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2013年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验文科数学试题(含答案)


2013 年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题 号 选 项 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 D 8 D 9 D 10 C 11 D 12 C

1.选 B【解析】

2 ?

i ? 2 ? i ??1 ? 2i ? 5i ? ? ?i. 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5

2.选 D【解析】由①得 y ?

?? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? ,由②得 y ? 2 sin ? x ? ? ,由③得 4? 4? ? ?

y?

1 ? ?? sin 2 x ,由④得 y ? tan x ,只有②和④这两个函数在 ? 0, ? 上单调递增. 2 ? 2?

? x ? y ? 1, ? 3.选 A【解析】作出 ? ? x ? y ? 1, 确定的可行域,设 z = x + 3 y , ? y ? 0. ?
则 y=?

x z + ,当 x ? ?1, y ? 0 时, zmin ? ?1;当 x ? 0, y ? 1 时, zmax ? 3 . 3 3

4.选 B【解析】 Sn 为等差数列的前 n 项和,则 S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 , S12 ? S9 为等差数列;又

S6 ? 3 ,∴ S6 ? 3S3 ,∴ S6 ? S3 ? 2S3 ,∴ S9 ? S6 ? 3S3 , S12 ? S9 ? 4S3 ,于是 S3

S12 ? 10S3 , S9 ? 6S3 ,故

S12 5 ? . S9 3

5.选 A【解析】这个四面体的四个顶点可以看成是棱长为 1 的正方体的其中的四个顶点,问 题转化为求此正方体的外接球,其直径为正方体的对角线,长度为 3 ,所以此球的表面

? 3? 积为 S ? 4? ? ? 2 ? ? 3? . ? ? ? 6.选 B【解析】 P 到抛物线的准线距离即为 P 到抛物线的焦点 F ?1,0 ? 的距离,于是,问题
转化为求 PQ ? PF 最小,由三角形“两边之和大于第三边”可得,需要 F , P, Q 三点共 线,也就是求 FQ 的最小值,连接圆心 ? 0, 4 ? 和 F ?1,0 ? ,与圆的交点 Q 即为所求,此时

2

FQ ? 17 ? 1.
7.选 D【解析】根据题意, f ? x ? 在 x ?? ?1,1? 上的最大(小)值在 x ? 1 ? x ? ?1? 处取得 ∴ g ? a ? ? f ?1? + f ? ?1? = a ?

1 1 ,由 a ? 0 ,且 a ? 1 ,得 g ? a ? ? a ? ? 2 . a a

8.选 D 【解析】f ? ? x ? ?

1 2 x ? ? , x ? 2k ? ? ? ? k ? Z ? , 得 2 3 4? 2 * 由 xn 是 f ? x ? 的第 n 个正的极小值点知, xn ? 2n? ? ? ? n ? N ? ,∴ x1 ? . 3 3

1 ? cos x , f ? ? x ? ? 0 , c s 令 则o 2

9.选 D【解析】连接 AC ,与 BD 交于 O ,则平面 ACC1 A1 ? 平面 BC1D = C1O . 又 M ? AC ? 平面 ACC1 A1 , M ? 平面 BC1D ,∴ M ? C1O 故 C1 , M , O 三点共线.而 1

OC ∥ AC1 ,∴ ?OMC ∽ ?C1MA1 ,∴ 1
线,∴ M 为 ?BC1D 的重心.

OM OC 1 ? ? ,又∵ C1O 是 ?BC1D 的中 MC1 A1C1 2

10.选 C 【解析】 由题意得, f ? x ? 2? ? f ? ?x ? ? ? f ? x ? , f ? x ? 4? ? ? f ? x ? 2? ? f ? x ? 故 ∴ f ? x ? 是以 4 为 周期的周期函数 .又∵ f ? 0? ? 0 ∴方程 3 f ? x ? ? 1? f ? 0? 可 化为

1 1 f ? x ? ? ? .数形结合可知 f ? x ? ? ? 在 ? 0,1? , ?1,2? 内各有一个实根,且这两根之和 3 3 1 为 2 ,∴由周期性可知 f ? x ? ? ? 在 ? 2012, 2013? , ? 2013, 2014? 内各有一个实根,且 3 这两根之和为 4 026 . b 2 2 11.选 D【解析】∵ ax ? bx ? 2c ? 0 , a ? 0,c ? 0 ,∴ ? ? b ? 4ac >0 , x1 ? x2 ? ? , a 2 2 2 2c b 4c c ? a 4c 2 x1 x2 ? ? ∴ x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ? ? e 2 ? 4e ? 1 2 a a a a a 2 2 2 ? ? e ? 2 ? ? 5 ≥ 0 ,而 e ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 4 ,故点 P ? x1, x2 ? 可能在圆 x2 ? y 2 ? 5 上.
12.选 C 【解析】 u=f x 令 ? ∵ x?

