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天津市天津一中2013届高三5月月考试题——数学(理)


天津一中 2013 届高三 5 月月考

数学(理)试题
一、选择题:

z2 ? 2z ? 1.已知复数 z ? 1 ? i ,则 z ?1
A. 2i B. ? 2i C. 2 D. ?2
2 2.若集合 A ? x | x |? x , B ? x x ? x ? 0 ,则 A ? B ?

r />?

?

?

?

A. [?1, 0]

B. [0, ??)

C. [1, ??)

D. (??, ?1]

3.为了得到函数 y ?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x 的图像,可以将函数 y ? sin 2 x 的图像 2 2

? 个长度单位 6 ? C.向右平移 个长度单位 6
A.向左平移

? 个长度单位 3 ? D.向左平移 个长度单位 3
B.向右平移

4.已知数列 a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an ,(n ? N ? ) ,则 a2011 的值是 A. 1 B. ?4 5.在下列函数中,图象的一部分如图所示的是 A. y ? 2sin(4 x ? C.

4

D. 5

?
6

)

B. y ? ?2sin(4 x ?

?
3

)

C. y ? ?2 cos(2 x ?

?
3

)

D. y ? 2 cos(2 x ?

?

6. 已知点 P 为△ ABC 所在平面上的一点, AP ? 且 的内部,则 t 的取值范围是 A. 0 ? t ?

??? ?

? 1 ??? ???? AB ? t AC ,其中 t 为实数, 若点 P 落在△ ABC 3
C.

6

)

1 4

B. 0 ? t ?

1 w_w_w.k 3

0?t?

1 2

D. 0 ? t ?

2 3

7.若 a ? log2 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. b ? a ? c B. b ? c ? a
?

C. a ? b ? c

D. a ? c ? b

8.已知 an ? log( n?1) (n ? 2),(n ? N ) ,我们把使乘积 a1 ? a2 ? a3 ??? an 为整数的数 n 叫做“劣数”, 则在区间 (1, 2004) 内的所有劣数的和为 A. 1024 二、填空题: B. 2003 C.

2026

D. 2048

9.某校高一年级有学生 280 人,高二年级 260 人,高三年级 360 人,现采用分层抽样抽取容量为 45 的一个样本,那么在高三年级应抽取的人数为 。 10.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项的和 S5 ? 10 ,其公差 d ? 。

?2 x , ( x ? 0) 1 11.已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? a ? ? ,则 a ? 2 ?log 2 x, ( x ? 0)
1 13 ? 12.已知 cos? ? ,cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 7 14 2



。 。
A

2 13.设 f ( x ) ? 2 ? x ,若 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是

14.如图在△ ABC 中, AB ? AC, ?C ? 72? ,⊙O 过 A, B 两点且
O?

与 BC 相切于点 B ,与 AC 交于点 D ,连结 BD ,若 BC ? 5 ? 1 , 则 AC= 三、解答题: 。
B

D C

第 14 题图

15.已知函数 y ? sin 4 x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x (1)求函数 f ( x ) 最小正周期; (2)若 x ??0, ? ? ,求出该函数在 [0, ? ] 上的单调递增区间和最值。 16 . 在 △ ABC 中 , 设 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 向 量 m ? ( c o s , s iA 向 量 A n ),

??

?? ? ? n ? ( 2? s i n , c o ,若 m ? n ? 2 A As )
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 , c ? 2 a ,求△ ABC 的面积。 17.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? (1)求 a2 , a3 ; (2)若存在一个常数 ? ,使得数列 ? (3)求数列 ?an ? 的通项公式。 18.已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2)e ,( x, a ? R) 其中 e 为自然对数的底数
2 x

1 ? an ? , n ? N ,且 a1 ? 0 3 ? an

? 1 ? ? 为等差数列,求 ? 的值; ? an ? ? ?

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

(2)若函数 y ? f ( x) 为单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? ?

