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湖南省凤凰县华鑫中学2012-2013学年高一上学期11月月考数学试题


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湖南省凤凰县华鑫中学 2012-2013 学年高一上学期 11 月月考数 学试题
一、 选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已 知 全 集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} ,

M ? {1,3,5, 7}, N ? {2,5,8} , 则 (C U M ) ? N ? ( ) A. {5} B. {2,8} C. {1,3, 7} D. {4, 6} ( )

2. 函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 A. ?1 ? a ?

1 5

B. a ?

1 5

C. a ?

1 或a ? ?1 5

D. a ? ?1 )

3. 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? x
?2

B. y ? x

?1

C. y ? x ? 2
2

D. y ? log 1 x
2

4. 下列函数中,值域为 (0, ??) 的函数是( A. y ? 2
x


2

B. y ? 4

?

1 x

C. y ? x ? 2 x ? 2
2

D. y ?| lg x |

5.设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c 6. 函数 y ? B. c ? a ? b ) C. (1, 2) D. [0,1) ) C. a ? b ? c D. b ? c ? a

2 5

3

2 5

2

3 5

x 的定义域是( lg(2 ? x)
B. [0.1)

A. [0, 2)

(1, 2)

7. 已知函数 f ( x) ?| log 3 x | ,若 a ? b 时,有 f (a ) ? f (b) ,则( A. a ? b ? 1 8.已知函数 f ( x) ? B. a ? b ? 1 C. ab ? 3

D. ab ? 1

4x ?1 在区间 [? a, a ](a ? 0) 上的最大值与最小值分别是 M , m , 2x

则 m ? M 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 因 a 的变化而变化 二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上. 9.计算 log 4 36 ?
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1 log 2 9 ? 2

.

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. .

10.若幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (27,3) ,则 f (8) 的值是
2

11.函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间 [?1, 2] 上的最小值是 f (2) , 则 a 的取值范围是 12.用二分法求方程 ln x ? 2 ? x ? 0 在区间 [1, 2] 上零点的近似值,先取区间中点 c ? 下一个含根的区间是
2

3 ,则 2

.

13. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx( a ,b 是常数,且 a ? 0 )有零点 2 ,且方程 f ( x) ? x 有两个相等的实数根.则 f ( x) 的解析式是 .

14.给出下列四个命题: ①函数 f ( x) ? 1, x ? R 是偶函数; ②函数 f ( x) ? x 与 g ( x) ?

x2 ? x x ?1

是相同的函数; ③函数 y ? 3 x( x ? N ) 的图像是一条直线; ④已知函数 f ( x) 的定义域为 R, 对任意实数 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 中正确命题的序号是

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 f ( x) 在 R 上是减函数.其 x1 ? x2

. (写出你认为正确的所有命题序号)

x?0 ?log 2 x, ? 15. 设函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 , 则 f ( x) 是 1 ? ? 2
f (a ) ? f (?a ) ,则实数 a 的取值范围是
.

函数 ( 填奇、偶、非奇非偶 ) ,若

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式: a
6? x

? a 2?3 x (a ? 0, 且 a ? 1) .

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? m ? (1)求 m 的值;

2 是 R 上的奇函数, 2 ?1
x

(2)先判断 f ( x) 的单调性,再证明之.

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18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 3 (8 ? 2 x ? x 2 ) ,设其值域是 M , (1)求函数 f ( x) 的值域 M ; (2)若函数 g ( x) ? 4 ? 2
x 1? x

? m 在 M 内有零点,求 m 的取值范围.

1 ? 2 ? ( )x , x ? 0 ? ? 3 19.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ? . ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ? ?2
(1)请在直角坐标系中画出函数 f ( x) 的图象,并写出该函数的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点,求实数 m 的取值范围。

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20. (本小题满分 13 分)经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的 20 天内的日销售量 (件) 与价格 (元) 均为时间 t(天) 的函数, 且日销售量近似满足函数 g (t ) ? 80 ? 2t (件) ,

1 ? 15 ? t   (0 ? t ? 10) ? ? 2 而日销售价格近似满足于 f (t ) ? ? (元) . ?25 ? 1 t   (10 ? t ? 20) ? 2 ?
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t (0 ? t ? 20) 的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

21.(本小题满分 13 分)一般地,如果函数 f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称,那么对定义域内 的任意 x ,则 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b 恒成立. 已知函数 f ( x) ?

