然后联立方程组求得 a4 , a7 的 值,最后将 a4 , a7 及公比 q 的值整体代入 a1 ? a10 求出其值.
? a 【解析】选 D. ? n ? 为等比数列,? a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ,联立
? q3 ? ? 1 3 2 或 q ? ?2 ,故

a1 ? a10 ?

a4 ? a7 ? q3 ? ?7 q3 .

2.(2012·安徽高考理科·T4)公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数,且
a3a11 ? 16
( A) 4

,则 log 2 a10 ? (
( B) 5


(C ) ? ( D) ?

2 【解题指南】 由等比数列的性质得到 a3a11 ? 16 ? a ?再结合等比数列中任意两 a10 ? a7 ? q3 ? 32 ? log 2 a10 ? 5 ? a7 ? 4 , a3a 7 ? 16 ? 11

项的关系即可解得. 【解析】选 B . a3a11 ? 16 ? a72 ? 16 ? a7 ? 4 ? a10 ? a7 ? q3 ? 32 ? log 2 a10 ? 5 . 3.(2012·安徽高考文科·T5)公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数, 且 a3 a11 =16,则 a5 =( )
-1-

(A) 1

(B)2

(C) 4

(D)8

2 【解题指南】 由等比数列的性质得到 a3a11 ? 16 ? a ?再结合等比数列中任意两 a10 ? a7 ? q3 ? 32 ? log 2 a10 ? 5 ? a7 ? 4 , a3a 7 ? 16 ? 11

项的关系即可解得. 【解析】选 A . 4. (2012· 北京高考文科· T6) 已知{ an }为等比数列, 下面结论中正确的是 ( ) (A)a1+a3≥2a2 (C)若 a1=a3,则 a1=a2 (B) a12 ? a32 ? 2a2 2 (D)若 a3>a1,则 a4>a2

【解题指南】利用等比数列的基本量和均值不等式进行计算. 【解析】选 B. 选项 A B C D 具体分析
a1 , a3 不一定都是正数,所以不一定能使用均值不等式

结论 不正确 正确 不正确 不正确

因为 a12 ? 0, a32 ? 0 ,所以由均值不等式可得 a12 ? a32 ? 2a1a3 ? 2a2 2 由 a1 ? a3 可得 q ? ?1 ,当 q ? 1 时, a1 ? a2 ;当 q ? ?1 时, a2 ? ?a1 . 因为 a4 ? a3q, a2 ? a1q ,所以当 q ? 0 时,a4 ? a2 ;当 q ? 0 时,a4 ? a2 .

5.(2012·湖北高考理科·T7)与(2012·湖北高考文科·T7)相同 定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在 (-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=x?;②f(x)=2x;③ ;④f(x)=ln|x |, )

则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( (A)①② (B)③④
?

(C)①③

(D)②④

【解析】选 C.

an ?1 ?q an ,则对于①:
-2-

可知①符合题意;对于

f (an ?1 ) f (an ?1 ) 2an?1 ? ? an ? 2an?1 ? an f ( a ) f ( a ) 2 n n B 结果不能保证是定值 ; 对于③:

an ?1 ? an

q

, 可知也

符合题意.此时可知结果. 二、填空题
1 a2 a4 ? , 2 则 6.(2012·广东高考文科·T12)若等比数列{an}满足
2 a1a3 a5 ?

.

? 【解题指南】本题考查了等比数列的性质:已知 m, n, p ? N , 若 m ? n ? 2 p, 则

am ? an ? a p 2

.

1 1 1 2 2 4 ? a2 a4 ? ,? a3 ? ? a1a3 a5 ? a3 ? 2 2, 4. 【解析】 1 【答案】 4

7. (2012·浙江高考理科·T13)设公比为 q(q>0)的等 比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=______________. 【解题指南】两式作差可由前 n 项和间的关系得出项与项之间的关系,从而用 等比数列的通项公式求出公比. 【解析】由 S2=3a2+2,S4=3a4+2 相减可得,
a3 ? a4 ? 3a4 ? 3a2 ,同除以 a2 可得,

3 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解得 q ? 或q ? ?1 , 2 3 因为 q>0,所以 q ? . 2 3 【答案】 2

8.(2012·辽宁高考文科·T14)已知等比数列{ a n }为递增数列.若 a1 ? 0 ,且
2(an ? an? 2 ) ? 5an ?1

,则数列{ a n }的公比 q = _____________________.

【解题指南】利用等比数列的通项公式,将已知条件用首项和公比表示,解方
-3-

程即可. 【解析】由于 ?an ? 为等比数列,设其公比为 q ,
1 q? 2(a1q n?1 ? a1q n?1 ) ? 5a1q n 2( a ? a ) ? 5 a n n ? 2 n ? 1 由 得 ,解得 2 或 q ? 2 .由于等比数列 ?an ? 为递增

数列且 a1 ? 0 ,所以 q ? 2 . 【答案】2 9. ( 2012 · 辽 宁 高 考 理 科 · T 14 ) 已 知 等 比 数 列 { a n } 为 递 增 数 列 , 且
2 a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1

,则数列{ a n }的通项公式 a n =______________.

