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直线与双曲线的位置关系


考点 128 1. (13 全国 T22) (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C :

直线与双曲线的位置

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 3, 直线 y ? 2 a 2 b2

与 C 的两个焦点间的距离为 6 . (I)求 a, b; (I

I)设过 F2 的直线 l 与 C 的左右两支分别相交于 A、B 两点,且 AF 1 ? BF 1 , 证明: AF2 、 AB 、 BF2 成等比数列. 【测量目标】双曲线的方程、性质,直线与双曲线的位置关系,等比中项等性质. 【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出 a,b 值. (2)由直线方程和双曲线方程,利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的 等比关系.

c a 2 ? b2 ? 9, 故 b 2 ? 8a 2 . 【试题解析】(1)解:由题设知 ? 3, 即 2 a a
所以 C 的方程为 8x2 ? y 2 ? 8a2 . (步骤 1) 将 y=2 代入上式,求得 x ? ? a ? . (步骤 2)
2

1 2

由题设知, 2 a ?
2

1 ? 6, 解得 a 2 ? 1. 所以 a ? 1, b ? 2 2. (步骤 3) 2

2 2 (2)证明:由(1)知, F 1 (步骤 4) 1 ? ?3,0? , F 2 ? 3,0? , C 的方程为 8 x ? y ? 8. ○

由题设可设 l 的方程为 y ? k ? x ? 3? , k ? 2 2, 将其代入○ 1 并化简,得

?k

2

? 8 ? x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0. (步骤 5)

设 A? x1 , y1 ? , B( x2 , y2 ), 则 x1 剠?1, x2 于是 AF1 ?

1, x1 ? x2 ?
2

6k 2 9k 2 ? 8 , x x ? . (步骤 6) 1 2 k2 ?8 k2 ?8

? x1 ? 3?

2

? y12 ?

? x1 ? 3?
2

? 8x12 ? 8 ? ? ? 3x1 ? 1? ,

BF1 ?

? x2 ? 3? ? y22 ? ? x2 ? 3?

2 ? 8x2 ? 8 ? 3x2 ? 1. (步骤 7)

由 AF 1 ? BF 1 , 得 ? ? 3x1 ? 1? ? 3x2 ? 1, (步骤 8)

即 x1 ? x2 ? ? , 故 解得 k ?
2

2 3

6k 2 2 ?? , 2 k ?8 3

4 19 , 从而x1 x2 ? ? . (步骤 9) 5 9

由于 AF2 ?

? x1 ? 3?

2

? y12 ?

? x1 ? 3? ? 8x1 ? 8 ? 1 ? 3x1,
2 2 ? 8x2 ? 8 ? 3x2 ? 1,

BF2 ?

? x2 ? 3? ? y22 ? ? x1 ? 3?

故 AB ? AF2 ? BF2 ? 2 ? 3? x1 ? x2 ? ? 4, (步骤 10)

AF2 ?BF2 =3? x1 ? x2 ? ? 9x1x2 ?1 ? 16,
因而 AF2 ?BF2 ? AB , 所以 AF2 、 AB 、 BF2 成等比数列(步骤 11).
2

2. (13 重庆 T10) 设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、 所成的角为 60

?

的直线 A1B1 和 A2 B2 ,使 A 1、 B 1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双 1B 1 ? A 2 B2 ,其中 A 曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 A. ( ( )

2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

【测量目标】双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系. 【考查方式】通过“有且只有一对”限定双曲线渐近线倾斜角的范围,求取离心率. 【参考答案】A 【试题分析】由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)对称又由

30?
题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于

60?
且小于等于 ,即

tan 30? ?

b 1 b2 剟tan 60? ,? ? 2 a 3 a

3.

3.(13 上海 T23)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 如图,已知双曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存在 2

过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点,则称 P 为“ C1 ? C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要使用一条过 该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证) ;

(2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“ C1 ? C2 型点; (3) 求证: 圆x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点”. 2

第 23 题图

WH10

【测量目标】双曲线的简单几何性质及其与直线的位置关系 【考查方式】给出双曲线的方程和直线的方程,利用双曲线的几何性质它们的相互关系,求 出相关问题. 【试题解答】由 C1 方程

x2 ? y 2 ? 1可知 :a2 ? 2, b2 ? 1, c2 ? a2 ? b2 ? 3, F1 (? 3,0) , 2

显然,由双曲线 C1 的几何图像性质可知,过 F1的任意直线都与曲线 C1相交.(步骤 1) 在曲线 C 2 图像上取点 P(0,1)则直线 PF C1、C2 均有交点.这时直线方程为 1与两曲线

y?

3 ( x ? 3) ? 3 y ? x ? 3 ? 0 ,所以,C1 的左焦点是“C1-C2 型点”.过该焦点的一 3

条直线方程是 3 y ? x ? 3 ? 0 .(步骤 2) (2)证明“若直线 y ? kx 与 C2 有公共点,则 k >1”双曲线 C1 的渐近线

:y ? ?

b 1 x?? x. a 2
1 1 , ) . 2 2

(若直线 y ? kx 与双曲线 C1 有交点,则 k ? A ?

(-?,-1 )(, U 1 +?) 若直线 y ? kx 与曲线 C2 有交点,则 k ? B ? .
所以,若直线 y ? kx 与 C2 有公共点,则 k >1 . (证毕) (步骤 3)

Q A I B ? ?,?直线 y ? kx 与曲线 C1 、 C2 不能同时有公共交点.
所以原点不是“C1-C2 型点” ; (步骤 4) (3)证明:记圆 O: x ? y ?
2 2

1 ,取圆 O 内的一点 Q,设有经过 Q 的直线 l 与 C1 , C2 都 2

有公共点,显然 l 不与 x 轴垂直, 故可设 l: y ? kx ? b. 若 k ? 1 ,由于圆 O 夹在两组平行线 y ? x ? 1 与 y ? ? x ? 1 之间,因此圆 O 也夹在直线

y ? kx ? 1 与 y ? ?kx ? 1 之间,从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所

以 k ?1 .

? y ? kx ? b ? 因为 l 与 C1 有公共点,所以方程组 ? x 2 有实数解, 2 ? ? y ?1 ?2
得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0 . 因为 k ? 1 ,所以 1 ? 2k ? 0 ,
2

因此 ? ? (4kb)2 ? 4(1 ? 2k 2 )(?2b2 ? 2) ? 8(b2 ? 1 ? 2k 2 ) …0 , 即 b …2k ? 1.
2 2

因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d ?

b 1? k 2

,

所以

b2 1 1? k 2 2 ? d ? , ? b 2 …2k 2 ? 1, 得 k 2 ? 1, 与 k ? 1 矛盾. 从而 2 1? k 2 2
2 2

因此,圆 x ? y ?

1 内的点不是“ C1 ? C2 ”型点. 2

c b2 4 2 3 又e2 ? ( )2 ? 1 ? 2 ,? ? e2 剟4,? ?e a a 3 3

2.


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