? ,则方程 f 2 ? x? +bf ? x? +c = 0 转化为 g ?u ? = u2 +bu+c = 0

1 ? 2 ,原方程有 5 个不同的根,所以方程 g ?u ? = u2 +bu+c = 0 应有一个大于 x

? b ?? 2 ? 0, ? 2 的正根与一个零根,所以 ? g ? 2 ? ? 0, 即 b ? ?2 且 c ? 0 . ?c ? 0. ? ?
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.填 10 .【解析】由题意得 lg a ? lg b ? 3 ? lg a ? lg b ? 1 ? lg ab ? 1 ? ab ? 10 .
3 3

14.填

7 ? 1? ? 2? ? n ?1? .【解析】设 ?i, ai ? ,由此框图得 ?1, 0 ? ? ? 2, ? ? ? 3, ? ? ? ? ? n, ?, 8 n ? ? 2? ? 3? ? 7 a8 ? . 8

2 ? ?x ? k ? k ? 2 ? y ? k1 x ? 1 ? k ?k ? 2 1 , 2 1 ? ,它在椭圆 15.填 ?2 .【解析】由 ? 得? ,即交点为 ? ? y ? k 2 x ? 1 ? y ? k2 ? k1 ? k2 ? k1 k2 ? k1 ? ? k2 ? k1 ?
? 2 ? ? k2 ? k1 ? 2 x ? y ? 1 上,于是有 2 ? ? ? ?? ? ? 1 ,化简后得 k1k2 ? ?2 . k2 ? k1 ? ? k2 ? k1 ? ? 16.填 5 .【解析】设 D, E 分别是 AB, AC 的中点,则 OD ? AB , OE ? AC , ???? 1 ??? ???? ? ? ???? ???? 1 ??? ???? ???? 1 ??? ???? 1 ???? ???? ? ? ? AB ? AC ,∴ AM ? AO ? AB ? AC ? AO ? AB ? AO ? AC ? AO 又 AM ? 2 2 2 2 ???? ???? ??? ???? ???? ???? ? ??? ???? ? 2 2 ? AD ? AO ? AE ? AO ? AD AO cos ?DAO ? AE AO cos ?EAO ? AD ? AE
2 2
2 2

?

?

?

?

? 22 ? 12 ? 5 .
三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(Ⅰ)由

a b?c sin A sin B ? sin C ? ? 及正弦定理得, ,即 cos A cos B ? cos C cos A cos B ? cos C

sin A cos B ? sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C , sn 故i
∵ A, B, C ? ? 0,

? A ?B ??sin C ?A ? ?

? ? ? ? ? ?? ? ,∴ ? 2 ? A ? B ? 2 , ? 2 ? C ? A ? 2 ,∴ A ? B ? C ? A ? 2?
?
3
; ?6 分

又 A ? B ? C ? ? ,∴ A ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ?

?
3

,故 B ? C ?

2? ? ,而 0 ? C ? , B 是 ?ABC 的最大内角,故 3 2

?
3

?B?

?
2

, n ∴s i

Bs? c o

Bn ? 2 s i

?? ? ? ? ? ? ? B ?n ? ? ? , 2 ? ? ? s i n s i ? 2 4? ? ? ?3 4 ?

?? ?

? ? 2? 4

?? ?? ??

即 sin B ? cos B ? ?

? 3 ?1 ? ,1? . ? ? 2 ?