【解题指南】利用等比数列的通项公式,将已知条件用首项和公比表示,解方 程即可. 【解析】由于 ?an ? 为等比数列,设其公比 q ,
1 q? n ?1 n ?1 n 2( a q ? a q ) ? 5 a q 2( a ? a ) ? 5 a 1 1 1 n ?1 得 由 n n?2 ,解得 2 或 q ? 2 .

又由 a5

2

? a10 ? (a1q 4 )2 ? a1q9 ? a1 ? q

,则 a1 ? 0 ,

由于等比数列 ?an ? 为递增数列且 a1 ? 0 ,所以 q ? 2 ,且 a1 ? 2 . 故 an ? a1q
n ?1

? 2n

.

【答案】 2n 10.(2012·新课标全国高考文科·T14)等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若
S 3 +3 S 2 =0,则公比 q=_______.

【解题指南】 将所给等式转化为关于 a1 , q 的方程,消去 a1 ,解关于 q 的方程,求 出 q. 【解析】由 S3 ? ?3S2 可得
a1 ? a2 ? a3 ? ?3 ? a1 ? a2 ?

,即

a1 ?1 ? q ? q 2 ? ? ?3a1 ?1 ? q ?



2 化简整理得 q ? 4q ? 4 ? 0 ,解得 q ? ?2 .

【答案】-2 11.(2012·江西高考文科·T13)等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,公比不为 1.
-4-

若 a1 =1,且对任意的 n ? N? , 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=______________.
2 【解析】设公比为 q ,则 an+2+an+1-2an= a1q n?1 ? a1q n ? 2a1q n?1 ? 0 ,即 q ? q ? 2 ? 0 ,

解得 q ? ?2, q ? 1 (舍去) ,所以 【答案】11 二、解答题

S5 ?

1 ? ? ?2 ?

5

1 ? ? ?2 ?

? 11

.

12.(2012·福建高考理科·T13)已知△ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列, 则其最大角的余弦值为_________. 【解题指南】运用等比数列的定义设边,运用余弦定理求解. 【解析】依次设三边为 a, 2a, 2a (a>0),则最大边为 2a ,最大角的余弦值为
cos ? ? a 2 ? ( 2a ) 2 ? (2a ) 2 2 ?? 4 . 2a ? 2a
? 2 4
1

【答案】

q?? a 2. 13.(2012·陕西高考文科·T16)已知等比数列 ? n ? 的公比为

(1)若

a3 ?

1 a 4 ,求数列 ? n ? 的前
k

n 项和.
k ?2

(2)证明:对任意 k ? N? , a , a , a 成等差数列.
k ?1

【解题指南】 (1)求出等比数列的首项是关键.(2)用首项和公比表示 ak , ak ?2 , ak ?1 , 再根据等差数列的定义证明. 【解析】 (1)∵
a3 ? 1 1 q?? 1 1 a1 ? 1 , 4, 2 ,∴ a q 2 ? 1 a,解得 ? 1 4 41 4

a ∴数列 ? n ? 的前 n

1 1? [1 ? ( ? ) n ] 1 2 Sn ? 2 ? ( ? ) n ?1 2 1 1 1 2 ? ? ? ? (? ) n ?1 1 ? (? ) 3 3 3 2 2 项和 .
k ?1

(2)对任意 k ? N? , ak ? a1q ∴ 2ak ?2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 2a1q
k ?1

, ak ?1 ? a1q k , ak ? 2 ? a1q k ?1

, .

? (a1q k ?1 ? a1q k ) ? a1q k ?1 (2q 2 ? q ? 1)
-5-



q??

1 1 1 2q2 ? q ? 1 ? 2 ? (? )2 ? (? ) ? 1 ? 0 2 ,∴ 2 2 ,即 2ak ?2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 0 ,

∴ 2ak ? 2 ? ak ? ak ?1 , ∴对任意 k ? N? , a k , a k ? 2 , a k ?1 成等差数列. 14.(2012·陕西高考理科·T17) 设 {an } 是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 {an } 的公比. (2)证明:对任意 k ? N? , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列. 【解析】 (1)设数列 {an } 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ) , 由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q 由 a1 ? 0, q ? 0 得 q 所以 q1 ? ?2 . (2) (方法一) 对任意 k ? N? , Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk )
? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0 ,
2 2

? a1q 4 ? a1q3 ,

? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2 , q2 ? 1 (舍去) ,

所以对任意 k ? N? , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列. (方法二)对任意 k ? N? ,
Sk ? 2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? 2a1 (1 ? q k ) 1? q

, ,

a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? 1? q 1? q 1? q 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1? q 1? q


?

2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ?

a1 a qk [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 )] ? 1 (q 2 ? q ? 2) ? 0 1? q 1? q



因此,对任意 k ? N? , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列.

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-6-


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