5 时,求函数 f ( x ) 的极小值。 2

19.已知数列 {an } ,其前 n 项和 Sn 满足 S n?1 ? 2?S n ? 1(? 是大于 0 的常数) ,且 a1 ? 1, a3 ? 4 (1)求 ? 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式 an; (3)设数列 {nan } 的前 n 项和为 Tn,试比较

Tn 与 Sn 的大小. 2

20.已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元 素 ; ② 在 定 义 域 内 存 在 0 ? x1 ? x2 , 使 得 不 等 式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 立 , 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和

Sn ? f (n) 。
(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设各项均不为 0 的数列 ?Cn ? 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列 ?Cn ? 的变 号数,令 cn ? 1 ?

a ? ( n ? N ),求数列 ?Cn ? 的变号数. an

参考答案
一、选择题: 1.A 2.B 5.D 6.D 二、填空题: 9.18 10. 3.C 7.C 4.A 8.C

1 2

11. ?1, 2

1 2 13.(0,2) 14.2 三、解答题: 15.解:
12.

y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x
? ( s i2 x ? n
2 c ox s

) (2sxi n ?

2

x?o s c

)

x sin 2 3

? 3 s i n x2? ?2 sin(2 x?

cos 2 x ).
1 3 5 6

?
6

故该函数的最小正周期是 ? ;最小值是-2;单增区间是[ 0, ? ], [ ? , ? ] . 16.解: (1) | m ? n |2 ? (cos A ? 2 ? sin A) 2 ? (sin A ? cos A) 2 ? 4 ? 2 2 (cos A ? sin A)

? 4 ? 4 cos( ? A)......... 3分 .. 4 ? 4 ? 4 cos( ? A) ? 4 4 ? cos( ? A) ? 0.......... 5分 ... 4 ? A ? (0, ? ) ?

?

?

?

?
4

?A?

?
2

?A?

?
4

.......... .......... 7分 ..
2 2 2

(2)由余弦定理知: a ? b ? c ? 2bc cos A

即a 2 ? (4 2) 2 ? (2 a ) 2 ? 2 ? 4 2 ? 2a cos 解得,a ? 4 ?c ? 4

?
4

........9分

1 ? S ?ABC ? ? 4 ? 4 ? 16.............................12分 2
17.解: (1) a2 ?

1 ? a1 1 ? 3 ? a1 3

1 1 ? a2 3 ?1 a3 ? ? 3 ? a2 3 ? 1 2 3 1?
(2)若 {

1 } 为等差数列 an ? ?

则有

2 1 1 ? ? a2 ? ? a1 ? ? a3 ? ? 1 ? an 3 ? an 1 ? an 3 ? an ?1 ? 3 ? an 2an ? 2

将 a1,a2,a3 代入得 ? =1 (3)由 an ?1 ?

an?1 ? 1 ?

取倒数

1 1 1 ? ?( ) an ? 1 ? 1 an ? 1 ?2 1 ?

得到

1 1 ?? an ?1 ? 1 an ? 1 2

?{

1 } 为等差数列 an ? 1

1 1 1 1 1 ? ? (n ? 1)d ? ?1 ? (n ? 1) ? ? n ? an ? 1 a1 ? 1 2 2 2
? an ? n ?1 n ?1

18.解: (I)由 S n?1 ? 2?S n ? 1 得 S 2 ? 2?S1 ? 1 ? 2?a1 ? 1 ? 2? ? 1, S3 ? 2?S 2 ? 1 ? 4?2 ? 2? ? 1 ,

? a3 ? S3 ? S 2 ? 4?2 ,? a3 ? 4, ? ? 0,?? ? 1.
(II)由 S n?1 ? 2S n ? 1整理得S n?1 ? 1 ? 2(S n ? 1) , ∴数列{ S n ? 1 }是以 S1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,

? S n ? 1 ? 2 ? 2 n ?1 ,? S n ? 2 n ? 1, ? a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n?1 (n ? 2),

? 当 n=1 时 a1=1 满足 an ? 2n?1 ,? an ? 2n?1.
(III) Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2
0 1 2 n ?2

? n ? 2n?1 , ①

2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 2) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?2

? 2n?1 ? n ? 2n ,

n n 则 Tn ? n ? 2 ? 2 ? 1 . ?

