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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第2节 圆的方程


第八章

第二节

一、选择题 1.(文)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 [答案] A [解析] 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ?0-1?2+?b-2?2=1,解得 b=2, 故圆的方程为 x2+(y-2)2=1. (理)对于 a∈R,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,以 5为半径的圆 的方程为( ) B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1 )

A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 [答案] C [解析] 直线方程可化为(x+1)a-x-y+1=0,易得直线恒过定点(-1,2).故所求圆的方 程(x+1)2+(y-2)2=5,即为 x2+y2+2x-4y=0. 2. (2014· 广东广州综合测试)圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为( A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1 [答案] A [解析] 圆(x-1)2+(y-2)2=1 的圆心坐标为(1,2),此点关于直线 y=x 的对称点的坐标为 (2,1),由于两圆关于直线 y=x 对称,故它们的圆心关于直线 y=x 对称,且两圆大小相等,因 此所求的对称圆的圆心坐标为(2,1),其半径为 1,方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选 A. 3.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则圆 C 的圆心轨迹为( A.抛物线 C.椭圆 [答案] A B.双曲线 D.圆 ) )

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[解析] 动圆圆心 C 到定点(0,3)的距离与到定直线 y=-1 的距离相等,符合抛物线的定 义,故选 A. 4.(文)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 3x+4y+5=0 的距离最大值是 a,最小值 是 b,则 a+b=( 12 A. 5 6 C. 5 [答案] B 12 ? ?12 ? 24 12 [解析] 圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+5=0 距离 d= ,∴a+b=? ? 5 +r?+? 5 -r?= 5 (r 5 为圆的半径). 3 (理)圆心在曲线 y= (x>0)上, 且与直线 3x+4y+3=0 相切的面积最小的圆的方程为( x 18 A.(x-1)2+(y-3)2=( )2 5 16 B.(x-3)2+(y-1)2=( )2 5 3 C.(x-2)2+(y- )2=9 2 D.(x- 3)2+(y- 3)2=9 [答案] C 3 [解析] 设圆心坐标为(a, )(a>0), a 12 |3a+ +3| a 3 4 3 则圆心到直线 3x+4y+3=0 的距离 d= = (a+ +1)≥ (4+1)=3,等号当且 5 5 a 5 仅当 a=2 时成立. 3 此时圆心坐标为(2, ),半径为 3,故所求圆的方程为 2 3 (x-2)2+(y- )2=9. 2 5.已知 x2+y2+4x-2y-4=0,则 x2+y2 的最大值为( A.9 C.14-6 5 [答案] D [解析] 方程表示以(-2,1)为圆心,半径 r=3 的圆, 令 d= x2+y2,则 d 为点(x,y)到(0,0)的距离, ∴dmax= ?-2-0?2+?1-0?2+r= 5+3,
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) 24 B. 5 D.5

)

)

B.14 D.14+6 5

∴x2+y2 的最大值为( 5+3)2=14+6 5. 1 6.(文)若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长,则 + a 2 的最小值为( b A.1 C .4 2 [答案] D [解析] 由条件知圆心 C(2,1)在直线 ax+2by-2=0 上,∴a+b=1, 1 2 1 2 ∴ + =( + )(a+b) a b a b b 2a =3+ + ≥3+2 2, a b b 2a 等号在 = ,即 b=2- 2,a= 2-1 时成立. a b (理)(2013· 广州调研)圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是( 1 A.(-∞, ] 4 1 C.(- ,0) 4 [答案] A a+b 2 1 [解析] 由题可知直线 2ax-by+2=0 过圆心(-1,2), 故可得 a+b=1, ∴ab≤( )= . 2 4 二、填空题 7.(2014· 重庆文)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A, B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. [答案] 0 或 6 [解析] 圆 C:x2+y2+2x-4y-4=0 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心为 C(- |-1-2+a| 3 2 1,2),半径为 3.因为 AC⊥BC,所以圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离为 ,即 = 2 2 3 2 ,所以 a=0 或 6. 2 8.(2013· 嘉峪关市一中三模)圆 x2+y2=8 内有一点 P0(-1,2),当弦 AB 被 P0 平分时,直 线 AB 的方程为________. [答案] x-2y+5=0 1 1 [解析] ∵kOP0=-2,∴kAB= ,∴AB:y-2= (x+1),即 x-2y+5=0. 2 2 ) 1 B.(0, ] 4 1 D.(-∞, ) 4 ) B.5 D.3+2 2

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9.(文)圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,与 y 轴相切,与 x 轴相交于 A、B,|AB|= 3, 则该圆的标准方程是________. 1?2 [答案] (x-1)2+? ?y-2? =1 [解析] 设圆心 C(a,b),由条件知 a=1,取弦 AB 中点 D,则 CD= AC2-AD2 = 12-? 3?2 1 = , ?2? 2

