高一年级下学期5月月考数学试题

高一年级下学期 5 月月考数学试题
本卷总分 150 分 考试时间为 120 分钟
一、选择题(本题共有 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题 5 分，满分 50 分) 1. 数列 1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ A. an ? 2n ? 1 C. an ? (?1) n (2n ? 1) 2． ）

r />B. an ? (?1) n (1 ? 2n) D. an ? (?1) n (2n ? 1)

1 1 1 ? ?? ? n ? （ ） 2 4 2 1 1 A． 2 ? n ?1 B． 2 ? n 2 2 x?3 ? 0 的解集为（ 3．不等式 ） x?2 A． {x | x ? 2 ，或 x ? 3} C． {x | x ? 2 ，或 x ? 3}
2 2 2

C． 1 ?

1 2 n?1

D． 1 ?

1 2n

B． {x | 2 ? x ? 3} D． {x | 2 ? x ? 3} ）

4．在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是（ A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定

5．设等差数列 {an } 的公差 d 不为 0， a1 ? 9d ，若 则 k=（ A. 2 ） B. 6 C. 8 D. 4

ak 是 a1与a2k 得等比中项，

6．数列{an}的通项公式 an

?

1 n? ? cos 4 2

，其前 n 项和为 Sn，则 S2012 等于（

）

A.1006 B.2012 C.503 D.0 7．为测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角 为 30° ，测得塔基 B 的俯角为 45° ，那么塔 AB 的高度是（ ）
? 3? 20 ?1 ? ? ? 3 ? ? ? ? 3? 20 ? 1 ? ? ? 2 ? ? ?

A.

m

B.

m

C.

20 1 ? 3

?

?m

D.30 m

8．在等比数列 ?an ? 中，若 S 4 A．81 B. 12

? 1, S8 ? 4 ，则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为（
C．16 D．17

）

9．在设 S n 、 Tn 是等差数列 ?a n ? 、 ?bn ?的前 n 项和，若

an n ? 47 S ? , 则 119 ? （ bn 2n ? 1 T119
D．
166 237

）

A．

n ? 47 2n ? 1

B．

119 107

C．

107 119

10．数列 ?an ? 中， a1 A． 2 ? ln n

? 1? ? 2, an?1 ? an ? ln ?1 ? ? ，则 an ＝（ ? n?
B． 2 ? ? n ?1? ln n C． 2 ? n ln n

.

）

D． 1 ? n ? ln n

二、填空题(本题共有 5 小题，每题填对得 5 分，本题满分 25 分.) 11．等差数列{an}中， 1

a ? 8, a5 ? 2 ，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等

差数列，那么新的等差数列的公差是________． 12．在 ΔABC 中，已知 AB ? AC ? ?2 ， AB ? AC ? 4 ，则 ΔABC 的面积为:__ _______. 13.在数列 ?an ? 中 an

? n2 ? ?n ，若 ?an ?为递增的数列，则 ? 的范围为
c 的范围是 b

14．在锐角 ?ABC 中，若 C ? 2 B ，则

15．科技周活动中，数学老师展示出一个数字迷宫：将自然数1，2，3，4，…排成数阵，在2 处转第1个弯，在3处转第2个弯，在5处转第3个弯，…，则第100个弯处的数是_______.

三、解答题（本题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在等比数列 ?an ? 中， a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ?

5 , 求a4和S5 4

17．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两根， 且 2cos(A＋B)＝1，求 AB 的长

18．递减的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3 ? a5 （1）求 ?a n ? 的通项公式

? 63, a2 ? a6 ? 16,

（2）当 n 为多少时，Sn 取最大值，并求其最大值。 （3）求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an .

19．在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. （1）求角 C 的大小； （2）求 3 sin A ? cos(B ? C) 的取值范围.

20. 已知数列 ?an ? 满足： a1 ? 1 ；

an?1 ? an ? 1 n ? N ? 。 ，
? bn ? 2, n ? N ? 。

数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ⑴ 求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式 ⑵ 令数列 ?cn ? 满足 cn

? a n ? bn ，求其前 n 项和为 Tn 。

21．已知数列{ an }、{ bn }满足： a1

bn 1 ? , an ? bn ? 1, bn?1 ? 4 1 ? an 2

.