?12 分

18.(Ⅰ)连接 A B 、 EF ,设此正方体的棱长为 2a , 1 则 A D ? A B ? 2 2a , F 为 DB 的中点,∴ A1F ? DB . 1 1 在 Rt ?A FD 中, A F ? A D ? DF ? 6a . 1 1 1
2 2 2 2

在 Rt ?ECB 中, EB ? EC ? BC ? 5a ,
2 2 2 2

在 Rt ?EFB 中, EF ? EB ? FB ? 3a .
2 2 2 2

在 Rt ?AC1E 中,A E ? AC1 ? C1E ? 9a , A E ? A F ? FE , AF ? 故 1 即 1 E F 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2



又 DB, EF ? 平面 EDB , DB ? EF ? F ,故 A1F ? 平面 EDB ; (Ⅱ)由 AB ? 2 知, A D ? 2 2 , A E ? 3 , DE ? 5 , 1 1 ∴ cos ?DA1E ?

?6 分

? A1D2 ? A1E 2 ? DE 2 2 ,∴ ?DA1 E ? , ? 4 2 A1D ? A1E 2

S?A1DE ?

1 A1D ? A1E sin ?DA1E ? 3 . 2 1 EF ? DB ? 6 . 2

在等腰 ?EDB 中, EF ? 3 , S ?EDB ?

在 Rt ?A AF 中, A A ? 2, AF ? 2 ,故 A F ? 6 ,由(Ⅰ)知 A1F ? 平面 EDB 1 1 1 设点 B 到平面 A DE 的距离为 h ,∵ S?A1DE ? h ? 1 故点 B 到平面 A DE 的距离为 2 . 1 19.由题意知空气质量为 1 级的有 2 天, 2 级的有 3 天, 3 级的有 2 天. 记空气质量为 1 级的天数为 A , A2 , 2 级的天数为 B1 , B2 , B3 , 3 级的天数为 C1 , C2 . 1 从 7 天中任选 2 天,共有 ? A , A2 ? , ? A , B1 ? , ? A , B2 ? , ? A , B3 ? , ? A , C1 ? , ? A , C2 ? , 1 1 1 1 1 1

1 3

1 S?EDB ? A1F ,解得 h ? 2 . 3
?12 分

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? , ? A2 , C2 ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B1 , C1 ? ,
? B1 , C2 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , C1 ? , ? B2 , C2 ? , ? B3 , C1 ? , ? B3 , C2 ? , ?C1, C2 ? 等 21 种情形.
(Ⅰ)记事件 A 为 “从 7 天中任选 2 天, 2 天空气质量等级一样” 有 ? A , A2 ? , ? B1 , B2 ? , 这 , 1

? B1 , B3 ? , ? B2 , B3 ? , ?C1, C2 ? 5 种情形,故 P ? A? ? 21 ;

5

?6 分

(Ⅱ) 记事件 B 为“从 7 天中任选 2 天,这 2 天空气质量等级数之差的绝对值为 1 ” ,有

? A1 , B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A1, B3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? B1, C1 ? , ? B1, C2 ? , ? B2 , C1 ? ,

? B2 , C2 ? , ? B3 , C1 ? , ? B3 , C2 ? 12 种情形,故 P ? B ? ? 21 ? 7 .
20.(Ⅰ) 由题意知椭圆

12

4

?12 分

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦点为 ? c,0? , ? ?c,0? , c ? 0 , a 2 b2
c 1 ? ,解得 a 2
?4 分

直线 l : x ? my ? 1 ? 0 过焦点 F ,可知 F 为左焦点且 c ? 1 ,又

a 2 ? 4 , b2 ? 3 ,于是所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) , 直线 MN 的方程为 x ? ?my ? 1 , M1 (2, y1 ) ,N1 (2, y2 ) 则

?6 m ? ? x ? ?my ? 1, ? y1 ? y2 ? 3m 2 ? 4 , ? ? 2 2 由 ? x2 y 2 消去 x ,得 ? 3m ? 4 ? y ? 6my ? 9 ? 0 ,故 ? ? 1. ? y y ? ?9 . ? ? 3 ?4 ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
因为 S1S3 ?