1?2 1 即 b= ,∴圆方程为(x-1)2+? ?y-2? =1. 2

(理)由动点 M 向⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1 引两条切线 MA、MB,切点为 A、B,若 MA⊥ MB,则动点 M 的轨迹方程为________. [答案] (x-2)2+(y-3)2=2 [解析] 已知圆的圆心 C(2,3)与点 M、A 构成 Rt△MAC,由条件 MA⊥MB 知,∠AMC= 45° , 从而|MC|2=|MA|2+|AC|2=2, 故点 M 的轨迹是以 C(2,3)为圆心、半径为 2的圆,方程为(x-2)2+(y-3)2=2. 三、解答题 10. (文)(2013· 新课标Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中, 己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2, 在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2

[解析] (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题意知 y2+2=r2,x2+3=r2,从而得 y2+2=x2+3. ∴点 P 的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设与直线 y=x 平行且距离为 =± 1. ∴l:x-y+1=0 或 x-y-1=0. 与方程 y2-x2=1 联立得交点坐标为 A(0,1),B(0,-1). 2 的直线为 l:x-y+c=0,由平行线间的距离公式得 C 2

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即点 P 的坐标为(0,1)或(0,-1),代入 y2+2=r2 得 r2=3. ∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3. (理)已知圆 C:x2+y2-4x-6y+12=0,点 A(3,5),求: (1)过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连结 OA,OC,求△AOC 的面积 S. [解析] (1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1. 当切线的斜率不存在时, 过点 A 的直线方程为 x=3, C(2,3)到直线的距离为 1, 满足条件. 当 k 存在时,设直线方程为 y-5=k(x-3), 即 kx-y+5-3k=0,由直线与圆相切得, |-k+2| 3 =1,∴k= . 2 4 k +1 3 11 ∴直线方程为 x=3 或 y= x+ . 4 4 (2)|AO|= 9+25= 34, 直线 OA:5x-3y=0, 点 C 到直线 OA 的距离 d= 1 1 S= · d· |AO|= . 2 2 1 , 34

一、选择题 11.(文)圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是( A.x2+y2+10y=0 C.x2+y2+10x=0 [答案] B [解析] 设圆心为(0,b),半径为 R,则 R=|b|, ∴圆的方程为 x2+(y-b)2=b2, ∵点(3,1)在圆上, ∴9+(1-b)2=b2,解得:b=5, ∴圆的方程为 x2+y2-10y=0. (理)若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程是( ) B.(x+ 5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 B.x2+y2-10y=0 D.x2+y2-10x=0 )

A.(x- 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5

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[答案] D [解析] 考查了圆的标准方程及点到直线的距离. 设圆心为(a,0),由题意 r= 5= ∴|a|=5,a<0,∴a=-5, ∴方程为(x+5)2+y2=5. 12.(2014· 辽宁沈阳四校联考)已知 A(-2,0),B(0,2),实数 k 是常数,M,N 是圆 x2+y2 +kx=0 上两个不同点,P 是圆 x2+y2+kx=0 上的动点,如果 M,N 关于直线 x-y-1=0 对 称,则△PAB 面积的最大值是( A.3- 2 C.3+ 2 [答案] C k k [解析] 依题意得圆 x2+y2+kx=0 的圆心(- ,0)位于直线 x-y-1=0 上,于是有- - 2 2 x 1=0, 即 k=-2, 因此圆心坐标是(1,0), 半径是 1.由题意可得|AB|=2 2, 直线 AB 的方程是 -2 |1-0+2| 3 2 y + =1,即 x-y+2=0,圆心(1,0)到直线 AB 的距离等于 = ,点 P 到直线 AB 的 2 2 2 3 2+2 3 2 1 距离的最大值是 +1,∴△PAB 面积的最大值为 ×2 2× =3+ 2,故选 C. 2 2 2 13.(2013· 陕西质检)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点 M(3,5)的最长弦、 最短弦分别为 AC、BD,则以点 A、B、C、D 为顶点的四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 C.30 6 [答案] B [解析] 圆的方程:(x-3)2+(y-4)2=25, ∴半径 r=5,圆心到最短弦 BD 的距离 d=1, ∴最短弦长|BD|=4 6, 又最长弦长|AC|=2r=10, 1 ∴四边形的面积 S= ×|AC|×|BD|=20 6. 2 x2 y2 14.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 60° ,直线 ax+by-a+1=0 平 a b 分圆 C:(x-2)2+(y- 3)2=1,则点 P(a,b)与圆 C 的位置关系是( A.P 在⊙C 内 C.P 在⊙C 外 B.P 在⊙C 上 D.无法确定 ) B.20 6 D.40 6 ) ) B.4 D.6 |a| , 5

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[答案] C [解析] 由条件得, b ? ?a=-4, , ?a=tan60° ? 解之得? 3 ? ?2a+ 3b-a+1=0, ?b=- 4 , 1 3 ∵(- -2)2+(- - 3)2>1,∴点 P 在⊙C 外. 4 4 二、填空题 15. (文)(2014· 福州质检)若直线 x-y+2=0 与圆心为 C 的圆(x-3)2+(y-3)2=4 相交于 A、 → → B 两点,则CA· CB的值为________. [答案] 0
?y=x+2 ?x=3 ?x=1, ? ? ? [解析] 依题意得, 点 C 的坐标为(3,3). 由? , 解得? 或? 2 2 ? ? ? ??x-3? +?y-3? =4 ?y=5 ?y=3.

