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2.1 圆锥曲线定义


圆锥曲线与方程
§2.1圆锥曲线

用一个平面去截一个圆锥面,当平面经过圆锥 面的顶点时,可得到两条相交直线; 当平面与圆锥面 的轴垂直时,截线(平面与圆锥面的交线)是一个 圆. 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时,观察截 线的变化情况,并思考: ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?这些曲线具 有哪些几何特征?

?

?

?

?

椭圆

双曲线

抛物线

当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时,观察截 线的变化情况,并思考: ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?这些曲线具 有哪些几何特征?

古希腊数学家 Dandelin 在圆锥截 面的两侧分别放置一球,使它们 都与截面相切(切点分别为F1, F2),又分别与圆锥面的侧面相 切(两球与侧面的公共点分别构 成圆 O1和圆 O2).过 M点作圆锥 面的一条母线分别交圆O1,圆O2 与 P , Q 两点,因为过球外一点 作球的切线长相等,所以 MF1 = MP,MF2 = MQ, MF1 + MF2 =MP + MQ = PQ=定值

V

Q
F1

O2
F2

M P

O1

椭圆的定义:
平面内到两定点 F1, F2 的距离和等于常数(大于 F1F2) 的点的轨迹叫做椭圆, 两个定点 F1, F2叫做椭圆的焦 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M,有MF 1 ? MF2

? 2a

(2a> F1F2 的常数)

思考:是否平面内到两定点之 间的距离和为定长的点的轨迹 就是椭圆? 结论:(若 PF1+PF2为定长)
1)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满 足PF1+PF2> F1F2时,P点的轨迹是椭圆。 2)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满 足PF1+PF2= F1F2时,P点的轨迹是一条 线段F1F2 。 3)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满 足PF1+PF2< F1F2时,P点没有轨迹。

双曲线的定义:
平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于 F1F2)的点的轨迹叫做双曲线,两个定 点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。

可以用数学表达式来体现:

设平面内的动点为M,有 MF1 ? MF2 ? 2a
(0<2a< F1F2 的常数)

思考:平面内到两个定点 F1F2的距离的差的等于常数 (小于F1F2)的点的轨迹是什么?
? 是双曲线的一支. 问题2:怎样确定是哪一支? 看PF1和PF2谁大,偏向小 的一边.

抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L(F不在L 定点F叫做 上)的距离相等的点轨迹叫做抛物线, 抛物线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线

可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M ,有 MF=d(d为动点M到 直线L的距离)

说明: 1、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线 2、我们可利用上面的三条关系式来判断动 点M的轨迹是什么!


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