1 1 1 ? 2 ? x1 ? y1 ? ? 2 ? x2 ? y2 ? (3 ? my1 )(3 ? my2 ) y1 y2 , 2 2 4
1 2 81 ? m ? y1 y2 ? ? 3m ? y1 ? y2 ? ? 9 ? y1 y2 ? . 2 ? ? 4 (3m ? 4)2
2

?
2

1 ?1 9 81(m2 ? 1) 2 ?1 ? ? . S2 ? ? ? ? 3 ? y1 ? y2 ? ? ?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? ? ? ? 4(3m2 ? 4)2 ? 4 ? 16 ? 2 ? 64 ?
81(m2 ? 1) 81 ?1 ? 1 由 S1 , S 2 , S3 成等比数列,得 ? S2 ? ? S1S3 ,即 ? 2 2 2 4 4(3m ? 4) (3m ? 4)2 ?4 ?
2

解得 m ? ? 3 . 21.(Ⅰ) 当 a ?

?12 分

1 x2 1 x2 ?1? x ? 时, f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ? ,则 f ?( x ) ? , 2 2 x ?1 x ?1

当 x ≥ 0 时, f ?( x) ≥ 0 ,∴函数 y ? f ( x ) 在 x ≥ 0 时为增函数. 故当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ f (0) ? 0 ,∴对 ? x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ 0 成立; ?4 分 (Ⅱ) 设点 P( x0 , y0 ) , 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线方程为 y ? ( x ? x0 ) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) , 令 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? x0 ) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) . 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线与曲线只有这一个公共点 P 等价于函数 g ( x ) 有唯一 零点. 因为 g ( x0 ) ? 0 ,且 g ?( x ) ? f ?( x ) ? f ?( x0 ) ? ( x ? x0 ) ?2a ?

? ?

? 1 . ( x ? 1)( x0 ? 1) ? ?

当 a ≤ 0 时,若 x ≥ x0 ? ?1 ,有 g ?( x ) ≤ 0 ,∴ g ( x ) ≤ g ( x0 ) ? 0 ; 若 ?1 ? x ? x0 ,有 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 . 所以曲线 y ? f ( x ) 上任意一点 P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点 P .?12 分

22. (Ⅰ) AB ∥ DE , ∵ ∴

O O A B ? ? , O ?E r , O ?B . 又 D O 得 A O O O D E 连结 OC ,∵ AC ? CB .∴ OC ? AB . 又点 C 在⊙ O 上,∴ AB 是⊙ O 的切线; ?5 分 (Ⅱ)延长 DO 交⊙ O 于 F ,连结 FC . 由(Ⅰ) AB 是⊙ O 的切线,∴弦切角 ?ACD ? ?F , 于是△ ACD ∽△ AFC . 1 CD 1 ? . 而 ?DCF ? 90? ,又∵ tan ?ACD ? tan ?F ? ,∴ 2 FC 2 AD CD 1 ? ? ,而 AD ? 2 ,得 AC ? 4 . ∴ AC FC 2
又 AC 2 ? AD ? AF ? 2 ? (2 ? 2r ) ? 42 ,于是 r ? 3 . ?10 分

23.(Ⅰ)由 ? ? 4sin ? ,得 ? ? ? 4? sin ? ,即 x2 ? y 2 ? 4 y = 0 ,

∴圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y = 0 .
(Ⅱ)过点 P ?1,1? 的参数方程为 ?

?5 分

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数),将其代入圆 C 的方程 ? y ? 1 ? t sin ?

x2 ? y 2 ? 4 y = 0 ,得 t 2 ? 2 ? cos? ? sin ? ? t ? ? = 0 .
∴ t1t2 ? 2 ,故 PA ? PB ? 2 .
24.(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 2 得, ?10 分

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ? ? ? ,或 ? ?1 ? x < 1 ,或 ? x ? 1 ,解之, ? x ? ?1 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?x ?1? x ?1 ? x ? 2 ? ? ?
得 0 ? x ? 2 ,∴ f ? x ? ? x ? 2 的解集为 x 0 ? x ? 2 ; (Ⅱ)∵

?

?

?5 分

a ? 1 ? 2a ? 1 a

? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? ≤ 1? ? 2 ? ? 3 a a a a

(当且仅当 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ?? 2 ? ? ≤ 0 ,上式取等号) a ?? a?
a ? 1 ? 2a ? 1 a
对任意实数 a ? 0 恒成立,可得,

由不等式 f ? x ? ≥

3 3 x ? 1 ? x ? 1 ≥ 3 ,解此不等式,得 x ≤ ? ,或 x ≥ . 2 2
以上各题的其它解法,限于篇幅从略.请相应评分.

?10 分


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