Tn n ? 2n ? 2n ? 1 3 ? Sn ? ? (2 n ? 1) ? (n ? 3) ? 2 n?1 ? . 2 2 2

? 当 n=1 时,

T1 T 1 1 ? S1 ? ? ? 0,当n ? 2时, 2 ? S 2 ? ? ? 0. 2 2 2 2 Tn T ? S n ? 0, n ? S n . 2 2
当 n>2 时,

即当 n=1 或 2 时, 19.解:

Tn T ? S n ? 0, n ? S n . 2 2

f ' ( x) ? (ex )' ? (ax2 ? 2x ? 2) ? ex ? (ax2 ? 2x ? 2)' = ex ? (ax2 ? 2x ? 2) ? ex ? (2ax ? 2)
= a ? e ? ( x ? )( x ? 2) .
x

2 a

(Ⅰ) ∵曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴, 由导数的几何意义得 f ' (1) ? 0 , (Ⅱ) 令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? ∵ a ? 0 ,∴ ∴a ? 2.

2 或 x ? ?2 . a

2 ? ?2 . a

当 x 变化时, f ' ( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
函 数

(??, ? 2)

?2
0 极大值

( ?2,

2 ) a

2 a
0 极小值

2 ( , +? ) a

?
?

?
?

?
? f ( x)


f ( x)

(?


2 2 , ?, 和 ( ? +? ) 2 ) 上单调递增;在 ( ?2, ) 上单调递减; a a 2 当 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 [0, 1] 上为减函数. a

ym i n? f( 1 )? ( ? 4 ,e a )
② 当0 ?

ymax ? f (0) ? ?2 .

2 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 f ( x) 的极小值为 [0, 1] 上的最小值, a

∴ ymin ? f ( ) ? ?2e a . 函数 f ( x ) 在 [0, 1] 上的最大值为 f (0) 与 f (1) 中的较大者. ∵ f (0) ? ?2 , f (1) ? (a ? 4)e . ∴当 a ? 4 ?

2 a

2

2 时, f (1) ? f (0) ,此时 ymax ? f (1) ? (a ? 4)e ; e

2 时, f (1) ? f (0) ,此时 ymax ? f (0) ? f (1) ? ?2 ; e 2 当 2 ? a ? 4 ? 时, f (1) ? f (0) ,此时 ymax ? f (0) ? ?2 . e
当a ? 4? 综上,当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的最小值为 (a ? 4)e ,最大值为 ?2 ; 当2 ? a ? 4?
2 2 时, f ( x ) 的最小值为 ?2e a ,最大值为 ?2 ; e

2 2 a 当 a ? 4 ? 时, f ( x ) 的最小值为 ?2e ,最大值为 (a ? 4)e . e

20.解: (Ⅰ)∵不等式 f ( x ) ≤0 的解集有且只有一个元素 ∴ ? ? a ? 4a ? 0
2

解得 a ? 0 或 a ? 4

当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x2 在 (0, ??) 递增,不满足条件② 当 a ? 4 时,函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 在(0,2)上递减,满足条件② 综上得 a ? 4 ,即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn ? n2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ∴ an ? ?

当 n ≥2时 an ? Sn ? Sn?1 = (n ? 2)2 ? (n ? 3)2 = 2n ? 5

?1, (n ? 1) ?2n ? 5.(n ? 2)

??3, (n ? 1) ? (Ⅲ)由题设可得 cn ? ? ∵ c1 ? ?3 ? 0, c2 ? 1 ? 4 ? 5 ? 0 ,c3 ? ?3 ? 0 ,∴ i ? 1 , 4 ?1 ? 2n ? 5 .(n ? 2) ?
i ? 2 都满足 ci ? ci ?1 ? 0
∵当 n ≥3时, cn ?1 ? cn ?

4 4 8 ?0 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)

即当 n ≥3时,数列{ cn }递增,∵ c4 ? ? 可知 i ? 4 满足 ci ? ci ?1 ? 0

1 4 ? 0 ,由1 ? ? 0 ? n ? 5, 3 2n ? 5

∴数列{ cn }的变号数为3.


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