4x 的定义域为 R ,其图 4x ? m

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象关于点 M ( , ) 对称.

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1 1 2 2

(1)求常数 m 的值; (2)解方程: log 2 [1 ? f ( x)]log 2 [4 ? x f ( x)] ? 2 ; (3)求证: f ( ) ? f ( ) ?

1 n

2 n

? f(

n?2 n ?1 n 3n ? 1 )? f ( )? f ( ) ? ( n ? N ? ). n n n 6

参考答案

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(2) f ( x) 在 R 上单调递增,以下证明之: 任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)

x2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,
故 f ( x) 在 R 上单调递增……………………12 分 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 3 (8 ? 2 x ? x 2 ) ,设其值域是 M , (1)求函数 f ( x) 的值域 M ; (2)若函数 g ( x) ? 4 ? 2
x 1? x

? m 在 M 内有零点,求 m 的取值范围.

解: (1)设 u ? 8 ? 2 x ? x 2 ,则 8 ? 2 x ? x 2 ? 0 ? ?4 ? x ? 2 ……………………2 分 则 u ? 8 ? 2 x ? x ? 9 ? ( x ? 1) ? (0,9] ,……………………4 分
2 2

? y ? log 3 u ? (??, 2] 即函数 f ( x) 的值域 M ? (??, 2] ……………………6 分
(2)∵当 x ? (??, 2] 时,有 t ? 2 ? (0, 4] ,
x

又4 ?2
x

1? x

? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? t 2 ? 2t ……………………8 分
x 1? x

∴ 函数 g ( x) ? 4 ? 2

? m 在 M 内有零点等价于:

关于 t 的方程: m ? t 2 ? 2t 在 (0, 4] 内有解,………………10 分 而 t ? 2t ? (t ? 1) ? 1 ? [?1,8]
2 2

∴ m ? [?1,8] 19.(本小题满分 13 分)

……………………12 分

1 ? 2 ? ( )x , x ? 0 ? ? 3 已知函数 f ( x) ? ? . 1 2 ? x ? x ? 1, x ? 0 ? ?2
(1)请在直角坐标系中画出函数 f ( x) 的图象,并写出该函数的单调区间;

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(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点,求实数 m 的取值范围。 解: (1)函数 f ( x) 的图象如右图;………………5 分 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) 单调增区间是 (??, 0) 及 (1, ??) ………………8 分 (2)作出直线 y ? m , 函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点等价于函数 y ? m 与函数 -1 -1 1/2 O 1 y=m x y

f ( x) 的图象恰有三个不同公共点。

1 ? 2 ? ( )x , x?0 ? 1 ? 3 由函数 f ( x) ? ? 的图象易知: m ? ( ,1) ………………13 分 2 ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ? ?2

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21.(本小题满分 13 分)

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一般地,如果函数 f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称,那么对定义域内的任意 x ,则

f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b 恒成立.
已知函数 f ( x) ?

4x 1 1 的定义域为 R ,其图象关于点 M ( , ) 对称. x 4 ?m 2 2

(1)求常数 m 的值; (2)解方程: log 2 [1 ? f ( x)]log 2 [4 ? x f ( x)] ? 2 ; (3)求证: f ( ) ? f ( ) ?

1 n

2 n

? f(

n?2 n ?1 n 3n ? 1 )? f ( )? f ( ) ? ( n ? N ? ). n n n 6

解: (1)

f ( x) ?

4x 的定义域为 R ,? m ? 0 4x ? m

4x 41? x 由题意有 f ( x) ? f (1 ? x) ? x ? ? 1 恒成立 4 ? m 41? x ? m
? 4 m ? (4 ? m 2 )4 x ? 0 ,又 m ? 0 ,? m ? 2 ……………………4 分 ? x x 4? 4 ?m 4 ? m

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