1

→ → → → 可令 A(3,5)、B(1,3),∴CA=(0,2),CB=(-2,0),∴CA· CB=0. (理)(2014· 新课标全国Ⅱ理)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN =45° ,则 x0 的取值范围是________. [答案] [-1,1] [解析] 当 x0=0 时,点 N 显然存在,当 x0≠0 时,在坐标系中画出圆 O 和直线 l:y=1, 其中 M(x0,1)在直线上, 设 l 与 y 轴交点为 A,过 M 作⊙O 的切线 MB,切点为 B,则∠OMB=∠OMA;当 x0=1 时,点 M 在 P 处,∠OPB=45° ,点 M 在 M1 处时,0<x0<1,∠OM1B1>45° ,点 M 在 M2 处时, x0>1,∠OM2B2<45° . 因此,当 0<x0≤1 时,在⊙O 上存在点 N,使∠OMN=45° ,由对称性知,当-1≤x0≤1 时,点 N 存在,

∴-1≤x0≤1. 16.(2014· 上海崇明二模)已知圆 O:x2+y2=c(0<c≤1),点 P(a,b)是该圆面(包括⊙O 圆

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周及内部)上一点,则 a+b+c 的最小值等于________. 1 [答案] - 2 [解析] 依题意可得 a2+b2≤c.令 z=a+b+c.所以 a,b 的关系如图所示.所以目标函数 b =-a+z-c.所以当直线 a+b+c=z 与圆相切且在圆下方时 z 最小. 由圆心到直线的距离可得, z=c- 2c=( c- 22 1 1 1 ) - .所以当且仅当 c= 时,zmin=- . 2 2 2 2

[点评] 一、数形结合思想 在解决与圆有关的最值问题时,主要借助圆的几何性质,用数形结合的方法求解. 1.圆上点到定点 P 的距离的最大(小)值:连结圆心 C 与 P 交圆于两点为最大(小)值点. (1)点 P 在⊙C 内,过点 P 的⊙C 的弦中,最长的为 EF(过圆心),最短的为 AB(AB⊥EF), 在⊙C 上所有点中,点 E 到点 P 距离最小,点 F 到点 P 距离最大.

(2)点 P 在⊙C 外,PC 与圆交于 E、F,圆上所有点中到点 P 距离最大(小)的点为 F(E), 过点 P 可作两条直线 PA、PB 与⊙C 相切,则 PC 为∠APB 的平分线,PC 垂直平分 AB.

2.圆上的点到定直线的距离最值:由圆心向直线作垂线与圆两交点为最值点. 直线 l 与⊙C 外离,PC⊥l 交⊙C 于 A、B,则在⊙C 上到直线 l 距离最大(小)的点为 B(A).

二、等价转化思想 已知点 P(x,y)为圆上动点
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y-b (1)形如 的最值转化为动直线的斜率求解,一般在相切位置取最值. x-a (2)形如 ax+by 的最值,一般设 u=ax+by,转化为动直线的截距问题.用判别式法求解, 或在相切位置取最值. (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值转化为动点到定点的距离问题或设(x-a)2+(y-b)2=k2, 转 化为两圆有公共点时,k 的取值范围问题. 三、解答题 17.(文)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2的圆 C 与直线 y= x 相切于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q, 使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长. 若 存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. [解析] (1)设圆 C 的圆心为 C(a,b),则圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=8, ∵直线 y=x 与圆 C 相切于原点 O. ∴O 点在圆 C 上,且 OC 垂直于直线 y=x, a +b =8 ? ?a=2 ?a=-2 ? ? ? 于是有?b ?? 或? ?b=-2 ?b=2. ? ? ? ?a=-1
2 2

由于点 C(a,b)在第二象限,故 a<0,b>0. ∴圆 C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)假设存在点 Q 符合要求,设 Q(x,y),
2 2 ? ??x-4? +y =16, 则有? 2 2 ??x+2? +?y-2? =8. ?

4 解之得 x= 或 x=0(舍去). 5 4 12 所以存在点 Q( , ),使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长. 5 5 2 (理)(2014· 江苏盐城二模)已知以点 C(t, )(t∈R, t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A, t 与 y 轴交于点 O 和点 B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. [分析] (1)由于⊙C 过原点 O,OC 为圆的半径,据此可得出圆的方程,求出⊙C 与两轴 1 交点坐标,验证 |OA|· |OB|为定值. 2

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(2)由条件易知 OC 垂直平分 MN,求出 t 的值即可确定圆的方程. [解析] (1)证明:∵圆 C 过原点 O, 4 ∴|OC|2=t2+ 2. t 2 4 设圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2, t t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ; t 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 1 1 4 ∴S△OAB= |OA|· |OB|= ×| |×|2t|=4, 2 2 t 即△OAB 的面积为定值. (2)∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN. 1 ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 O 的坐标为(2,1),OC= 5, 此时,C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 1 < 5,圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 5

当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 9 > 5. 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

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