(1)求

a2 , a3 , ;
1 }为等差数列，并求数列 ?an ? 和{ bn }的通项公式； an

(2) 证数列{

(3)设

Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? an an?1 ，

求实数 ? 为何值时

4? Sn ? bn

恒成立。

高一年级下学期 5 月月考数学参考答案
一、选择题

BDCCD，CAACA
二、填空题 3 11、－ 12、 3 4 三、解答题 16. 13、 ? ? ?3 14.

?

2, 3

?

15、 2551

a4 ? 1, S5 ?

31 2

17. [解析] 设 AB＝c，

?a＋b＝2 3， ?ab＝2， ∵ ? ?cos?A＋B?＝1， ? 2

1 ∴ cosC＝－ . 2

a2＋b2－c2 ?a＋b?2－2ab－c2 8－c2 1 又∵ cosC＝ ＝ ＝ ＝－ ， 2ab 2ab 4 2 ∴ 2＝10，∴ c c＝ 10，即 AB＝ 10. 18. a3 ? 9, a5 ? 7 an ? 15 ? 2n, S7 ? 49 19. 解析： （1）由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? （2） 3 sin A ? cos(B ? C) ? 3 sin A ? cos(? ? A) = 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ? 又0 ? A ?

?
4

?
6

)

3? ? ? 11? , ? A? ? ， 4 6 6 12
( 6? 2 ,2] . 2

综上所述， 3 sin A ? cos(B ? C) 的取值范围 20．解：

（1）由已知得数列 ?an ? 为等差数列，首项为 1，公差为 1.所以其通项公式为 an ? n 因为 Sn ? bn ? 2 ? Sn?1 ? bn?1 ? 2 ，所以

bn ?1 1 ? ，所以数列 ?bn ? 为等比数列， bn 2

又 S1 ? b1 ? 2 ?b1 ? 1

所以 bn ?

1 2 n ?1

（2）由已知得： cn ? n ?

1 2 3 n ?Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ， n ?1 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2 ?1 ? 1 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n 1 2n 2 2 2 2 2 2 ? 2 1? 2
所以 Tn ? 4 ?1 ?

? n ?? n ? 2

? ?

1 ? n 2?n ? n ?1 ? 4 ? n ?1 n ? 2 ? 2 2

21.解： （1) ∵a1 ?

1 3 , b1 ? 4 4

∴b2 ?

4 5 1 1 , b3 ? , a2 ? , a3 ? 5 6 5 6

……………4 分

（2）∵bn ?1 ? 1 ? an ?1 ?

bn 1 ? am 1 ? ? (1 ? an )(1＋an ) (1 ? an )(1 ? an ) 1 ? an

∴1 ? an ?1 ?

1 ， an ? an?1 ? an an?1 1 ? an

∴

1 1 ? ?1 an ?1 an 1 }是以 4 为首项，1 为公差的等差数列 an
……………6 分

∴ 数列{

∴

1 ? 4 ? (n ? 1) ? 3 ? n an
1 n?3 an ?
∴bn ? 1 ?

an ?
(3)

1 n?2 ? ……………8 分 n?3 n?3

1 n?3

1 1 1 n ∴Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)
∴4? Sn ? bn ?

?n
n?4

?

n ? 2 (? ? 1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? n?3 (n ? 3)(n ? 4)

……………10 分

由条件可知 (? ?1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件

设

f (n) ? (? ?1)n2 ? 3(? ? 2)n ? 8

当 ? ＝1 时， f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, 当 ? >1 时，由二次函数的性质知不可能成立 当 ? <l 时，对称轴 ? ?

3 ? ?2 3 1 ? ? (1 ? )?0 2 ? ?1 2 ? ?1

……………13 分

f(n)在 ?1, ?? ? 为单调递减函数．

f ( 1 ) ? ? 12) ? ? 3? n6 ? ?8 ? ( n ( ) ?
∴? ?

( ?

?? 1)

(? 3

?6 )? 8 ?4 ?

?1 5

0

15 4

∴ a<1 时 4aSn ? bn 恒成立

……………14 分

综上知： ? ≤1 时， 4aSn ? bn 恒成立